四、十字模型

1.正方形中的十字模型

（1）如图 1，在正方形ABCD中，点E,F分别在CD,AD上，AE与BF交于点G.

结论 1：若AE⊥BF，则AE=BF.

结论 2：若AE=BF，则AE⊥BF.

思路：证明△ABF≌△DAE，可得结论 1,2.

（2）如图 2，在正方形ABCD中，点E,F,G分别在CD,AD,BC上.

结论 3：若AE⊥GF，则AE=GF.

思路：如图 3，考虑过点F作FH⊥BC于点H，证明△ADE≌△FHG，可得结论 3.

（3）如图 4，在正方形ABCD中，点E,F,G,H分别在AB,CD,BC,AD上.

结论 4：若EF⊥GH，则EF=GH.

思路：如图 5，考虑过点E作EM⊥CD于点M，过点G作GN⊥BC于点N，证明△EMF≌△GNH，可得结论 4.

2.矩形中的十字模型

（1）如图 6，在矩形ABCD中，点E是AD上的点.

结论 5：若CE⊥BD，则 .

思路：证明△DCE∽△ADB，可得结论 5.

（2）如图 7，在矩形ABCD中，点E,F分别在AD,BC上，G,H分别在AB,CD上.

结论 6：若EF⊥GH，则 .

思路：如图 8，过点F，H分别作对边的垂线，构造EF，GH所在的两个三角形相似，可得结论 6.

例题精析

如图，将边长为12 cm 的正方形 ABCD 折叠，使得 A 点落在边 CD 上的 E 点，然后压平得折痕 FG ，若 GF 的长为13 cm ，则线段 CE 的长为____________.

解：过 B 点作 BK // GF 交 AD 于 K 点，交 GF 于 J 点，由折叠的性质可知 FG ⊥ AE ，

∵ KF // BG ，

∴ BK ⊥ AE ，四边形 BGFK 为平行四边形，

∴ BK = FG =13，在Rt△ABK中， AK = =5，

∵∠ ABK + BAE =90°，∠ DAE + BAE =90°，

∴∠ ABK =∠ DAE ，

∵在Rt△ABK与Rt△DAE中，

∴Rt△ABK Rt△DAE，

∴ AK = DE =5，

∴ CE = CD - DE =12-5=7( cm ).

故答案为：7 cm .

精析一

如图，正方形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上一点， AE 的垂直平分线分别交 AB ， BD ， CD 于点 F ， G ， H . 若 GE ＝5，则 FH 的长为____________.

精析二

如图，在正方形 ABCD 中， E 是 BC 边上一点，连接 DE ，点 F 为 DE 的中点，过点 F 作 DE 的垂线分别交 AB ， CD 于点 M ， N ，连接 AC 交 MN 于点 G ，若∠ DNG ＝60°， ，则 FG 的长为____________.

精析三

如图，矩形纸片 ABCD ， AD ∶ AB = ∶1，点 E ， F 分别在 AD ， BC 上，把纸片如图沿 EF 折叠，点 A ， B 的对应点分别为 A '， B '，连接 AA '并延长交线段 CD 于点 G ，则 的值为____________. 9Fv23Z2AL6+SnHgSHofrj0LZucjEez5anpD4HBBfTNfv3My2IAUpf8nuuZGZrJmq