三、翻折问题

例题精析

如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 12， E 是边 CD 上一点，连接 AE 、折叠该纸片，使点 A 落在 AE 上的 G 点，并使折痕经过点 B ，得到折痕 BF ，点 F 在 AD 上，若 DE ＝5，则 GE 的长为____________.

解：∵四边形 ABCD 为正方形，

∴ AB ＝ AD ＝12，∠ BAD ＝∠ D ＝90°，

由折叠及轴对称的性质可知，△ ABF ≌△ GBF ， BF 垂直平分 AG ，

∴ BF ⊥ AE ， AH ＝ GH ，

∴∠ BAH +∠ ABH ＝90°，

又∵∠ FAH +∠ BAH ＝90°，

∴∠ ABH ＝∠ FAH ，

∴△ ABF ≌△ DAE （ ASA ），

∴ AF ＝ DE ＝5，

在Rt△ ABF 中，

BF ＝ ＝ ＝13，

S _{△ ABF} ＝ AB · AF ＝ BF · AH ，

∴12×5＝13 AH ，

∴ AH ＝ ，

∴ AG ＝2 AH ＝ ，

∵ AE ＝ BF ＝13，

∴ GE ＝ AE - AG ＝13- ＝ ，

故答案为： .

精析一

如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 6， E 是 AD 上一点. 沿 BE 折叠该纸片，得点 A 的对应点为点 F ，延长 EF 交 CD 于点 G ，若 G 为 CD 的中点，则 AE 的长为____________.

精析二

如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 5， E 是边 BC 的中点，连接 AE . 沿 AE 折叠该纸片，使点 B 落在 F 点. 则 CF 的长为____________.

精析三

在等边△ ABC 中， AB ＝5，点 D 为 BC 上一点， BD ∶ DC ＝1∶4. 点 E 和点 F 分别是 AB 、 AC 边上的点，将△ AEF 沿 EF 折叠，使点 A 刚好落在点 D 处，则 AF ＝____________. 7ROjayXMaiqHctv6yhwB806X/vwPcjxFjeDQw1P9fAvV2EiXMrsCE7cVJEvKh2fC