二、倍长中线模型

1.基本型 ：如图 1，在三角形 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线.

证明思路： 延长 AD 至点 E ，使得 AD = DE .若连结 BE ，则Δ BDE CDA ；若连结 EC ，则Δ ABD ECD ；

2.中点型： 如图 2， C 为 AB 的中点.

证明思路： 若延长 EC 至点 F ，使得 CF = EC ，连结 AF ，则Δ BCE ACF ;

若延长 DC 至点 G ，使得 CG = DC ，连结 BG ，则Δ ACD BCG .

3.中点+平行线型： 如图 3, AB // CD ，点 E 为线段 AD 的中点.

证明思路： 延长 CE 交 AB 于点 F （或交 BA 延长线于点 F ），则Δ EDC EA F .

例题精析

如图， ▱ ABCD 的顶点 C 在等边△ BEF 的边 BF 上，点 E 在 AB 的延长线上， G 为 DE 的中点，连接 CG . 若 AD ＝3， AB ＝ CF ＝2，则 CG 的长为____________.

解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，

∴ AD ＝ BC ， CD ＝ AB ， DC ∥ AB ，

∵ AD ＝3， AB ＝ CF ＝2，

∴ CD ＝2， BC ＝3，

∴ BF ＝ BC + CF ＝5，

∵△ BEF 是等边三角形， G 为 DE 的中点，

∴ BF ＝ BE ＝5， DG ＝ EG ，

延长 CG 交 BE 于点 H ，

∵ DC ∥ AB ，

∴∠ CDG ＝∠ HEG ，

在△ DCG 和△ EHG 中，

∴△ DCG ≌△ EHG （ ASA ），

∴ DC ＝ EH ， CG ＝ HG ，

∵ CD ＝2， BE ＝5，

∴ HE ＝2， BH ＝3，

∵∠ CBH ＝60°， BC ＝ BH ＝3，

∴△ CBH 是等边三角形，

∴ CH ＝ BC ＝3，

∴ CG ＝ CH ＝ ，故答案为： .

精析一

如图，正方形 ABCD 和正方形 BEFG ，点 F ， B ， C 在同一直线上，连接 DF ， M 是 DF 的中点，连接 AM ，若 BC ＝4， AM ＝ ，则正方形 BEFG 的边长为____________.

精析二

如图，在边长为 3 的正方形 ABCD 的外侧，作等腰三角形 ADE ， .

（1）△ ADE 的面积为____________；

（2）若 F 为 BE 的中点，连接 AF 并延长，与 CD 相交于点 G ，则 AG 的长为____________.

精析三

如图，已知∠ AED ＝∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ＝3， AE ＝ DE ＝1，点 D 在 AB 上，连接 CE ，点 M ，点 N 分别为 BD ， CE 的中点，则 MN 的长为____________. 8ew6Mlo50sYBuGxu/qMOIsoRLCPA1pOSNcENT8OQOnZz/88H56ikLvW1GtKQ55G1