对称倍压回路有关参数计算公式之推导

1981.3—4 初稿，2017.12 重录

对称倍压回路有三个重要参数：电压降ΔU、脉动电压δU、最佳级数n。

本文较详尽地介绍了这三个参数计算公式的推导过程。

为便于资料的查阅，特把一般倍压回路这三个参数的推导笔记附在正文前边，用以说明。

倍压回路在高电压、小电流的直流电压发生器中的应用相当普遍。像文中第一章所述的是一般倍压回路，也叫单相倍压回路。第二章所述的是对称倍压回路。

我们知道，对于多级倍压回路而言，有三个重要参数：电压降ΔU（无负荷时的输出电压最大值与有负荷时的输出电压最大值之差）、脉动电压δU（倍压回路的输出电压是有波动的直流电压，用δU表示波动电压的最大值与最小值之差）、最佳级数n（倍压回路的输出电压并不能随级数n的增加而无限制地升高。当输出电压一定时，有一最佳级数n）。

就“一般（单相）”和“对称”两种倍压回路来说，当然“对称”的要好（见注释之对照表）。可是对称倍压回路所需元器件也较多，自然成本较高。因此，对称倍压回路多用在对电压脉动系数要求较高、负载功率较大的场合。

本文着重推导了倍压回路中电压降ΔU、脉动电压δU、最佳级数n的计算公式，从中也可以领略到该电路所用元器件的选用原则。对于从事倍压电路的设计与研究不无裨益。

第一章
一般（单相）倍压回路

§1-1 无负荷的单级倍压回路

如图（1-1）所示。设C ₁ =C ₂ ，并忽略回路中的电阻、电感及任何泄漏电流。

变压器次级电压设为U ₃₀ ，当U ₃₀ 的 0 端为正而 3 端为负时，K ₂ 导通；U ₃₀ 对C ₁ 充电，最大值为U ₃₀ _最大 =U _m ，此时C ₁ 上端为正，而下端为负。

当 3 端为正而 0 端为负时，C ₁ 上的电压与U ₃₀ 相加而通过K ₁ 对C ₂ 充电，使得U _C2 =2U _m ，从而实现了倍压的目的。

§1-2 有负荷的单级倍压回路

在图（1-1）中，设U ₃₀ =U _m cosωt，而C ₁ 上充电的幅值为U _m 。故：

U ₁₀ =U _c1 +U ₃₀ =U _m （1+cosωt）；

U ₂₀ =U _c2 =2U _m

设每个周期内流经R _H 的电荷为Q ₁ ，则流经R _H 的平均电流I _cp 为

I _cp =Q ₁ / T=Q ₁ ·f≈U ₂₀ / R _H

Q ₁ 可分为两部分，一部分为C ₂ 放电时输出电荷Q ₂ ，另一部分为C ₁ 向C ₂ 充电的同时也向负荷R _H 输出电荷ΔQ。即Q ₁ =Q ₂ +ΔQ。

显然，Q ₂ 及ΔQ都是由C ₁ 送出去的，故C ₁ 在一个周期要输出的电荷为Q ₁ 。由此可见，当接了R _H 之后，点 1 的电位最大值不可能维持为 2U _m ，而要降低Q1/C1。故C ₂ 充电所能达到的最高电位为：

U ₂₀ _最大 =2U _m -Q ₁ / C ₁ =2U _m –I _cp /（f·C ₁ ）。

由图（1-3）可见，在每周期内C ₁ 向C ₂ 充电时间t ₁ 是很短的。只在t ₁ 内，C ₁ 向C ₂ 充电，其电荷为Q ₂ ，同时C ₁ 给负荷R _H 以电荷ΔQ。

在t ₁ 期间，C ₂ 上的电压按指数函数上升；过了此刻，K ₁ 关闭，C ₂ 上的电荷向负载流出，C ₂ 上的电压按指数函数下降；放电时间为t ₂ ，放出电荷为Q ₂ 。

其关系式如下：

U ₂₀ _最小 =U ₂₀ _最大 e ^-t2/ ^τ ² =[2U _m – I _cp /（f·C ₁ ）]e ^-t2/ ^τ ²

又U ₂₀ _最小 =U ₂₀ _最大 -Q ₂ /C ₂

∴ [2 _Um – I _cp /（f·C ₁ ）]e ^{-t2 /} ^τ ² =2U _m – I _cp /（f·C ₁ ）-Q ₂ /C ₂

∴ Q ₂ /C ₂ =[2U _m – I _cp /（f·C ₁ ）]（1-e ^{-t2 /} ^τ ² ）

上式中，τ ₂ 为C ₂ 对R _H 放电时的时常数，故τ ₂ =R _H C ₂ 。

从以上分析看出，有负荷时的输出电压最大值比无负荷时的低，二者之差用ΔU表示。

ΔU=2U _m –U ₂₀ _最大 =2U _m – [2U _m – I _cp /（f·C ₁ ）]=I _cp /（f·C ₁ ）=Q ₁ /C ₁

输出电压是有波动的直流电压，设用δU表示此波动电压的最大值与最小值之差，则

δU=U ₂₀ _最大 -U ₂₀ _最小

=[2U _m –I _cp /（f·C ₁ ）]-[（2U _m –I _cp /（f·C ₁ ）-Q ₂ /C ₂ ]

=Q ₂ /C ₂ =[2U _m –I _cp /（f·C ₁ ）]（1-e ^-t2/ ^τ ² ）

一般t ₁ 很小，当其忽略不计时，t ₂ ≈T=1/f。

Q ₁ =Q ₂ +ΔQ≈Q ₂ 又Q ₁ =I _cp /f

∴ δU=Q ₂ /C ₂ ≈Q ₁ /C ₂ =I _cp /C ₂ f。

由此可见，ΔU、δU与负荷平均电流I _cp 成正比，而与电容C ₂ .电源频率f成反比。输出电压在（2U _m -ΔU）与（2U _m -ΔU-δU）之间波动，即

（2U _m -ΔU）≥（输出电压）≥（2U _m -ΔU-δU）。

§1-3 两级倍压回路有负荷时的工作原理

设：1.倍压电路中所用的电容均相等，且等于C；

2.略去倍压电路中所有的电阻和电感；

3.设t ₁ 大大小于t ₂ ，t ₂ ≈T。

4.在分析电容工作时还有一个前提，即认为任何一个电容在一个周期内获、失电荷量相等。

现在来分析图（1-4）电路中各元件的工作情况。

§1-3-1 负载上的电荷

在t ₂ （≈T）期间，流过负荷的电荷为Q，其路径如图（1-6）所示。

Q≈I _cp ·t ₂ （t ₂ ≈T，忽略ΔQ）

≈I _cp ·T=I _cp /f

除该路径外，再无其他路径（忽略ΔQ）。由于C ₁ 、C ₂ 在t ₂ 期间各要失去Q，因此图（1-5）所示的U ₁₀ 曲线要由B降到A。总的压降为Q /C ₁ + Q/C ₂ =2Q /C。它基本上等于曲线由B → C，再由D → A所总共降落的电压。B → C，D → A这二级都是指数曲线，其时常数τ应由图（1-6）决定。

§1-3-2 C ₁ 上电荷之平衡

C ₁ 在T中与C ₂ 一起对R _H 放出Q，那它必须获得Q，获得的时间发生在AB一段，即U _ao 接近+U _m 的一段时间。

此时，U _1′ ₀ 与U _2′ ₀ 均大大高于U ₂₀ 与 0，因此，K _1′ 与K _2′ 截止。要供给C ₁ 以Q，只有经过C _1′ 及K ₁ 才行。现K _1′ 与K _2′ 均截止，而K ₂ 又只能允许由 2′流向 2，因此，Q的流动路线只可能如图（1-7）所示。当全部Q流动完毕，C ₁ 已得到平衡之后，在T内，沿图（1-7）路线不可能再有电荷流动。

§1-3-3 C _1′ 上电荷之平衡

由图（1-7）可知，因为要在t ₁ 时间内对左侧电容充电，故C _1′ 上会失去电荷Q（略去ΔQ），因此，C _1′ 必须在t ₂ 时间内重获Q。而C _1′ 要获得正电荷，其唯一的通路是经过K _1′ 。其路径如图（1-8）所示。

该Q流动的时间发生在如图（1-5）所示的CD段，即U _a0 接近（-U _m ）时。因为只有在此时，U ₂₀ 才有可能高于U _1′ ₀ 。在一个周期T内的其他时间里，由于U _ao 的升高，U _1′ ₀ 总是比U ₂₀ 高得多，故K _1′ 不通。当C ₂ 沿图（1-5）路径对右侧电容放完Q以后，该路径的电荷流动即停止。这也就是图（1-5）中CD一段陡降的原因。

§1-3-4 C ₂ 上电荷之平衡

C ₂ 在一个周期T内共放出两个Q：一个Q是在t ₂ 时段对R _H 放的；另一个Q是在CD段沿图（1-8）路径放的。而C ₂ 在AB段沿图（1-7）路径仅收回一个Q，那还差一个Q，其补充的路径只能是图（1-9）所示的路径，别无他径。时间亦发生在AB段。

§1-3-5 C _2′ 上电荷之平衡

C _2′ 在一个周期T内也失去两个Q：一个沿图（1-7）所示路径给C ₁ 、C ₂ 充电，时间在AB段；另一个沿图（1-9）所示的路径给C ₂ 充电，时间仍在AB段。

而C _2′ 沿图（1-8）路径收回一个Q，另一个Q只能沿图（1-10）所示的路径收回，其时间也在CD段。

§1-3-6 结论归纳

1.在T的大部分时间（t ₂ ）内，只有电路图（1-6）工作。在此期间，C ₁ 、C ₂ 将各失去Q。Q≈I _CP ·T=U _CP ·T/R _H 。

2.当U _a0 接近（-U _m ）时，左排电容（除最上面的C ₁ ）和T _P 一起对右排电容（C _1′ 、C _2′ ……）放电，因此，U输出进一步下降。

3.当U _a0 接近（+U _m ）时，右排电容和TP一起对左排电容（C ₁ 、C ₂ ……）放电，因此，U输出上升。

4.各级电容上进出的电荷流动为：C ₁ 、C _1′ ── Q；C ₂ .C _2′ ── 2Q；若有n级，那么最下一级电容的电荷流动则为nQ。

5.流过各整流器（K ₁ ……等）的电荷均为Q，并且只发生在AB、CD一段，故电流的持续时间短，峰值高。

6.流过变压器T _P 的电流也是持续时间短，峰值高，进出的电荷流动为nQ。

§1-4 输出特性之计算

§1-4-1 δU的计算

δU的定义：波动电压的最大值与最小值之差。

由图（1-5）可知，从B → C → D → A中，C ₁ 共放出Q，而C ₂ 放出2Q。因此，δu=Q/C ₁ +2Q/C ₂ =3Q/C=3I _CP ·T/C=3I _CP /（f·C）。

这是带有负荷的两级一般倍压电路中δU的值。当推广到n级时，

§1-4-2 ΔU的计算

ΔU的定义：无负荷时的输出电压最大值与有负荷时的输出电压最大值之差。

对于带有负荷的两级一般倍压电路来说，之所以在负载R _H 上不能得到4U _m ，是因为C ₁ 、C ₂ 都不能充到2U _m 。

拿C ₂ 来说，它上面的电压在B点[如图（1-5）所示]处达到最大值，也就是相当于图（1-9）中的K ₂ 开始截止之时。这时：

式中：U _C2′B 表示在B点时刻C _2′ 上的电压；U _{a0 最大} =U _m

而

式中的U _m 是C _2′ 在前一负半波中获得的，2Q是在A→B段中放出去的。因此：

再说C ₁ ，这时先要求出C _1′ 上的最高电压。C _1′ 上的电压是按图（1-8）充电完毕时达到最大值的。此时，K _1′ 刚截止，而K _2′ 刚导通，因此：

式中：U _C2D 表示在D时刻C ₂ 上的电压值；B→C段中C ₂ 对R _H 。放电所引起的电压降落为（Q/2）/C ₂ ，这是因为C ₂ 在从B→C段和从D→A段共对负荷R _H 放出Q，而在这两段相等的时间放出的电荷也相等，故各为Q/2；C ₂ 对C _1′ 放电为Q（图1-8）。

C ₁ 上的电压是当右排电容由K ₁ 向C ₁ 充电完毕时达到最大。此时，K ₁ 刚截止而K ₂ 刚导通。时间发生在B时刻。故：

式中：1.U _C1′ _B 为B时刻的C _1′ 上的电压；

2.C _1′ 对C ₁ 放电为Q。

由于U _C1 _最大最大及U _C2 _最大最大均同时在B点出现，故最高输出电压为：

当一般电路为n级时，情况则分析如下。

由前面的推理看出，在A → B一段时间里，K ₁ 、K ₂ ……K _n 将顺序导电，这时，C _1′ 、C _2′ ……C _n′ 等右排电容将和T _P 一起相继对左排电容（C ₁ 、C ₂ ……C _n ）充电。等K _n 最后导电完毕，C _n′ 共放出nQ，C _（n-1）′ 共放出（n-1）Q，……C _1′ 放出Q。

而在C→D一段，左排电容C ₂ 、C ₃ ……C _n 和TP一起相继对右排电容（C _1′ 、C _2′ ……C _n′ ）充电，K _1′ 、K _2′ ……Kn _′ 将顺序导电。在此期间，C ₂ 将放出Q，C3 放出 2Q，C _（n-1）放出（n-2）Q，C _n 放出（n-1）Q。按前面两级一般倍压电路计算ΔU的方法可得：

在A→B段中之B点，（∵C _n ′在A→B段中放出nQ）

式中：K′=0、1、2……

当K′=0时，令K=n-K′，则K′=n-K

注意：

上式中n（2n ² +n）项中的n表示，当去掉∑符号时（2n ² +n）应有n个；

§1-4-3 最佳级数 nn 的计算

从Ucp的表达式可见，当n超过一定值后，n再增加，将无法使Ucp增加。因此，对于一定的输出电压，有一最佳级数n。

第二章
对称倍压回路有关参数计算公式之推导

对称倍压回路有三个重要参数：电压降ΔU、脉动电压δU、最佳级数n。本文较详尽地介绍了这三个参数计算公式的推导过程。

为了推导摘要中所述的几个参数，本文先对有负载时的两级对称倍压回路进行分析，得出结论，再推广到n级。

§2-1 两级对称倍压回路有负载时的工作原理

有负载时的两级对称倍压回路原理图如图（2-1）所示。

在分析其工作原理时，有以下几点假设：

1.回路中所有的电容均相等，且等于C；

2.略去回路中电阻、电感及任何泄漏电流；

3.在分析电容工作时，认为它在一个周期内获、失电荷量相等；

4.认为左、右柱电容对中柱电容充电的时间很短，和一个周期比较可以忽略；在左、右柱电容对中柱电容充电的同时，它们对负载R _H 所流的电荷ΔQ可以忽略。

下面对图（2-1）中各元件的工作情况进行分析。

§2-1-1 负载R _H 上的电荷

设在一个周期内流过负载R _H 的电荷为Q，则Q的流动路径如图（2-2）所示。Q的关系式如下：

式中I _CP 、U _CP 分别为负载上的平均电流、平均电压；T为周期，f=1/T。

§2-1-2 C ₁ 上电荷之平衡

C ₁ 在一个周期中对R _H 放出Q，故须在一个周期中获得Q。其获得电荷的时间发生在U _a0 接近+U _m 及U _a ′ o接近+U _m 的两段时间。在这两段时间里，K ₂ 、K ₄ 及K ₂ ′、K ₄ ′均截止。因此，要供给C ₁ 以Q，当U _a0 接近+U _m 时，只有经过C ₁ ′及K ₁ 才行；当U _a′ _o 接近+U _m 时，只有经过C ₁ ″及K ₁ ′才行。其电荷流动路径分别如图（2-3）、图（2-4）所示。C ₁ 在一个周期内放出一个Q，故只需补回一个Q即可。由于是在两段时间补回，故每次补充Q/2。

§2-1-3 C ₁ ′上电荷之平衡

因为C ₁ ′在T内失去Q/2，为了保持平衡，必须在其他时间补回。C ₁ ′要获得正电荷，必须通过K ₂ 。其路径如图（2-5）所示。其电荷流动时间发生在U _a0 接近-U _m 的一段时间。因为只有在这时U ₂₀ 才有可能高于U ₁ ′ ₀ 。在T的其他时间里，由于U _a0 的上升，U ₁ ′ ₀ 总是比U ₂₀ 高，故K ₂ 不通。

§2-1-4 C ₁ ″上电荷之平衡

与前述雷同，C ₂ 在U _a _'0 接近-U _m 的一段时间里，通过K ₂ ′对C ₁ ″充电，电荷为Q/2，如图（2-6）所示。C ₁ ″在图（2-4）所示路径中失Q/2，现得Q/2，故在T内收支平衡。

§2-1-5 C ₂ 上电荷之平衡

C ₂ 在T内的电荷收支情况综述如下。沿图（2-2）路径对R _H 放出Q；沿图（2-5、2-6）路径，对左、右柱电容各放出Q/2，共放出Q；沿图（2-3、2-4）路径，各从左、右柱电容得到Q/2，共得Q；沿图（2-7、2-8）（该两图情况与前述雷同）路径，从左、右柱下端电容各得Q/2，共得Q。由上可见，C2 在T内得 2Q，失 2Q，收支平衡。

§2-1-6 C ₂ ′上电荷之平衡

C ₂ ′上电荷在T内的收支情况综述如下。沿图（2-3）路径放出Q/2；沿图（2-5）路径收回Q/2；沿图（2-7）路径放出Q/2；沿图（2-9）（该图情况亦与前述雷同）路径收回Q/2。

由上可见，C ₂ ′在T内共得Q，失Q，收支平衡。

§2-1-7 C ₂ ″上电荷之平衡

C ₂ ″上电荷在T内的收支情况综述如下。沿图（2-4）路径放出Q/2；沿图（2-6）路径收回Q/2；沿图（2-8）路径放出Q/2；沿图（2-10）（该图情况亦与前述雷同）路径收回Q/2。

由上可见，C ₂ ″在T内共得Q，失Q，收支平衡。

§2-1-8 归纳

设U _a0 接近+U _m （即U _a _'0 接近-U _m ）的一段时间为t ₁ ；U _a0 接近-U _m （即U _a _'0 接近+U _m ）的一段时间为t ₃ ；其他两段时间分别设为t ₂ 、t ₄ 。在这四段时间里，各电容的收支情况如下表所示。

由表可见，C ₁ 、C ₂ 在t ₁ 、t ₃ 时段各得Q/2。因此，输出电压在t ₁ 、t ₃ 时段按指数曲线上升；C ₁ 、C ₂ 在t ₂ 、t ₄ 时段各失Q/2，故在该时段电压按指数曲线下降。这样，便可绘出带有负载的对称倍压回路各点电位变动情况的图形如图（2-11）所示。

归纳以上情况可得出如下结论：

（1）在T的大部分时间（t ₂ 、t ₄ ）内，只有回路图（2-2）在工作。在此期间，C ₁ 、C ₂ 失去的电荷与其他参数的关系如式（1）所示。

（2）在时段t ₁ ，右柱电容（C ₁ ′、C ₂ ′）和U _a0 一起放出电荷，而中柱（C ₁ 、C ₂ ）及左柱（C ₁ ″、C ₂ ″）电容补充电荷，U输出上升；

在时段t ₂ ，中柱电容（C ₁ 、C ₂ ）对负载放电，U输出下降；

在时段t ₃ ，左柱电容（C ₁ ″、C ₂ ″）和U _a _'0 一起放出电荷，而中柱（C ₁ 、C ₂ ）及右柱（C ₁ ′、C ₂ ′）电容补充电荷，U输出上升；

在时段t ₄ ，中柱电容（C ₁ 、C ₂ ）对负载放电，U输出下降。

（3）各级电容在T内电荷收支情况：

C ₁ ——Q；C ₂ ——2Q；C ₁ ′、C ₁ ″——Q/2；C ₂ ′、C ₂ ″——2Q/2。推广到n级，则有：C _n ——nQ；C _n ′、C _n ″——nQ/2。

（4）流过各整流器的电荷均为Q/2，并且发生在t ₁ 、t ₃ 时段，故电流持续时间短，峰值高。

（5）流过变压器的电流也是持续时间短，峰值高，副边每只绕组电荷流动各为nQ/2。

§2-2 输出特性之计算

§2-2-1 脉动电压δU之计算

从图（2-11）可见，由A → B → C为半个周期，而波形则以半个周期进行循环。从B → C，电容C ₁ 、C ₂ 各失去Q/2。因此：

推广到n级，则有：

式中δU _平均为脉动电压的平均值。

§2-2-2 最小电压降ΔU及平均电压降ΔU _CP 之计算

对于两级对称倍压回路来说，在负载R _H 上并不能得到 4U _m 。这是因为C ₁ 、.C ₂ 上都不能充到 2U _m 。拿C ₂ 来说，它上面的电压在B点达到最大值。A → B区域发生的时间为t ₁ 时段。在t ₁ 内，U _ao （当接近+U _m 时）及C _2′ 上的电压通过K ₃ 共同对C ₂ 充电（K ₃ 导通在K ₁ 之后），因此，C ₂ 上的最高电压和K ₃ 刚开始截止时的C _2′ 上的最高电压相等，即

U _C2 _最大 =U _C2′ _B +U _ao _最大

U _{C2 ′} _B =U _m –2（Q/2）/ C _2′ =U _m – 2Q / 2C

式中U _a0 _最大 =U _m ；U _C2′ _B ——表示C _2′ 在B点的电压。

U _C2′ _B 表达式中的U _m 是C _2′ 在前一负半波（U _a0 =-U _m ）中获得，而2·（Q/2）是在A → B段（即t ₁ 时段）中放出去的，其中（Q / 2）是通过K ₁ 放的，另外（Q/2）是通过K ₃ 放的。因此：

注意：这里略去了在t ₁ 、t ₃ 时段C ₂ 对负载R _H 所放的电荷。

再看C ₁ 上的电压。

C ₁ 上的最高电压和K ₁ 刚开始截止时的C _1′ 上的电压应相等，因此：

U _C1 _最大 =U _C1 _′最大 -［C _1′ 对C ₁ 放电而引起的C _1′ 上的电压降落（Q/2C）］，

而U _C1 _′最大 =U _C2 _最大 -［B → C段中C ₂ 对R _H 放电所引起的电压降落（Q/2C）］-［C → B′段中C ₂ 对C _1′ 放电所引起的C ₂ 上的电压降落（Q/2C）］+［C → B′段中左柱电容（C _1″ 、C _2″ ）对C ₂ 充电的电压 2·（Q/2C）］

这样，可求出U ₁₀ _最大：

从U _C2 _最大 =2U _m -2·（Q/2C）可以推出当级数为n时，中柱最下面的电容C _n 上的电压最大值为：

同样，U _Cn-1 _最大 =U _Cn-1 _′最大 -［C _n-1′ 对C _n-1 放电而引起的C _n-1′ 上的电压降落：（n-1）Q / 2C］，而U _Cn-1 _′最大 =U _Cn _最大 -［B → C段中C _n 对R _H 放电所引起的电压降落：（Q/2）/ C _n ］-［C → B′段中C _n 对C _n-1′ 放电所引起的C _n 上的电压降落：