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在此之前，我们一直在通过计算每套公寓的总价值来研究租房问题。现在我们将讨论另一种优化方法：运用边际分析实现优化。利用边际分析的优化通常比利用总价值的优化更容易执行，因为前者只关注不同选项之间的差异。
所谓运用边际分析实现优化，是指通过思考选项变换所带来的成本和收益变化来解决优化问题。例如，假设我们去迈阿密的同一家酒店度假时有两个选择：四日游或者五日游。假定你正在这两个选项之间做抉择。如果你基于总价值进行优化，就需要先计算出四日游的总净收益，然后将其与五日游的总净收益进行比较。或者你也可以只考虑这两个选项之间的差异。换句话说，你可以只考虑多出来的那一天的成本和收益。如果假期第五天的收益超过了成本，那么优化者就会选择五日游。在这两个选项间进行抉择时，优化者不必担心前四天，因为这四天是两个选项共有的部分。优化者可以把焦点放在把这两个假期区分开来的那个要素上：第五天。
经济学家使用“边际”来指代选项之间的某一差异。通常，这项差异可能是多出来的一个“步骤”或多出来的一个“单位”。假期的第五天就是四日游和五日游之间的差异，或者说边际。
研究一个可行选项与另一个可行选项之间差异的成本—收益计算被称为 边际分析 。边际分析比较的是某件事情多做一步的结果，即成本和收益的变化。回想之前租公寓的例子，边际分析可以用于研究进一步远离市中心所带来的成本和收益变化。
边际分析永远不会改变“何为最优”这一问题的最终答案，但会帮你厘清思考优化的方式。 边际分析促使我们聚焦于所对比选项的差异。边际分析提供了另一种找到最优选择的方法。边际分析是经济学中最重要的概念之一，它不仅能加深我们对优化概念的理解，也可以用来进行优化。
让我们回到选择最优公寓的问题。回到这个问题的目的是保持前文分析的连续性，但请注意，我们所谈到的这些方法其实可以用于几乎所有的优化问题。
之前研究选择租住哪一套公寓时，我们并没有使用边际分析，而是通过计算和比较4套公寓的总成本（包括直接成本和间接成本）解决了这个问题。现在我们将使用边际分析来解决同一个公寓选择问题。最优选择不会改变（我们接下来将证实这一点），但是你思考问题的方式将会发生变化。
我们再次假设时间的机会成本为10美元/小时。现在我们不再单独考察每套公寓，而是改为以比较的方式进行思考。具体而言，就是关注当我们从一套公寓“搬”到另一套距离市中心更远的公寓时，租住成本会发生什么变化。每两套公寓之间的成本差异是多少。
表3.3可以帮助你思考这些变化。“通勤成本”这一列显示的是每套公寓在时间机会成本为10美元/小时的情况下每月的通勤成本。“边际通勤成本”这一列显示的是从一套公寓搬到离市中心更远的另一套公寓时，每个月额外的通勤时间成本。例如，从公寓“近”搬到“远”会产生50美元/月的额外通勤成本。换句话说，“边际通勤成本”这一列显示的是候选清单上相邻位置的两套公寓的通勤成本之差。具体到这个例子中，边际通勤成本都是相同的，也就是说，每次往离市中心更远的相邻位置搬，通勤成本都会出现相同数量的增加。这并非普遍的实际情况，只是我们为讨论方便而做的设定。一般来讲， 边际成本 是从一个可行选项转移到另一个可行选项所产生的额外成本。
表3.3 成本与边际成本，假设时间机会成本为10美元/小时
注：我们可以通过研究搬离市中心的边际成本来解决这个问题。应该在什么时候停止向远离市中心的方向搬离？
现在让我们转向“租金”这一列，此列显示的是每套公寓每月的租金。“边际租金”这一列显示了从一套公寓搬到离市中心更远的另一套公寓所带来的每月租金的变化。例如，从公寓“很近”搬到公寓“近”可以让你每个月省下租金90美元，所以这里的边际租金是一个负数，为—90美元。同样地，如果从公寓“近”搬到公寓“远”，那么你每个月可以省下租金60美元，所以边际租金为—60美元。
最后，我们还想知道总成本的边际值。我们可以用两种方法计算总成本的边际值。第一种方法，我们可以将边际通勤成本和边际租金相加得出边际总成本。例如，通过查看第一组边际成本数字，我们得到：
50美元+（-90美元）=-40美元
换句话说，从公寓“很近”搬到公寓“近”，每月会增加50美元的通勤成本，同时租金的变化为—90美元，两者综合起来所产生的变化为—40美元。
另一种方法是直接计算总成本。我们通过“总成本”这一列便可实现这一计算。例如，公寓“很近”每月的通勤成本为50美元，租金成本是1 180美元，所以它的总成本是1 230美元。公寓“近”每月的通勤成本是100美元，租金成本是1 090美元，所以总成本是1 190美元。当从公寓“很近”搬到公寓“近”时，每月的总成本从1 230美元变化为1 190美元，也就是降低了40美元。
这两种方法都证明，当从公寓“很近”搬到公寓“近”时，边际总成本是—40美元。
边际通勤成本+边际租金=50美元+（-90美元）=-40美元
公寓“近”的总成本 - 公寓“很近”的总成本=1 190美元-1 230美元=-40美元
我们在两种情况下都得出“—40美元/月”这一数字并非偶然。两者之所以完全一致，是因为边际总成本的计算与我们如何分解成本无关。我们可以将各类边际成本相加来计算边际总成本，也可以将一套公寓的总成本减去另一套公寓的总成本来计算边际总成本。因为答案总是相同的，所以你可以任意选择一种你觉得更容易的方法。
表3.3中的最后一列“边际总成本”包含了我们寻求优化所需的所有信息。让我们从这一列的顶部开始，思考每一次搬往离市中心更远的公寓会如何影响上班族。第一次搬家，从公寓“很近”搬到公寓“近”，边际成本是—40美元/月，因此成本是下降的。这次搬家是值得的。
第二次搬家，从公寓“近”搬到公寓“远”，边际成本是—10美元/月，因此成本也是下降的。这次搬家也是值得的。
第三次搬家，从公寓“远”搬到公寓“很远”，边际成本是20美元/月。由于这一次成本是上升的，所以这次搬家不值得。
总结一下，前两次搬家都是物有所值，而最后一次则不是。公寓“很远”不可能是最优选择，因为上班族从公寓“远”搬到公寓“很远”后境况变差了。“很近”也不可能是最优选择，因为从公寓“很近”搬到公寓“近”，上班族的境况变好了。最后，公寓“近”也不可能是最优选择，因为从公寓“近”搬到公寓“远”，上班族的境况变好了。
我们由此可以得出结论：公寓“远”为最优，也就是最佳可行选项。从公寓“近”搬到公寓“远”，上班族的境况变好了。但是，从公寓“远”搬到公寓“很远”，上班族的境况变差了。公寓“远”是唯一一套满足以下特质的公寓：搬到该公寓会使上班族的境况变好，搬离该公寓则会使上班族的境况变差。换句话说，公寓“远”具有一个优点：它是一个比其他相邻选项都更好的选项。
优化者的目标是让自己的境况尽可能地变好——但在最优的情况下，他们无法变得更好。在这个例子中，在其他因素保持不变的情况下，比所有其他可行选项都更好的公寓就是总成本最小的公寓。这是一个边际优化原理的例子。 边际优化原理 指明了一个最优可行选项所具有的特质：移至该选项会使你的境况变好，而偏离该选项会使你的境况变差。
我们可以借助图表来形象地表达这些概念。图3.5绘制了每套公寓的总成本曲线以及每次从一套公寓搬到离市中心更远公寓的边际成本曲线。例如，从公寓“很近”搬到公寓“近”会使每月的总成本降低40美元。图中虚线的垂直部分显示出，公寓“近”每月的总成本和公寓“很近”每月的总成本存在—40美元的差异。
图3.5 每套公寓的总成本和换公寓间的边际成本（假设时间的机会成本为10美元/小时）
注：成本最低的选择是“远”。我们可以通过观察总成本曲线或者边际成本曲线发现这一点。当边际成本为数时，总成本下降。当边际成本为正数时，总成本上升。公寓“远”是唯一一套比其他所有选项都要好的公寓。当搬到公寓“远”时，边际成本为负数；当搬离公寓“远”时，边际成本为正数。因此，公寓“远”是唯一一套满足边际优化原理的公寓。
当总成本曲线的形状是图3.5所示的U形时，利用边际分析的优化总是会选出唯一的最优选项。当总成本下降时，边际成本将为负值，边际分析建议我们应该搬到离市中心更远的地方，从而降低总成本。在总成本降到最低点后，边际成本将转正，这意味着租客不应该继续往远离市中心的地方搬。
当总成本曲线的形状不是U形时，计算会变得更复杂。但即使出现这种情况，边际分析最终确定的最优选择也会与通过最小总成本所确定的选项一致。
由于边际分析总是会选出与总净收益最大化相同的最优选项，所以你可以根据所分析的特定问题选择一种更容易的方法。然而，理解为什么经济学家在实践中大多使用边际分析也具有重要意义。边际分析十分简便，因为你可以忽略其他一切，只需关注这些选项的不同特定属性。边际分析会提醒你排除那些与你的决策无关的信息。
综上所述，边际分析有三个步骤：
（1）把所有的成本和收益转换为相同的单位，例如美元/月。
（2）计算变换选项所产生的边际结果。
（3）应用边际优化原理，选择具有如下特质的最佳选项：移至该选项会使你的境况变好，而偏离该选项会使你的境况变差。
边际分析，也就是上述三个步骤，可用于解决任何优化问题。边际分析最常应用于各可行选项具有清晰次序的情况。例如，你今晚应该睡多少小时？6小时、7小时、8小时，还是9小时？更长时间的睡眠能让你得到更多的休息，但睡眠是有机会成本的——你如果想要更多的睡眠，就要牺牲一些其他的活动，例如早餐或者早上9点的经济学课。从6小时到7小时、8小时或者9小时的睡眠变动生成了一组可以应用边际分析的清晰步骤。例如，从睡6小时变动到睡7小时会有净收益吗？从睡7小时变动到睡8小时会有净收益吗？从睡8小时变动到睡9小时会有净收益吗？你会找到一个最优的睡眠小时数，变动到最优睡眠小时数会使你的境况改善，而偏离最优睡眠小时数会使你的境况变差。
以下例子也可以使用边际分析来计算最优值：你明天应该学习多少小时？这个夏天你应该把多少周时间用于打工？你下次健身时应该慢跑多久？
● 在本章中，我们假设在公寓其他特征一致的前提下，市中心附近的公寓租金更高。你可能会想，事实是否真的如此？
● 人们通常认为市中心的公寓脏乱差，而乡村的房子则非常漂亮。但是，如果我们想要单独分析地理位置对住房成本的影响，就需要让公寓的状况（如公寓的大小）保持固定，而仅改变其地理位置。
● 经济学家贝丝·威尔逊和詹姆斯·弗鲁建立了一个数据库，搜集了俄勒冈州波特兰市众多出租公寓的信息。 [1] 他们利用统计方法对离市中心较近的公寓和离市中心较远的相似的公寓有效地进行了比较。他们的分析揭示出距离和租金之间有着强烈的负相关关系，图3.6描述了这一关系。
● 图3.6所统计的公寓都为一卧一卫户型，公寓内配备洗衣房、非露天停车场、有线电视和空调，但没有壁炉、健身房和游泳池。除了与市中心的距离不同，这些公寓的其他特征都相同。该分析对这些公寓的租金进行了比较。
● 图3.6证实，公寓与市中心的距离会影响租金。公寓离市中心越近，租金越高。例如，在距市中心6英里处，具有上述特征的公寓的租金为1 000美元左右。在距市中心1英里处，“相同”公寓的租金是1 500美元。
图3.6 俄勒冈州波特兰市的公寓租金取决于其和市中心的距离
注：本图的描述对象是除了到市中心的距离不同，其他条件都相同的公寓。图中的箭头所指的是环城高速公路的大致位置，波特兰大部分城区都位于此环路之内。
俄勒冈州波特兰市的环城高速公路
注：像多数大城市一样，波特兰有一条环城高速公路，距市中心大约12英里。
● 图3.6还显示出，在距市中心12英里附近，图中的曲线明显变得平缓。你能猜到这个地区房租不再变化的原因吗？考虑时间机会成本与波特兰市高速公路系统的结构后，你就可以得出答案。像大部分城市一样，在距波特兰市中心大约12英里处，有一条可缩短出行时间的环形高速公路（“环路”）。住在环路几英里范围内的人具有离高速公路近的优势。因为环路的存在，距市中心9~14英里区域的居住者的通勤时间差别不大。
稀缺、价格和激励
● 我们现在回到前面提到的一个重要问题。为什么离市中心越远的地方租金越低？这与本章的主题“优化”有什么关系？
● 我们通过分析发现，如果市中心的租金与偏远社区相同，寻求优化的通勤者会很乐意住在市中心。但不是每个人都能住在市中心，也不是每个人都能短途通勤，市中心的公寓也不够住。这就是经济稀缺性的一个实例。稀缺是我们在第1章最早学到的概念之一。
胡德山位于波特兰市的东边，面对该山的公寓居民可以欣赏到它的美景。但不是每个人都能欣赏到这样的景观，一些低层公寓，还有一些西向的公寓并不具备这么好的视野。东向的高层公寓租金要比没有这绝美视野的类似公寓高20%。对经济学家来说，这种价格差异正是一种测算稀缺资源（比如看得见风景的房间）的货币价值的好方法。
● 是租房市场决定了谁可以拥有更短的通勤时间。市场允许寻求优化的房东和寻求优化的租客自由协商公寓租金。在市场中，公寓的租金是由市场力量而不是由从政者或监管者决定的。时间机会成本最高的租客会抬高通勤时间最短的公寓的租金。
● 随着市中心公寓价格的上升，只有具有最高时间机会成本的上班族才会愿意租住此类公寓。
● 大多数上班族会选择搬到更远的地方，接受通勤时间更长的结果。这是一种权衡，即用更长的通勤时间来交换更低的租金。
● 市场价格的作用是把市中心的公寓分配给那些愿意为其支付最多租金的租客。这种分配机制意味着，那些地理位置最好的公寓主要是由高收入的上班族以及其他具有高时间机会成本的人租住。
● 一些市场的批评者抱怨市场不公平：为什么收入最高的工作者还要得到那些位置最好的公寓？市场的捍卫者则回应说，人们通过付费方式来获取优质公寓的使用权，拥有最好位置的公寓自然要付最高的租金，而市场分配机制保证那些愿意为最好的公寓支付最高价格的人得到它们。
● 理解市场分配过程如何运作是本书第4章和其他很多章节的主题。在讨论这些问题时，我们希望你们思考一下社会到底应该如何决定稀缺资源（比如市中心的公寓）的价格。是否应该有一个允许房东和租客通过自由协商来决定公寓租金的系统？如果该系统只允许收入最高者承租最便利的公寓，那么结果会怎样？这是否不公平？租金管制法等政府政策会如何影响这个市场？你能想出更好的方法来解决我们社会中日益严重的经济不平等问题吗？
注：在几乎所有城市中，每平方英尺
房屋售价通常会随着与市中心的距离的变化而发生变化。右图显示的是波士顿城市地铁不同站点周边的每平方英尺房屋售价（数据来自Estately地产，2016年）。拥有最高每平方英尺房屋售价的车站是“公园街”，它位于城市的中心位置。但在这条线路最北面的“灰西鲱”和最南面的“布伦特里”这两个市郊地铁站附近，房价则普遍出现下降。
最后还有一些例子表明，在新冠等病毒大流行期间，企业和公共卫生官员也会自然而然地选择使用边际分析。一家制药公司应该雇用多少科学家来研究正在开发的特定疫苗？一种有希望的疫苗在获得美国食品药品监督管理局批准之前应该达到多少周的良好疗效？购物者在商店排队时应当保持多少英尺的距离？在此类情况（以及许多其他情况）中，尝试优化者会很自然地去评估多做一步（或少做一步）的净收益变化。
● 经济学家认为优化（即试图找出最佳可行选项）描述了经济主体做出的绝大多数选择。然而人并不总能成功做出最优选择。大量的经济学研究都试图回答以下问题：人在什么时候能成功找出最佳可行选项（最优）？人又在什么时候无法实现这一目标？
● 使用优化概念来描述和预测行为是实证经济分析的一个范例。
● 优化概念也为改进尚未实现最优的决策提供了一种很好的方法。使用优化来改进决策是规定经济分析的一个范例。
● 利用总价值的优化有3个步骤：（1）将所有的成本和收益转换为统一的单位，如美元/月；（2）计算每个选项的总净收益；（3）找出净收益最高的选项。
● 边际分析用于评估人们变换选项所产生的净收益变化。边际分析计算的是一件事情多做一步（或少做一步）的结果。
● 边际成本是从一个选项移动到下一个选项所产生的额外成本。
● 利用边际分析的优化有3个步骤：（1）将所有的成本和收益转换为统一的单位，如美元/月；（2）计算变换选项所产生的边际结果；（3）应用边际优化原理，选择具有如下特质的最佳选项：移至该选项会使你的境况变好，而偏离该选项会使你的境况变差。
● 利用总价值的优化和利用边际分析的优化会得到相同的答案。这两种方法是同一枚硬币的两面。
最优选择
最优
行为经济学
边际分析
边际成本
边际优化原理
1. 优化是什么意思？比较利用总价值的优化和利用边际分析的优化的异同。
2. 优化原理是否意味着现实世界的人总能找出最佳可行选项？
3. 有些人选择居住在市中心附近；另一些人选择远离市中心，每天花更长的时间通勤。选择居住在通勤时间较长的地点是否意味着没有实现优化？
4. 为什么一个人的时间机会成本改变意味着其最优的公寓地点选择也会改变？
5. 假设你已掌握了学区分界线东西两侧相似住宅的销售信息。你如何利用这些数据来评估家长对子女所在学校质量的重视程度？
6. 有一句谚语：“任何值得做的事情都值得做好。”你认为经济学家会认同这句谚语吗？
7. 为什么边际分析有助于识别出优化问题的关键所在？
8. 请解释公寓市场会如何分配市中心附近供给稀缺的公寓。
9. 优化分析是实证经济分析还是规范经济分析，抑或两者都是？请解释。
1. 你是一个租客，正在俄勒冈州波特兰市寻找公寓。你的租房预算为950美元/月，所以你在找环城高速公路周边的公寓。你找到了两套公寓，其中一套位于波特兰市的东边（东公寓），另一套位于波特兰市的西边（西公寓）。这两套公寓的出租价格都是950美元/月，而且到你位于市中心的工作地所需的时间也一样。除了以下差别，这两套公寓在其他方面都完全一样。
a. 在东公寓能看到胡德山的壮丽景观，在西公寓则不能。你对该景观的估值为25美元/月。你应该租哪套公寓？
b. 仔细考察后，你发现西公寓到机场的时间要比东公寓少近30分钟。出于工作原因，你每月需要乘坐两次飞机（这需要你每月开4次车，以实现从家到机场的往返），你对自己时间的估值是每小时20美元。基于这些新信息，你应该租哪套公寓？
c. 就在租下这套公寓之前，你发现自己的工作职责发生了改变，每月只需乘坐一次飞机。基于这一新信息，你应该租哪套公寓？
d. 你的工资也上涨了，这使你的时间价值增加到每小时23美元。基于这一新信息，你应该租哪套公寓？
1. 无线通信技术的发展正在降低远距离通勤的非财务成本，例如，人们可以在乘坐地铁时就把工作干完，开车的人也有更多的娱乐选择。这会如何影响人们在市中心附近租住的意愿？请使用时间机会成本概念解释你的推理。
2. 居家办公技术的进步，使得部分上班族无须再像以前那样频繁出入办公室，例如，各种Zoom会议让员工可以待在家中而不用前往办公室。这会如何影响人们在市中心附近租住的意愿？请使用时间机会成本概念解释你的推理。
3. 你被当地一家餐厅聘为顾问。该餐厅正在考虑是应该在晚上9点关门，还是应该增加1小时的营业时间（晚上10点关门）。考虑到工资和水电费，每增加1小时营业时间的额外成本（边际成本）是200美元。
a. 如果最后1小时营业的额外收入（边际收入）为250美元，你会建议怎么做？基于你的建议，餐厅利润会有多大变化？
b. 如果额外收入只有100美元呢？
c. 你需要了解关于边际收益的哪些信息，才能得出晚上9点是最理想的关门时间这一结论？
4. 判断以下说法是更好地描述了利用总价值的优化还是利用边际分析的优化。
a. 约翰正在选择看哪部电影。（所有电影的票价相同，并在同一时间/地点播放。）他认为新的《蝙蝠侠》电影胜过新的《蜘蛛侠》电影，而这两部电影都胜过新的《超人》电影。
b. 尼基决定进行慢跑3英里的锻炼，理由是3英里慢跑比2英里慢跑或4英里慢跑要好。
c. 在一次庭院旧货出售中，里根计算出他愿意支付200美元购买的大号床售价100美元（产生的净收益为100美元），他愿意支付220美元购买的特大号床售价300美元（产生的净收益为—80美元）。
5. 这学期你选修了两门课程：生物课和化学课。两门课都即将进行随堂测验。下表显示了你在每门课上学习不同的时间相应会得到的成绩。（本题假设每小时学习时间不能再细分。）例如，下表显示，如果你在化学课上花费1小时而在生物课上花费2小时，那么你的化学课成绩为77分，生物课成绩为74分。
你的目标是将两个测验的平均成绩最大化。请运用基于边际分析的优化来做决定：如果你总共只有1小时来准备两个测验（换言之，你会在一门课上花1小时，在另一门课上花0小时），那么你会如何分配这1小时的学习时间？现在重复这一分析，但这次假设你一共有2小时来准备这两个测验。你会如何在这两门课上分配这2小时的学习时间？最后，再次重复这一分析，但假设你一共有3小时来准备这两个测验。你又会如何在这两门课上分配这3小时的学习时间？
6. 你经营着一家白天营业的咖啡店。你正在考虑在晚上继续营业。下表显示的是晚上每增加1小时营业时间所带来的总收益（即收入）。
a. 计算并填写边际收益（从一行到下一行的差值）。
b. 如果你的目标是总收益最大化，那么你的门店应该营业多久？当你超过这个数额时，边际收益是多少？
c. 假设额外营业每小时的成本为25美元。在这种情况下，你的商店晚上应该营业多久？
7. 斯科特喜欢观看棒球比赛，特别是辛辛那提红人队的主场比赛。在所有其他条件都相同的情况下，他喜欢坐在靠近棒球场地的位置。他也喜欢早点儿到体育馆观看击球训练。为了能看到训练，他愿意为每分钟击球训练支付1美元。他把车停在离体育馆越近的地方，他能看到的击球训练就越多（停车场同时开放）。运用以下信息，找出斯科特最优的座位类型和停车地点。
8. 假设不同的减污水平给社会带来的总收益和总成本如下：
a. 填写第4列。
b. 运用第4列的总净收益证明，如果美国环境保护署（EPA）想将总净收益最大化，那么它应该要求减少3单位的污染。
c. 填写第5列和第6列，从污染减少量由0单位变为1单位开始。
d. 证明：根据边际优化原理，美国环境保护署也应该要求减少3单位的污染。
9. 假设你们公司的边际收益由方程式 MR =24- Q 给出，这意味着第3个单位的产出会带来21［即（24—3）］美元的额外收入。假设你们公司的边际成本由方程式 MC =4+ Q 给出，因此，第3个单位会使成本增加7［即（4+3）］美元。
a. 如果你们现在正在生产两个单位的产品，那么增加产量生产第3个单位产品是不是个好主意？请说明理由。
b. 找到使边际成本等于边际收益（ MC = MR ）的 Q 值（将此作为对未来章节的预习）。请解释为什么这个值可以使利润最大化。
[1] James Frew and Beth Wilson, “Apartment Rents and Locations in Portland, Oregon:1992–2002,” Journal of Real Estate Research 29(2): 2007, 201–217.