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灰色预测模型是灰色系统理论的重要组成部分。邓聚龙教授于 1982 年首次提出灰色系统理论以来，灰色预测模型成为灰色系统理论领域研究的热点
。学者们围绕灰色预测系列模型，在模型构建、参数估计及优化、背景值优化、初始值优化以及模型拓展等领域开展了大量的理论探索工作，取得了丰硕的研究成果，充分体现了灰色系统理论的价值。
在预测科学领域，冲击扰动系统预测是一大难题。冲击扰动的存在，导致系统的真实规律被掩盖，从而造成了系统的失真现象。为减弱冲击扰动因素的干扰，刘思峰教授（1991）提出了缓冲算子的概念和公理体系，并构造了强化缓冲算子和弱化缓冲算子，通过研究它们的性质，开创了缓冲算子研究的新局面
。
缓冲算子的概念提出后不久，便得到了国内外学者的广泛关注，学者们对缓冲算子的构建机理和实际应用进行了广泛研究，并取得了一系列有价值的研究成果。党耀国等构造了一系列的强化和弱化缓冲算子，并研究了它们的性质
。谢乃明等研究了强化缓冲算子的性质，并针对系统冲击扰动导致的发展趋势过于平缓的系统构造了若干强化缓冲算子
。戴文战等针对如何选择合适的缓冲算子，以提高模型精度的问题，研究了缓冲算子光滑度与调节度的关系，并比较了常见缓冲算子的调节度与光滑度
。高岩等提出了基于指数型的新弱化缓冲算子，并将该弱化缓冲算子应用在中国能源需求的短期预测中
。钱吴永等利用序列的平均增长率构造了新的弱化缓冲算子，并对缓冲强度的调节进行了深入研究
。 Hu X L等利用函数的单调性构造了一类强化缓冲算子，为强化缓冲算子的构造提供了新的研究方向
。刘解放等利用现有数据和最新数据之间的关系，构造了一类新的弱化缓冲算子，并研究了该缓冲算子的性质和缓冲强度的调节方法
。刘松等提出一种同性缓冲算子的组合方法，通过对同性缓冲算子进行有效组合，可以得到一种新的缓冲算子
。 Wu L F等证明了弱化缓冲算子（WBO）的本质是能够弱化单变量的扰动，并在此基础上提出了多变量弱化缓冲算子，多变量弱化缓冲算子能够满足使用最新数据的要求
。王正新构造了一类全信息变权弱化缓冲算子和强化缓冲算子，并利用权重调节因子与预测误差之间的关系构造了数学规划模型，以求解最优的调节因子。 Li C等在已有研究的基础上提出了一类双向弱化缓冲算子，同时考虑了新信息对旧信息的影响，并对新提出的缓冲算子的性质进行了研究
。
在缓冲算子的应用方面， Guo C L等、 Liao R J等和朱坚等都是利用经典的平均弱化缓冲算子来解决实际问题
。王大鹏等利用变权缓冲算子实现了对原始负荷数据的动态预处理
。为了较好地控制缓冲算子的作用强度，防止出现
k
阶缓冲算子的作用强度不够，而
k
＋1 阶缓冲算子的作用强度过大的现象，李雪梅等和高岩等分别对变权缓冲算子进行了研究，初步研究了缓冲强度的调节问题
。曾波利用缓冲算子构建了高速公路经济效益后评价模型
。阳杰等针对永磁容错电机系统受到外在冲击的情况，采用强化缓冲算子对数据序列进行了处理
。万臣等引入指数型弱化缓冲算子，以消除围岩位移原始数据序列所受的随机干扰
。
GM （1，1）模型是灰色预测模型的基础，其结构简单、求解方便，该模型由邓聚龙教授提出以来，得到了广泛的应用。在学者们对GM （1，1）模型进行研究的过程中，逐渐发现了其存在的问题，并提出了有针对性的解决方法，对GM （1，1）模型进行了完善。当前，学者们对于GM （1，1）模型的研究主要集中在以下几个方面：
1.背景值优化
传统的GM （1，1）模型的背景值，用 x （1） （ k ）的紧邻均值生成序列来表示，即
对于变化速度平缓的序列，传统方法能够取得比较好的建模效果，但是对于变化速度较快的序列，传统方法常常会产生滞后误差，建模精度无法满足要求，这一问题限制了灰色预测模型的进一步应用。
因此，学者们对于背景值的改进提出了不同的方法。例如，谭冠军利用插值的方法来构造新背景值，即
并给出了
n
的具体求解方法
；罗党等从定积分的角度分析了传统背景值的近似计算方法产生误差的原因，并根据原始序列的特征，用序列曲线在区间上的面积作为背景值，重新构造了背景值的计算公式
；李俊峰等用插值和Newton－Cores公式重构了模型中的背景值
；王正新等构造的背景值为
④王正新，党耀国，刘思峰．基于离散指数函数优化的GM （1，1）模型［ J］．系统工程理论与实践，2008 （2）：61－67.
Zou L H等根据非齐次函数的性质，构造的背景值为
⑤ZOU L H， DAI S L， BUTTERWORTH J， et al． Grey forecasting model for active vibration control systems ［J］． Journal of Sound ＆ Vibration， 2009，322 （4）：690－706.
Lin Y H等构造的背景值为
①LIN Y H， CHIU C C， LEE P C， et al． Applying fuzzy grey modification model on inflow forecasting ［J］． Engineering Applications of Artificial Intelligence， 2012，25 （4）：734－743.
卢懿等研究了一种带有调节因子的背景值的构造方法，即
②卢懿，戴文战．一种带有调节因子的背景值构造方法及在灰色系统建模中的应用［ J］．江南大学学报（自然科学版），2013，12 （5）：565－570.
蒋诗泉等结合复化梯形公式对GM （1，1）模型的背景值进行了求解
；Ye J等在传统的灰色模型基础上，应用背景值优化来生成更好的拟合数据，并在此基础上，建立了改进的灰色马尔可夫预测模型
。
2.初始值优化
陈俊珍和Tien T L对初值问题进行研究发现，第一个数据的值并没有被利用，因此浪费了第一个数据的信息
； Dang Y G等把
x
（1）
（
n
）作为初始值进行建模，符合新信息优先原理，可以提高预测精度
；王义闹等以平均相对误差绝对值最小为优化准则，提出了一种直接优化GM （1，1）模型参数的方法
。罗佑新以
x
（0）
（
n
）作为灰色微分方程的初始值进行计算，提出了非等间距新信息GM （1，1）模型，并通过数值实验验证了模型的实用性
；郭金海等以相对误差平方和最小为目标，优化了GM （1，1）模型的初始条件和初始点
。
3.GM （1，1）模型的拓展
吉培荣等证明了传统灰色预测模型是有偏差的指数模型，并在传统GM （1，1）模型的基础上提出了无偏GM （1，1）模型和无偏直接GM（1，1）模型，并分析了模型的性质，用数值例子验证了新提出模型的优越性
；谢乃明等建立了离散灰色预测模型［也称为DGM （1，1）模型］，并对其与原GM （1，1）模型的关系做了深入研究，找出了原模型预测结果不稳定的原因
；结合伯努利微分方程的概念，在GM （1，1）模型的基础上， Chen C I等提出了NGBM （1，1）模型
；针对具有非齐次指数特征的数据序列，崔杰等构建了NGM （1，1，
k
）模型，并提出了模型的建模机理和建模过程，以及利用矩阵的条件数研究了NGM （1，1，
k
）模型的病态性
；钱吴永等提出了灰色GM （1，1，
t
α
）模型，并研究了该模型的建模过程和参数求解方法，讨论了模型的性质和应用范围
[1]
；针对GM（1，1）模型中存在的指数拟合偏差问题和离散GM （1，1）模型中原方程和白化方程之间转化不相等的问题， Zhou W等提出了广义GM （1，1）模型
；针对近似非齐次指数序列的建模问题，战立青等对NGM （1，1，
k
）模型进行了改进，提出了模型的建模过程和参数求解方法，并通过实例分析结果进一步验证了新模型的优越性
；基于卷积积分的灰色预测模型［GMC （1，
n
） ］是一种精确的灰色多变量模型， Xiao X P等根据GM（1，1）模型的矩阵形式提出了GM （1，1）模型的若干个扩展方向
；Wang Z X等建立了非线性优化模型，得到了模型误差最小的最优参数
。
由于人类思维的不确定性，许多信息以区间灰数的形式呈现。近年来，区间灰数的预测问题引起了许多学者的关注。现有研究主要提出了以下几种方法：建立区间灰数组合模型
；根据区间灰数的几何性质，建立区间灰数的几何预测模型
；建立三参数区间灰数预测模型
；把区间灰数转化为核序列和信息域序列，并在此基础上建立预测模型
；建立基于核序列和灰半径序列的区间灰数预测模型
；建立基于函数变换的区间灰数灰色模型
。曾波以区间灰数的“核”和灰度为基础，构建了区间灰数预测模型
。袁潮清等运用区间灰数的发展趋势序列和认知程度，构建了区间灰数预测模型
。谢万明等针对传统广义关联度模型在灰数信息背景下的拓展问题展开研究，构建了一类基于区间灰数信息的广义关联度模型
。吴利丰等通过几何转换，构建了区间灰数预测模型
。叶璟等在充分挖掘和拓展“灰度不减”公理的基础上，建立了基于广义“灰度不减”公理的区间灰数预测模型，并运用准灰度因子对区间灰数上下界进行灰度最大化处理，保证建模过程中的灰度不减
。党耀国等通过构建区间灰数核的预测模型，并结合残差修正思想对区间灰数的信息域进行扩展，同时运用改进的区间灰数函数处理方法强化对区间灰数上下界序列的趋势拟合
。
世界航空运输业发展已接近成熟，但其发展速度依然很快。我国航空运输规模从 2005 年开始攀升至世界第二位，航空运输业的发展面临前所未有的重要战略机遇。与此同时，由于我国加入世界贸易组织、铁路不断提速等，我国航空运输业的发展也面临巨大挑战，再加上航空运输业的发展本身具有典型的周期性，易受到外部因素的影响，使得航空运输业的发展具有显著波动性
。对航空运输进行准确预测可以为民航建设规划提供重要参考，预测结果对我国民航事业的政策制定也具有重要的理论支撑作用。因此，对于航空运输的有效预测成为当前学术界研究的重点。随着学者们的不断深入研究，灰色预测理论被广泛应用于航空运输领域
。
航空运输是现代交通运输的主要方式之一。研究航空货运量的内在规律，建立有关模型，以及准确预测未来一段时间内的货运量是航空运输系统的研究热点。文军等建立了灰色GM （1，1）模型和回归分析模型的组合模型，对我国的航空货运量进行了预测，并取得了理想的预测效果
。文军构建了灰色预测模型和马尔可夫链组合模型，以对我国航空货运量的发展趋势进行预测，取得了不错的预测精度
。傅培华等构建了基于BP神经网络和灰色预测模型的组合模型，以对航空货运吞吐量进行预测，取得了较高的预测精度
。殷继勇等运用GM （1，1）模型对“十二五”规划期间广西航空市场的货邮吞吐量进行了预测，得出“十二五”时期末广西航空货邮吞吐量达到 15. 8 万吨
的结论。
在航空客运量方面， Benítez R B C等提出了一种改进的灰色模型，以预测航空运输业的航线乘客需求，并对GM模型进行修正，以抑制乘客需求随时间增长的趋势。当可用数据点较少时，该模型可用于计算航空公司的乘客流量
。朱星辉等针对航空旅客需求既有较强的增长性，又有较强的季节波动性的二重性特征，提出了一种能同时体现季节性ARIMA乘积模型和季节性灰色系统模型的新的组合预测方法
。
对航空运输过程中的燃油消耗进行有效预测，对飞行安全和飞行效率都有重要意义。张燕军等通过灰色系统建模、关联度分析以及残差辨识，建立了民航燃油消耗量的灰色预测模型，以均方差比值和小误差概率两项评级指标为基础，将预测结果与精度检验等级进行对比分析，发现灰色预测模型模拟的民航燃油消耗量的拟合精度较高
。耿宏等构建了一种改进的灰色马尔科夫预测方法，并对航空煤油飞行消耗量进行预测及检验，取得了不错的建模精度
。
为实现航空运输的持续安全，有关部门需要掌握其发展趋势，加强对航空事故的预测。甘旭升等构建了灰色残差预测模型，对航空装备事故进行预测，取得了较好的建模效果
。针对机场航班延误预测中存在的问题，Ding J L等构建了基于危险模型理论和灰色模型理论的组合预测模型，对飞行延迟进行了预测
。 Liu C X等试图设计一个改进的灰色神经网络模型，以帮助企业更好地预测交通中断后的市场需求，并实证研究其可行性
。刘杰等将灰色灾变与回归分析方法有机结合，建立了灰色灾变回归组合预测模型，并将其应用于某飞行训练基地的航空装备不安全事件频数的数据预测中
。
当前，灰色预测模型的研究已经取得了丰硕的成果，学者们从上述不同的角度对灰色预测模型进行了进一步的完善，灰色预测理论体系也得到了进一步拓展
。但是，由于灰色理论体系的发展时间比较短，灰色预测模型的理论体系仍然不够完善，仍存在亟须解决的理论问题。另外，已经有学者运用灰色预测模型对中国航空运输进行了建模计算，并取得了初步的研究成果，对于推动中国航空运输业的发展起到了积极的作用，但是，针对航空运输序列的具体特征，还需要构建更有针对性的灰色预测模型。现有文献在该方面的研究如下：
当前，关于缓冲算子的理论研究和应用研究都存在亟须解决的问题：已有的弱化缓冲算子存在缓冲强度无法调节、部分缓冲算子的构建机理不明确、对于含可变参数的缓冲算子的研究还没有形成体系等问题。因此，我们有必要构建新的缓冲算子，以进一步提高灰色预测模型的建模精度。
传统灰色预测模型运用的是累加生成的灰指数定律，通过累加弱化系统的不确定性。但是，对于一个复杂系统而言，其累加生成序列不仅包含指数规律，还包括线性规律或多项式规律，若只考虑指数规律，则模型对于系统的描述是不完整的。因此，有必要建立线性灰色预测模型和多项式灰色预测模型，充分考虑系统存在的指数趋势、线性趋势和多项式趋势，以及两种趋势的耦合。当前研究主要是运用原始数据的整数阶进行累加，利用的是原始数据的全信息，但是当系统存在扰动信息时，容易导致模型的稳定性变差。因此，有必要引入分数阶累加模型，利用原始数据的部分信息，以增加系统的稳定性。反向累加生成更加符合灰色系统的新信息优先原理，但是当前的反向累加灰色模型只能进行模拟计算，而无法用于预测。因此，有必要建立一种用于预测的反向累加预测模型。
对于区间灰数的预测问题，当前，学者们主要根据区间灰数的几何特征来构建区间灰数预测模型，已经在一定程度上解决了稳定系统的预测问题，取得了一定的研究成果
。但是，该建模过程偏于复杂，给实际应用造成了诸多不便。当前，对于存在扰动信息的区间灰数的预测问题，鲜有学者进行研究。而在实际系统中，一般都会包含扰动信息，存在指数趋势与多项式趋势的耦合，从而给区间灰色预测模型的应用形成了限制。因此，需要建立一种能够减少扰动信息干扰的模型，而且要求模型的建模机理清晰，建模过程简洁。
中国航空运输业的发展时间比较短，发展过程具有明显的阶段性特征，如果采用统计分析方法进行研究，则需要把不同阶段的数据放入一个模型中进行预测，且对于未来趋势的预测会出现较大的系统误差。航空运输系统的很多数据都具有小样本、贫信息的特征，可用的信息比较少，因此无法应用统计建模的方法。针对上述问题，学者们利用灰色预测模型对中国航空运输系统进行建模分析，并取得了一定的研究成果
。但是，在建模过程中，存在模型的针对性和适应性不强等问题，尤其是对于具有非平稳特征的航空运输系统，模型的建模精度无法满足要求。因此，有必要根据航空运输系统的特征建立更稳定、更具有针对性的灰色预测模型，并对模型的性质进行深入讨论，运用航空运输系统的真实数据进行建模计算，从而对模型的参数进行求解和优化。此外，现有的用于航空运输建模的灰色预测模型大都存在短期预测效果较好、中长期预测效果较差的问题，因此，如何对航空运输进行中长期预测，也是一个亟须解决的问题。
[1] 钱吴永，党耀国，刘思峰．含时间幂次项的灰色GM （1，1， t α ）模型及其应用［ J］．系统工程理论与实践，2012，32 （10）：2247－2252.