前言

灰色系统理论是一种研究小样本、贫信息、不确定问题的新方法。近年来，灰色系统理论在工业、农业、经济、能源、管理、教育等众多领域得到了广泛应用。灰色预测理论是灰色系统理论的重要组成部分，近年来，相关研究取得了丰硕的成果，但仍然存在扰动信息造成的模型稳定性不足、定性分析和定量计算结果不一致、中长期预测结果精度不高等问题，而不同类型的含可变参数的灰色预测模型可以从不同角度解决这些问题。因此，探索构建含可变参数的灰色建模方法及其应用是一个亟须解决的理论和现实问题。

本书的主要研究内容包括以下几个方面：

（1）一类含时变参数的弱化缓冲算子。为了削弱冲击扰动对系统的干扰，正确掌握系统的变化规律，本书在现有研究的基础上，构建了一类含时变参数的弱化缓冲算子及其拓展形式，克服了传统缓冲算子缓冲强度无法调节的弊端，而且充分考虑了新信息优先原理，通过优化算法对参数进行求解，可以使缓冲后的序列更加符合灰色预测模型的建模要求，从而有效提高灰色预测模型的预测精度。此外，本书将该缓冲算子应用到我国航空运输业从业人数的预测中，取得了优于传统缓冲算子的建模效果，进一步丰富和完善了缓冲算子的理论体系。

（2）分数阶累加线性时变参数离散灰色预测模型。传统灰色预测模型利用数据累加的灰指数规律进行建模，而对于更为一般的序列，数据累加后应该同时存在线性和非线性规律。因此，为了充分利用累加数据序列的规律，本书提出了一种分数阶累加线性时变参数离散灰色预测模型，该模型对于单独包含线性趋势或指数趋势的系统，以及两种趋势耦合的复杂系统，均能取得较高的建模精度，从而进一步拓宽了灰色预测模型的应用范围。此外，本书将该模型应用于广东省的GDP和我国公路运输线路的预测中，进一步验证了模型的有效性和实用性。

（3）分数阶累加多项式时变参数离散灰色预测模型。本书将累加序列的规律性推广到更为一般的形式，充分考虑了累加序列的指数规律和多项式规律，进一步解决了现有灰色预测模型对于累加序列的规律性利用不足的问题，充分利用了多项式拟合模型的思想与灰色预测模型的优点。本书在建模过程中发现，当模型阶数过高时，多项式时变参数离散灰色预测模型容易出现过拟合的问题，基于此，本章提出了分数阶累加多项式时变参数离散灰色预测模型，该模型可以有效解决由于多项式次数的增加带来的过拟合问题，从而丰富和完善了灰色预测模型的理论体系。此外，数值算例和实例分析表明，分数阶累加多项式时变参数离散灰色预测模型的精度高于传统的灰色预测模型，从而进一步验证了该模型的实用性和有效性。

（4）分数阶反向累加非齐次离散灰色预测模型。为了充分利用系统的新信息，从另外一个视角考查累加的规律性，本书提出了分数阶反向累加非齐次离散灰色预测模型，而且利用二次建模的方法，解决了反向累加灰色预测模型只能用于模拟而无法用于预测的问题，并对模型的解的扰动界进行了理论推导和计算，提出了模型的建模过程和参数求解方法，从另外一个视角丰富并完善了灰色预测模型的理论体系。此外，实例分析表明，分数阶反向累加非齐次离散灰色预测模型的预测精度高于一阶反向累加非齐次离散灰色预测模型，进一步验证了分数阶反向累加非齐次离散灰色预测模型的有效性和实用性。

（5）基于扰动信息的连续区间灰数灰色预测模型。现有的连续区间灰数灰色预测模型均是针对稳定系统进行的建模分析，而当系统出现扰动信息干扰时，如何保持连续区间灰数灰色预测模型的稳定性，是一个需要解决的问题。基于此，本书提出了分数阶累加二次时变参数离散灰色预测模型，该模型可在不损失原始信息的前提下，将区间灰数转化为核序列和灰半径序列，然后分别对核序列和灰半径序列建立分数阶累加二次时变参数离散灰色预测模型，并进行还原计算，该模型为解决带有扰动信息的连续区间灰数的预测问题提供了一个新思路。

（6）基于扰动信息的离散灰色预测模型。本书构建了分数阶反向累加离散灰色预测模型［ FORA－DGM （1，1）模型］，并讨论了其解的扰动界。同时，利用扰动分析理论，分析了FORA－DGM （1，1）模型适合小样本建模的原因，发现FORA－DGM （1，1）模型的解的扰动界小于离散灰色预测模型［DGM （1，1）模型］。因此， FORA－DGM （1，1）模型比DGM （1，1）模型具有更好的稳定性。此外，本书通过对上海市工业部门的SO ₂ 排放量进行预测，进一步验证了FORA－DGM （1，1）模型的有效性和实用性。

（7）两类离散灰色预测模型的优势分析。本书提出了分数阶累加离散灰色模型和分数阶反向累加离散灰色模型［FIDGM （1，1）模型］，并对两种模型进行了对比分析。从理论分析来看，一般情况下，新信息包含的扰动信息比较少，因此， FIDGM （1，1）模型通常具有较高的稳定性。此外，通过具体实例分析，验证了FIDGM （1，1）模型的有效性和实用性，并进一步拓宽了灰色预测模型的应用范围。

（8）基于周期性波动序列的灰色幂模型。本书提出了GM （1，1， V，T）幂模型，进一步拓宽了传统GM （1，1）幂模型的适用范围，通过引入正弦函数，对具有周期性波动特征的序列进行建模。同时，在建模过程中，采用最小二乘法和遗传算法，在参数求解的同时实现全局优化。此外，本书利用GM （1，1， V， T）模型对河北省衡大高速公路的车流量和天津市大气污染物中的PM2.5 含量进行分析，结果表明，该模型相较于GM （1，1）幂模型、 DGM （1，1）模型、统计模型等，在具有周期性波动的序列的建模过程中，能实现更好的拟合和预测。

（9）基于弱化缓冲算子的分数阶灰色预测模型。本书构建了缓冲算子与分数阶累加线性时变参数离散灰色预测组合模型，并讨论了其性质和参数求解方法。此外，本书将该模型应用于我国能源消耗和人均用电量的预测中，获得了较高的模拟和预测精度，特别是在多步预测中，显示出模型具有明显的优越性，表明该模型具有良好的记忆能力。

（10）新陈代谢GM （1，1， t ^h ， p）幂模型在生鲜电商预测中的应用。本书通过在求解背景值时引进一个新参数，将背景值表示为相邻序列点的线性函数，并在参数求解时，运用遗传算法对幂指数和新参数进行协同优化。同时，为了更加符合新信息优先原理，本书将新陈代谢理论与GM（1，1， t ^h ， p）幂模型相结合，并将其首次应用于生鲜电商行业交易规模和盒马鲜生季度月活用户规模的预测中，结果表明，改进后的模型能很好地提升模拟和预测精度，进一步扩大幂模型的适用范围，具有一定的实际意义和应用前景。此外，尽管我国生鲜电商仍处于初级阶段，但随着互联网的普及和电子商务的发展，未来生鲜电商具有很大的发展前景，生鲜电商从业者应顺应时代潮流，与时俱进，不断创新，从而提升品牌的核心竞争力。

（11）信息扰动条件下的FRNHGM （1，1， k ）预测模型。本书对比分析了一阶反向累加NHGM （1，1， k ）模型的解的扰动界和分数阶反向累加NHGM （1，1， k ）模型的解的扰动界，经过大量的数据模拟发现，当 0 ＜ r ＜ 1 时，建立的FRNHGM （1，1， k ）模型的解具有更小的扰动界；对于系统数据出现扰动的情况，该模型的解的稳定性更好，而且由于反向累加更加有效地利用了系统的新信息，因此预测误差更小，预测的精度更高，从而丰富和完善了灰色预测模型的理论研究和实际应用。

（12）含可变参数的灰色预测模型在航空运输中的应用。本书将所提出的含时变参数的弱化缓冲算子、线性时变参数离散灰色预测模型、多项式时变参数离散灰色预测模型等分别应用于上海市航空运输业从业人数，上海市航空运输旅客周转量、货物周转量，以及我国民航的不安全事件的预测中，取得了较高的模拟和预测精度，解决了传统灰色预测模型对于航空运输的预测针对性不强、精度不高等问题，进一步拓宽了灰色预测模型的应用范围。

（13）基于灰色预测模型的直播电商发展趋势研究。本书从新的研究视角出发，用新的方法从定量的角度对直播电商的发展趋势进行了研究。首先，依据直播电商生态系统选取可量化的指标，并构建灰色关联分析模型，从众多因素中确定了影响直播电商发展规模的量化指标；其次，针对这些量化指标构建GM （1，1）、 DGM （1，1）、 NDGM （1，1）和FDGM（1，1）四种灰色预测模型，以对直播电商市场交易额及其影响因素进行数据模拟，选出了预测精度较高的NDGM （1，1）模型；最后，对直播电商发展规模预测指标进行分析，结果表明，直播电商未来的发展势头依旧很猛，但如果想要使直播电商行业实现健康可持续发展，就需要发展特色产业，走出一条因地制宜的创新路。

本书由天津职业技术师范大学经济与管理学院刘解放与天津电子信息职业技术学院经济与管理系高普梅合著，刘解放撰写了第 7、8、9、10、11、12、14、15 章，高普梅撰写了第 1、2、4、5、6、13 章，第 3 章由二人共同撰写。书中难免有表达不恰当之处，欢迎读者批评指正，以期为推动灰色系统理论的发展共同努力。

刘解放、高普梅
2024 年 3 月