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定义 3.1 设非负序列 X （0） ＝ { x （0） (1)， x （0） (2)，…， x （0） ( n )}， X （1） ＝ { x （1） (1)， x （1） (2)，…， x （1） ( n )}是 X （0） 的一次累加生成序列，其中
方程
称为离散灰色预测模型［DGM （1，1）］。
定理 3. 1 离散灰色预测模型的参数可以通过如下最小二乘估计进行求解：
其中
定义 3.2 设非负序列 X （0） ＝ { x （0） (1)， x （0） (2)，…， x （0） ( n )}。 X （1） ＝ { x （1） (1)， x （1） (2)，…， x （1） ( n )}是 X （0） 的一次累加生成序列，其中
方程
称为线性时变参数离散灰色预测模型［linear time－varying parameter discrete grey model，以下简称TDGM （1，1）］。
定理 3. 2 线性时变参数离散灰色预测模型的参数可以通过如下最小二乘估计进行求解：
其中
定义 3.3
设非负序列
X
（0）
＝ {
x
（0）
(1)，
x
（0）
(2)，…，
x
（0）
(
n
)}，
X
（
r
）＝{
x
（
r
）(1)，
x
（
r
）(2)，…，
x
（
r
）(
n
)}是
X
（0）
的分数阶累加序列，其中
定义 3. 4 设非负序列 X （0） ， X （ r ）如定义 3. 3 所定义的，方程
称为分数阶累加线性时变参数离散灰色预测模型［ fractional order cumulative linear time － varying parameters discrete grey model，以下简称FTDGM （1，1）］。
定理 3. 3 分数阶累加线性时变参数离散灰色预测模型的参数可以通过如下最小二乘估计进行求解：
其中
FTDGM （1，1）模型的预测值如下：
根据分数阶累加的计算公式，预测序列的累减值计算如下：
