2.2 一类含时变参数的弱化缓冲算子的构建

定理 2.2 设 X ＝ { x （1）， x （2），…， x （ n ）}， x （ k ） ＞ 0 为系统行为序列， XD ₁ ＝ { x ( 1) d ₁ ， x (2) d ₁ ，…， x ( n ) d ₁ }为其缓冲序列，其中

那么，当 X 分别为单调增长序列、单调衰减序列和振荡序列时， D ₁ 都是弱化缓冲算子。

证明：从 D ₁ 的构造过程可以看出， D ₁ 满足缓冲算子三公理，那么 D ₁ 为缓冲算子，下面证明 D ₁ 是弱化缓冲算子。

（1）假设 X 为单调增长序列，那么

即 x （ k ） d ₁ ＞ x （ k ）。

由定理 2. 1 可知， D ₁ 为弱化缓冲算子。而且

因为 X 为单调增长序列，所以

因此

从而

即缓冲后的序列 XD ₁ 仍然为单调增长序列，与原始序列保持相同的单调性。

（2）假设 X 为单调衰减序列，那么

由定理 2. 1 可知， D ₁ 为弱化缓冲算子。而且

令

因为 X 为单调衰减序列，所以

因此

从而

即缓冲后的序列 XD ₁ 仍然为单调衰减序列，与原始序列保持相同的单调性。

（3）假设 X 为振荡序列，不妨假设

那么

因此， x （ M ） d ₁ ＜ x （ M ） ， x （ m ） d ₁ ＞ x （ m ） ，由定理 2.1 可知， D ₁ 为弱化缓冲算子。

定理 2.3 设 X ＝ { x （1）， x （2），…， x （ n ）}， x （ k ） ＞ 0 为系统行为序列， XD ₁ ＝ { x ( 1) d ₁ ， x (2) d ₁ ，…， x ( n ) d ₁ }为其缓冲序列，其中

那么

（1）当 α ＝ 0 时，

本章算子退化为平均弱化缓冲算子，可以看到，此时每个数据的权重相等。

（2）当 α ＝ 1 时，

本章算子退化为加权弱化缓冲算子，可以看到，此时序列数据的权重随着 k 的变化，呈现出线性递增的规律，新信息的权重大于旧信息，与灰色系统理论的“新信息优先原理”比较相符。

（3）当 时，

此时是一种极端情况，即最新信息 x （ n ）的权重为 1，其他信息的权重为 0。此时 x （ k ） d ₁ ＝ （0，0，…，1）［ x （ k ）， x （ k ＋ 1），…， x （ n ）］ ^T ＝ x （ n ）， k ＝ 1，2，…， n 。那么弱化后的序列为 XD ₁ ＝ { x （ n ）， x （ n ），…， x （ n ）}，此时，序列变为一个常数序列，这意味着系统不再发生变化，保持稳定。

从 λ 的表达式可以看出，随着 α 的增大， 的值在减小， 的值在增加。这意味着，随着 α 的增大，旧信息的权重在减少，新信息的权重在增加。因此，如果要强调旧信息，可以适当减小 α 的值；如果要强调新信息，可以适当增大 α 的值。对于不同的系统序列，可以通过智能优化算法来求解 α 的最优值。 VpkpUCdKDtaPGof6P+1ecEDPgtVa1Y2nDRlCiJS+3wXA2UGbzj5CdEamo1jW/lcn