第二节
微观经济学的常用数学工具

经济学假设人们是理性的，所以通常假设经济活动中的参与者以追求自身利益最大化为目标——消费者追求效用最大化，生产者追求利润最大化，政府追求社会福利最大化等等，从而经济模型通常需要求解最优化问题。数学可以方便我们解决这类问题。

一、导数

函数 f （ x ）的 导数 （derivatives）是函数值随变量 x 变化的速率。

在图1－3 中，横轴表示变量 x ，纵轴表示函数 f （ x ）的值 y 。图1－3（a）中的曲线刻画了函数 f （ x ）的值如何随 x 的变化而变化。将变量 x 的变化量记作Δ x ，它所引起的函数值的变化记作Δ y ，那么函数值随变量 x 变动的变化率等于Δ y ／Δ x 。

函数 f （ x ）的导数就是测度当 x 的变化量无穷小的时候，Δ y ／Δ x 这个变化率的大小，也就是与曲线 f （ x ）相切的直线的斜率，图1－3（b），记作 f′ 或 。

在经济学中，我们经常用导数来衡量边际。比如边际成本，它指的是当厂商生产额外一单位商品时成本的增加量。本章附录里给出了一些常用的求导法则，记住这些法则是很有用的。

函数的导数再求导就是二阶导数，写作 f″ 或 ，二阶导数测量函数的曲率。如果函数在某一点 x ₀ 处的二阶导数 f″ （ x ₀ ）＜0，那么函数在 x ₀ 附近为凹函数，其斜率是递减的，见图1－4（a）。如果函数在某一点 x ₀ 的二阶导数 f″ （ x ₀ ）＞0，那么函数在 x ₀ 附近是凸的，它的斜率是递增的，见图1－4（b）。

对比图1－4（a）、（b），可以得出两个结论：①在 x ₀ 处函数达到极大／极小值，从图形上不难发现，在 x ₀ 处曲线的斜率都为 0。一阶导数就是曲线的斜率，所以我们在数学上可以通过求函数的一阶导找出极大或极小值。②图1－4（a）中 x ₀ 处函数达到极大值，图1－4（b）中 x ₀ 处函数达到极小值。观察曲线的曲率可以看出，极大值处函数二阶导数应满足 f″ （ x ₀ ）＜0，反之，在极小值处二阶导数 f″ （ x ₀ ）＞0。从而，我们在用一阶导找出极大／极小值的基础上，可利用二阶导判定其到底是极大值还是极小值。

二、偏导

当一个函数中有两个及以上的变量时，保持其他变量不变，只对其中一个变量求导，即为函数对该变量的 偏导 （partial derivative）。比如 f （ x ₁ ， x ₂ ），在保持 x ₂ 不变的情况下，该函数对 x ₁ 的导数就是 x ₁ 的偏导数。 x ₁ 的偏导通常写作 f ₁ 或∂ f ／∂ x ₁ 。当我们计算关于 x ₁ 的偏导时， x ₂ 保持不变，也就是 x ₂ 被视作一个常数。

如果一种商品的生产需要多种要素投入，我们可以用偏导数来检验当其中一个要素改变，而其他所有要素不变时产出数量是如何变化的。例如，给定一个关于劳动力（ l ）和资本（ k ）的生产函数 y ＝ f （ l ， k ），函数 y 的值为产出水平。用该函数对劳动求偏导，可以知道在资本水平不变的情况下，随着厂商雇佣更多的工人，产量会如何变化。

三、全微分

对于函数 y ＝ f （ x ），当 x 发生一个极小的变动 dx 时， y 的变动为

如前所述， f′ （ x ）为函数 y 对 x 的导数，测度了 x 极小变动时， y 对 x 的变动率。该比率乘以 x 的变动量，得到的即为 y 的变动量。

将上述问题扩展到多变量的情形，当函数 y ＝ f （ x ₁ ， x ₂ …， x _n ）的所有变量都发生微小变化时，函数值 y 的变化量就是函数的 全微分 （total differential），通常用 dy 表示：

式（1－3）中，第一项表示由极小的 x ₁ 的变动所引起的函数值 y 的变化，第二项表示由极小的 x ₂ 的变动所引起的函数值 y 的变化……以此类推。而 y 的总变动是每一个 x 的变动引起的 y 的变动之和。

例如，当生产函数 y ＝ f （ l ， k ）中两个变量，劳动和资本都发生变化时，其总产出受到的影响可以用全微分来表示。用 dl 表示劳动的一个极小变化量，乘以函数 y 对 l 的偏导（ f _l ），其乘积是由劳动的极小变化所引起的总产出的变化。同理，用资本的极小变化量 dk 乘以函数 y 对 k 的偏导（ f _k ），得到由资本变化所引起的总产出的变化。当资本和劳动都发生变化时，总产出的变化是劳动引起的变化和资本引起的变化之和，即

四、最优化问题

经济模型通常假定经济主体是理性的，并尽其所能实现其目标。因此，经济模型中经常会遇到最优化问题，上述数学工具可以帮助我们求解这类问题。

我们先从无约束的最优化问题开始。考虑一个简单的单变量函数 π ＝ π （ q ），其中， π 为厂商在给定条件下获得的利润， q 为厂商的产量。该利润函数 π 只取决于产出水平 q 。厂商的目标是利润最大化，所以要为厂商选择一个能让利润达到最大值的产出水平。

这个问题可以用图形直观地表示出来。图1－5 中，横轴表示产量 q ，纵轴表示利润 π ，曲线刻画了厂商利润如何随产量变化而变化。由图1－5 可知，当产量为 q ^* 时，利润达到最大值。通过观察最大值点附近的曲线形状，不难发现利润函数在 q ^* 处的切线是水平的，斜率为 0。这说明利润最大化的条件是利润函数在最大值处其一阶导数为 0，我们称之为一阶条件。

一阶条件是求函数极大值的必要条件，但它不是充分条件。因为在该曲线的最低点，切线斜率也为零。为了确定一阶导数为零时，函数值是极大值还是极小值，有必要考察二阶条件，即函数的二阶导数。

比较图1－4（a）、（b）中 x ₀ 处不难发现，函数达到极大值时，曲线的斜率是递减的。这说明一阶导应当在极大值附近递减，即二阶导应该为负。反之，不难推出函数在极小值处的二阶导数必须是正的。

接下来我们可以将问题扩展到多变量情形。对函数 f （ x ₁ ， x ₂ ），其最优值的必要条件是所有变量的偏导数都等于零，即 f ₁ ＝ f ₂ ＝0。我们可以用反证法来证明它。

假设在该函数的一个极大值点（ x ₁ ， x ₂ ）处，有 f ₁ ＝0，而 f ₂ ≠ 0。不妨设 f ₂ ＞0，对 x ₂ 的偏导数为正意味着在该点处增加 x ₂ 而保持 x ₁ 不变时，函数值可以增加，所以该点不能是最大值点。同理，若 f ₁ ＝0 而 f ₂ ＜0，降低 x ₂ 同时保持 x ₁ 不变也可以增加函数值，从而该点也不可能是最大值点。因而只有当所有的偏导都等于 0 时，函数才会达到极值。

上述最优化问题的讨论是在变量 x 的取值范围无约束的情况下进行的，但是在经济学中，最优化问题通常是有约束的。例如，在消费者效用最大化模型中，消费者购买商品来实现让自己的满意度（效用值）达到最大，而消费者在做选择时必须面临一个约束条件——他所选择的一篮子商品的总支出不能超过其总收入。

对于这类有约束的最优化问题，我们可以借助拉格朗日乘数法来求解。给定目标函数 y ＝ f （ x ₁ ， x ₂ ，…， x _n ）。如果目标是在 g （ x ₁ ， x ₂ ，…， x _n ）＝0 的约束条件下使函数 f （ x ₁ ， x ₂ ，…， x _n ）达到最大化或最小化。那我们首先需构造拉格朗日函数：

这里λ被称为拉格朗日乘子，是一个辅助变量，它可以是任何非零值。

当约束条件被满足时， λg （ x ₁ ， x ₂ ，…， x _n ）＝0，拉格朗日函数 L 就等于初始的目标函数 f ，因此使拉格朗日函数最优化等价于目标函数 f 的最优化。从而，要找出目标函数 f 在约束条件下的最优，其一阶条件是包括拉格朗日乘数在内的所有变量的偏导数均为零：

从以上方程组可知，目标函数有 n 个变量时，需求出 n ＋1 个一阶导数。其中最后一个方程是拉格朗日乘数 λ 的偏导数，得到的就是约束函数 g （ x ₁ ， x ₂ ，…， x _n ）＝0。因而，以上方程组的解就是在约束条件成立的情况下使目标函数达到最优化的解。

通过构造拉格朗日函数，我们将有约束的最优化问题转化为一个无约束的最优化问题。

案例 1－2

数学分析方法在环境经济问题研究中的应用

近年来，中国经济快速发展，但也带来了严重的环境问题。环境污染对经济发展和社会民生造成了严重威胁，已经成为中国经济社会发展中的重大挑战。为了解决环境问题，一些学者开始利用数学分析方法来研究环境污染的成因和治理策略，并提出了促进可持续发展的建议。

数学分析方法可以帮助我们建立环境经济模型，来分析环境污染的成因、影响和治理策略。例如，我们可以构建效用函数来量化环境资源的价值，包括空气、水、土壤等；可以构建成本函数来量化环境污染造成的损失和污染治理的成本。在此基础上，经济学家可以进一步利用最优化理论、博弈论等方法来分析环境污染的治理成本和效益，分析政府、企业和公众之间在环境保护方面的博弈行为，求解最优的治理方案，为政府制定合理的政策措施提供建议。例如，通过优化税收、补贴等经济手段，激励企业减少污染排放，同时促进经济增长。

经济学家还可以在数理统计的基础上，建立计量模型来分析环境污染对经济增长、社会福利等方面的影响。例如，通过研究污染排放与GDP增长之间的关系，可以评估污染治理措施对经济发展的影响；通过构建综合评估模型，可以找出可持续发展的最优路径，为政策制定者提供指导。

数学方法还被运用在环境风险的评估中，如采用概率模型、统计模型等评估自然灾害、环境污染等事件对经济和社会的潜在风险和影响。这些评估结果有助于制定有效的风险防范措施，减少经济损失。

附录 求导法则

一、初等函数求导公式

二、导数运算法则