第二节
需求的变动

一、需求函数及其性质

通过求解效用最大化问题，我们可以得到某给定价格和收入水平下的消费者的最优购买量。当价格或收入变化时，再次求解效用最大化问题，可以找到与新的价格或收入水平相对应的最优购买量，从而可以得到最优购买量与价格、收入的一一对应关系，这就是需求函数。

需求函数刻画了商品的需求量（因变量）与商品的价格和收入（自变量）之间的关系，记作 x _i ^* ＝ x _i （ p ₁ ， p ₂ ，…， p _n ， m ），其中 x _i 表示第 i 种商品的需求量， p _i 为第 i 种商品的价格， m 为收入。

当我们把模型简化为只有 x 和 y 两种商品的简单情形时，需求函数可以简化为

需求函数应当满足 齐次性 ——消费者需求对于价格和收入是零次齐次的。其数学表达式为

从式（4－25）可见，需求函数齐次性的含义就是：当所有商品的价格和收入都变为原来的t倍时，消费者需求不变。需求函数的这条性质其实不难理解，因为价格和收入同比例的变化可以被理解为仅仅改变了计价单位，是纯粹的通货膨胀，消费者的预算约束并没有发生改变，从而不会改变消费者的选择行为。

需求函数的齐次性是效用最大化假设的必然结果，反之，需求函数的齐次性是效用最大化假设的一个经验验证。若一个消费者的需求函数不符合齐次性，那么说明其行为不符合效用最大化假设。

我们可以利用需求函数的齐次性，对需求函数做一些变换，从而让研究更为方便。一种常见的变换是令 t ＝ ，得到 x _i ^* ＝ x _i 。这种变化是将商品 1 作为计价物，从而其他所有商品的价格都转换为与商品 1 的相对价格。 将货币收入转换为了当前收入所能购买到的商品 1 的最大数量，体现了收入的实际购买能力。这种方法也可选择其他任意一种商品作为计价物。另一种常见的变换是令 t ＝ ，那么 x _i ^* ＝ x _i ，也就是将收入单位化为 1。

我们已经认识了商品的需求量是各种商品价格和收入的函数。接下来，我们将运用第一章中介绍的比较静态的分析方法，来考察价格和收入发生变动时，需求将如何变动。

二、收入变化对消费者需求的影响

（一）收入提供曲线和恩格尔曲线

收入变化对消费者行为的影响可以用收入提供曲线（Income Offer Curve）来表示。在消费者的偏好、商品价格不变的条件下，收入的变化会导致预算线的平行移动，从而改变最优的消费组合。变化的预算线与无差异曲线的切点的轨迹就是收入提供曲线，也被称为收入扩展线。

如图4－5（a）所示，假定两种商品的价格不变，随着消费者收入水平的上升，预算线不断向右侧平行移动，与更高的无差异曲线相切。将这一系列切点连成平滑的曲线，就是收入提供曲线。 收入提供曲线 反映了给定的价格水平下，由 收入变化而引起的消费者最优选择的变动轨迹 。

恩格尔曲线 （Engel Curve）描述家庭或消费者对某种商品的 消费量与收入水平之间的关系 ，其纵轴为收入水平，横轴为某种商品的消费量。

恩格尔曲线可以从收入提供曲线推导得出。由图4－5（a）中的点 A 可知， 是收入为 M ₁ 的预算约束下消费者对 x 的消费量，我们将 M ₁ 标记在图4－5（b）中的纵轴， 标记在横轴，从而得到点 A′ ，它代表与收入 M ₁ 相对应的 x 的消费量。同理，我们从图4－5（a）的点 B 、点 C 找到与 M ₂ 、 M ₃ 相对应的需求量，在图4－5（b）中标记为点 B′ 、 C′ ，连接这些点，就可以得到 x 的消费量随收入变动的轨迹，称为商品 x 的恩格尔曲线。

思考：你可以从图4－5（a）中推导出商品 y 的恩格尔曲线吗？

（二）正常商品与低档商品

在图4－5 中，收入提供曲线和恩格尔曲线的斜率都是正的，表明随着收入的增加，对商品的需求也会增加。这种规律在日常生活中十分常见：当你变得更富有时，你通常会购买更多的商品。我们将消费数量随着收入提高而增加的商品称为 正常商品 ，或 正常品 （normal good）。即

但是，生活中也会出现收入增加而消费数量减少的例外情况。比如收入水平较低时，消费者通常会选择一些非品牌的服装，收入水平提高到一定水平后，有可能会减少对这类服装的消费而增加对品牌服装的消费，非品牌服装就会出现消费数量随收入增加而减少的情况。又如，中等收入的消费者旅行时大多会购买经济舱的机票，若收入水平上升到较高水平，消费者可能会转而买商务舱或头等舱的票，此时，他对经济舱机票的需求随着收入的增加反而减少了。这是因为当收入增长到一定水平时，经济舱的机票对该消费者而言变得低档了。因此，我们将消费数量随着收入提高而减少的商品称为 低档商品 ，或 劣质品 （inferior good）。即

如图4－6 所示，收入提供曲线和恩格尔曲线上部出现了向左侧弯曲的形状，说明随收入增加，商品 x 的消费数量会减少，表明消费者收入达到一定水平后， x 对于该消费者而言是低档商品。

三、价格变化对消费者需求的影响

（一）价格提供曲线与需求曲线

价格变化对消费者行为的影响可以用价格提供曲线（Price Offer Curve）和需求曲线（Demand Curve）来刻画。

价格提供曲线是指在其他因素不变的条件下，由某种商品价格变动引起的最优消费束的变动轨迹。如图4－7（a）所示，假定商品 y 的价格不变，消费者收入不变，随着商品 x 的价格逐渐下降，预算线不断向外旋转，与更高的无差异曲线相切。将这一系列切点连成的平滑曲线就是价格提供曲线 P _x 。

价格提供曲线与收入提供曲线类似，曲线上的每一个点都表示最优的消费束，不同之处在于，价格提供曲线是最优的消费束随着商品价格变动的轨迹，而收入提供曲线是最优的消费束随着收入变动的轨迹。

同样，我们可以从价格提供曲线推导出某种商品的需求曲线：由图4－7（a）中可见，消费者收入固定为 M ，商品 x 的初始价格为 P _{x 1} ，该商品的初始的需求量为 （点A）。其他因素不变，该商品的价格降到 P _{x 2} ，则商品的需求量增加到 （点B）；如果价格进一步降到 P _{x 3} ，则商品的需求量就增加到 （点C）。将上述需求量与价格之间的函数关系在图4－7（b）中作出，纵轴为 P _{x 1} ，横轴为商品 x 的需求量，连接这些点，所得的曲线就是需求曲线。需求曲线上与每一价格水平相对应的商品需求量都是可以给消费者带来最大效用的均衡数量。

（二）普通商品与吉芬商品

一般来说，在保持收入和其他商品价格不变的情况下，随着某商品变得更便宜，对该商品的需求会逐渐增加。如图4－7（b）所示，需求曲线斜率为负，即一种商品的需求量与它自身的价格负相关。这个规律几乎符合我们日常生活中见到的所有商品，因此被称为需求法则（the law of demand）。满足需求法则的商品被称为 普通商品 （ordinary good）。

与普通商品相反，在一些非常特殊的情况下，一种商品的需求变化与其价格变化同方向。在图4－8（a）中，随着 x 的价格下降，预算线向外旋转，最优消费束朝左上方移动。这表明 x 的需求量随着价格的下降而减少，从而在图4－8（b）中， x 的需求曲线并不总是向右下方倾斜，它有一部分呈现出正的斜率。这样的变动规律与需求法则相悖，我们称它为 吉芬商品 （ Giffen good）。

吉芬商品是以发现这个悖论的 19 世纪的经济学家吉芬（ Giffen ）的名字命名的。1845 年，爱尔兰发生了一场大饥荒。吉芬发现，当土豆价格上涨时，非常贫困的家庭增加了土豆的购买数量。一种解释是，随着土豆价格的上涨，贫困家庭不得不在土豆上花更多的钱，因为他们被迫减少了肉类和其他更昂贵的食品的消费。虽然土豆的价格上涨了，但土豆仍然是他们能买到的最便宜的食物。因此这些贫困的家庭不得不增加而不是减少对土豆的消费。下一章中我们将进一步学习吉芬商品出现的原因。

注意，正常品和低档品的划分是根据收入变化对需求产生的影响，而普通商品和吉芬商品是根据价格变化对需求的影响来划分的（见图4－9）。

四、一些特定偏好的需求变动规律

在第二章中，我们学习了在经济学分析中最常使用的一些效用函数，包括C－D效用函数、拟线性效用函数、CES效用函数等。那么，在这些效用函数所代表的偏好下，消费者的需求随着市场环境的变化有怎样的变化规律呢？在这一节中，我们将通过求解最优化问题和比较静态分析方法，分别找出C－D效用函数和拟线性效用函数下消费者需求的变动规律。

已知C－D效用函数的形式为 u ＝ x ^a y ^b ，用 p _x ， p _y ， m 分别代表两种商品的价格和消费者的收入。根据例 4－1 可知，对于C－D效用函数，两种商品的需求一定满足

先看消费者需求如何随收入变化而变化。恩格尔曲线描述需求量如何随收入变动而变动，且纵轴为 m 、横轴为消费量，所以对式（4－30）和式（4－31）进行移项整理即可得到恩格尔曲线的数学表达式。

商品 x 的恩格尔曲线（见图4－10）如下：

商品 y 的恩格尔曲线（见图4－11）如下：

收入提供曲线是收入变化引起的消费者需求的变动轨迹。所以在任一收入水平下，一定有

因为在图形上我们通常将商品 y 的数量放在纵轴，商品 x 的数量放在横轴，所以将式（4－34）整理以后可得收入提供曲线（见图4－12）的表达式为

从收入提供曲线的形状，很容易观察到，具有C－D偏好的消费者的最优消费束位于原点出发的射线上。这表明，随着收入增加，具有C－D偏好的消费者对各种商品的需求是等比例增加的，商品之间的消费比保持不变。这个变动规律源于C－D偏好的特征：消费者在不同商品上的花费占比是固定的。

再看消费者需求如何随价格变化而变化。价格提供曲线是消费束随一种商品价格变化的轨迹。观察两个商品的需求函数可以发现，商品 x 的需求量与 p _y 无关，商品 y 的需求量与 p _x 无关。由此可知， p _x －价格提供曲线应当是与横轴平行的直线： y ＝ （见图4－13），即 p _x 变化只影响 x 的消费量， y 的消费量固定在 不变。

同理， p _y －价格提供曲线应当是与纵轴平行的直线 x ＝ ，即 p _y 变化只影响y的消费量，x的消费量固定在 不变。

根据 x 的需求函数 x ＝ ，可写出其反函数

这就是需求曲线的数学表达式。很明显， x 的需求曲线是一条双曲线（见图4－14）。

从图4－13 可以看出，只有商品 x 的价格发生变化时，消费者的最优消费束始终位于一条水平线上。这表明，随着商品 x 的价格变动，具有C－D偏好的消费者对其他商品的需求是保持不变的。商品 x 的价格变动只改变消费者对商品 x 的需求数量。这个变动规律也是源于C－D偏好的最优解特征：消费者在不同商品上的花费占比始终保持不变。

那么，对于形如 U （ x ， y ）＝ f （ x ）＋ ay （ a ＞0）的拟线性偏好，需求又有怎样的变化规律呢？为了给出一个更清晰的计算过程，这里给 f （ x ）赋予一个明确的函数形式，假设 f （ x ）＝ln x 。同样，用 p _x ， p _y ， m 分别代表两种商品的价格和消费者的收入。先写出消费者的最优化问题

设拉格朗日函数

分别求 L 对 x ， y ， λ 的偏导并令它们都为 0，即效用最大化的必要条件

根据式（4－40）和式（4－41）可得

从而

再将式（4－44）代入式（4－42），得到

从而求得，当 m ＞ 时，拟线性效用函数 u ＝ln x ＋ ay 下的最优消费束为（ x ^* ， y ^* ）＝（ ， － ）。

观察拟线性效用函数下的最优消费束容易发现，当 m ＞ 时，消费者对商品 x 的最优购买量与消费者收入无关。这意味着，当消费者收入达到一定水平后，随着消费者收入的增加，消费者对商品 x 的需求量是保持不变的。这一变化规律源于拟线性效用函数的特征，不管 y 如何变化，只要给定 x ， MRS _xy 都是不变的。回顾图2－17 中拟线性偏好的无差异曲线所有无差异曲线在垂直方向上应当平行。从而，当消费者收入增加时，预算线平行移动，那么所有切点（最优解）将处于同一条垂直线上。

思考：你可以根据以上计算找出拟线性偏好下的收入提供曲线吗？

案例 4－2

中国居民消费结构的变迁

新中国成立以来，我国编制实施了 14 个五年规划，有力推动了经济社会的发展、促进了人民生活的改善。1956 年，我国居民人均消费支出仅为 88.2 元。2013年居民人均消费支出达到 13 220 元，扣除物价因素，居民人均消费支出相比改革开放初期，实际增长了 20 倍。党的十八大以来，全国居民人均消费支出从 2013 年的13 220 元增加到 2022 年的 24 538 元，年均实际增长 5.3%。居民消费支出的指数级增长，离不开居民收入的快速增长，离不开经济高质量发展的有力支撑。

中国居民的消费变化，不仅体现在数量的快速增长上，也体现在质量的提升上。改革开放前，居民消费以满足基本生存需要为主。到 70 年代，居民消费中反映基本生存需要的粮食消费比重开始逐步下降，轻工产品消费上升。自行车、缝纫机、手表“三大件”是当时组建一个好的家庭的标准配置。伴随着改革开放后经济的快速发展，消费品供给结构不断优化，居民消费结构也日新月异。20 世纪 80 年代，居民消费品实现了从“老三件”到冰箱、彩电、洗衣机“新三件”的转变。90 年代，中国经济逐渐迈向小康。消费结构中，代表发展与享受需求的占比进一步上升。摩托车、空调、电脑，新的“大三件”进入居民家庭。到了 21 世纪，居民消费开始以住房、汽车、教育等“大三件”为标志。2022 年，中国居民人均食品支出为 7 481 元，在消费中只占 30.5%。在我们的家庭“购物车”里，曾经食品、衣服是主角，现如今，旅游、健身、教育、娱乐、医疗保健成为更为重要的选项。中国居民消费结构呈现出从只能追求温饱到追求更高层次的精神需求的转变，呈现出从数量扩张型向质量提高型转化、从生存型向享受及发展型转化、从传统型向现代化型转变的态势。

在经济学中，不同的效用函数，展现了消费者不同的偏好，从而有不同的选择行为。那么针对中国居民消费结构的变化特征，在我们常用的效用函数中，哪一种函数更适用于描述中国居民消费结构向高质量转变的这一过程呢？

我们不妨对比一下常用的两个函数形式：C－D效用函数和拟线性效用函数。在求解效用最大化问题后，我们了解到C－D效用函数一个非常重要的特性——消费者对各种消费品的最优花费在总收入中所占的比重是保持不变的。显然，中国居民消费结构的变化不符合C－D效用函数的这一特征。因为消费者对生存型消费的占比一直在降低，而对享乐型和发展型消费的占比则逐年上升。而拟线性效用函数的特点在于消费者在收入达到一定水平后，随着收入的进一步上升，他将只增加对商品 y 的消费数量，而对商品 x 的消费数量保持不变。观察中国居民的消费变化，当基本的温饱问题解决以后，消费者对粮食、服装等必需品的购买数量不再有明显变化，增加的收入用于了文教娱乐等其他商品的消费上。从而随着收入水平的逐渐提高，在粮食、服装等必需品上的花费占比就出现了逐年的下降，其他消费品的花费占比则逐年上升。可见，拟线性偏好反映了消费者对必需品与奢侈品两类商品的消费安排，更吻合中国居民消费结构向高质量转变的这一过程。

中国居民消费质与量的提升都离不开中国经济的高质量发展。党的二十大报告将实现全体人民共同富裕纳入中国式现代化的本质要求，并对扎实推进共同富裕作出重要战略部署，这将有力地保障居民消费结构向更高层次进行转变。

五、间接效用函数

最优的消费数量 x ^* 和 y ^* 是关于价格与收入的函数：

我们将这个最优消费束代入到效用函数中，就可以得到一个效用值，它是在给定价格和收入水平下消费者能获得的最大效用：

从而， υ （ p _x ， p _y ， m ）就是在某收入和价格水平下消费者能获得的最大效用，我们将这个函数定义为 间接效用函数 。间接效用函数是关于商品价格和消费者收入的函数，它说明了消费者所能获得的最大效用将间接决定于预算约束。间接效用函数可以用于理解价格变化和收入变化对效用水平的影响。

例 4－2 已知某消费者效用函数为 u ＝ xy ， p _x ， p _y ， m 分别为两种商品的价格和消费者的收入。

（1）求该消费者的间接效用函数。

（2）若 p _x ＝1， p _y ＝1， m ＝100，消费者能获得的最大效用为多少？若政府对每单位商品 x 征收 1 元消费税，消费者能获得的最大效用为多少？

（3）在（2）中政府在从消费者的消费中能征得的税收是多少？如果政府取消消费税，改为从该消费者处征收与（2）中税额相同的收入税，该消费者获得的最大效用又是多少？

解：（1）由效用函数为C－D效用函数，可写出两种商品的最优需求为（ x ^* ，y ^* ）＝（ ， ），将最优解代入效用函数可得间接效用函数

（2）将 p _x ＝1， p _y ＝1， m ＝100 代入间接效用函数

政府对每单位商品 x 征收 1 元消费税，相当于使 x 的价格上升为 p _x ′ ＝2，从而

（3）征收消费税时，该消费者对 x 的最优购买量为 x ^* ＝ ＝25，政府从其消费中整得的税收总额为 25。若政府改征收入税，则相当于使该消费者收入从 100 降低为 75，那么其最大效用将为

从例 4－2 中可见，消费者的效用水平取决于其收入与商品的价格。政府征税改变了消费者收入或商品价格水平，从而影响了消费者的效用。对比例子中的两种征税方式，在政府得到相同的税收收入的情况下，对收入征税要好于对某种商品征税。这是一个在经济学中较为普遍的观点：征收总量税（lump sum tax）要优于对某特定产品征税（specific tax）。 8fR1T6SStB5G0GyeeMAEpRSobTybCs21kAGahUGkoz9YcLqriaGCz63uEUJQ1RGV