第一节
效用最大化问题

一、消费者效用最大化的图形求解

我们首先用图形直观地了解效用最大化问题的求解。假定消费者只购买 x 和 y 两种商品。消费者的最优购买行为应该给消费者带来最大的效用，但是不能超出预算集的范围。因此，我们将无差异曲线与收入预算线结合在一起，分析消费者实现效用最大化的购买行为。

我们在图4－1 中画出了三条无差异曲线和一条预算线。无差异曲线 U ₃ 与预算线没有交点， U ₂ 与预算线相切于 E 点， U ₁ 与预算线交于 A 、 B 两点。

根据凸性，在预算线上的 A 、 B 之间，任一消费束的效用都高于 U ₁ 。因此， U ₁ 是消费者能够达到的效用水平，但不是最大化的效用水平。无差异曲线距离原点越远效用越大，因此在三条无差异曲线中 U ₃ 的效用最大。然而 U ₃ 位于消费者预算集之外，与预算线没有交点或切点，任何 U ₃ 的商品组合消费者都买不起，所以消费者无法实现 U ₃ 的效用水平。

消费者均衡只可能出现在 E 点。 E 点是消费者预算线与无差异曲线 U ₂ 相切的点，所以 E 点的消费组合在当前预算约束下能够实现。高于 U ₂ 的无差异曲线都无法实现，而低于 U ₂ 的无差异曲线都不是最大化的效用水平，改变消费选择可以达到更高的效用水平。从上述分析可知，无差异曲线 U ₂ 所代表的效用水平是消费者在此预算约束下所能获得的最大效用水平。故消费者在 E 点处达到均衡， E 点所代表的商品组合是消费者在此预算约束下实现消费者均衡的商品组合。

消费者均衡处无差异曲线与预算线相切，意味着在 E 点两线的斜率相等。无差异曲线斜率的相反数是边际替代率 MRS _xy ；预算线斜率的相反数是商品的相对价格 。所以，消费者均衡的条件可以表示为

式（4－1）说明：在一定的预算约束下，为了实现最大的效用，消费者选择的商品组合应该使两种商品的边际替代率等于两种商品的价格之比。也可以说，消费者均衡时，消费者愿意用一单位的某种商品去交换的另一种商品的数量，应该等于该消费者在市场用一单位的这种商品可以换得的另一种商品的数量。

如果 MRS _xy ≠ ，消费者能达到均衡吗？我们来看一个简单的例子，假设一个苹果和一个桔子的价格都是 1 元钱，即 ＝1。如果苹果对桔子的边际替代率为2，也就是消费者愿意减少 2 个桔子的消费以增加 1 个苹果的消费。那么，此时消费者就可以通过增加对苹果的消费来提高效用，因为增加 1 个苹果就可以替代 2 个桔子的效用，而在市场上少买 2 个桔子可以换回 2 个苹果，从而多购买的苹果提高了消费者的效用水平，直到苹果对桔子的边际替代率正好等于 1。所以，我们可以得出以下结论：

第一，当 MRS _xy ＞ P _x ／ P _y 时，消费者就会增加对商品 x 的消费，减少对商品 y 的消费。随着商品 x 消费量的增加，由于边际替代率递减规律， MRS _xy 逐渐减小，直至 MRS _xy ＝ P _x ／ P _y 。

第二，当 MRS _xy ＜ P _x ／ P _y 时，消费者就会增加对商品 y 的消费，减少对商品 x 的消费。随着商品 y 消费量的增加，由于边际替代率递减规律， MRS _xy 逐渐增大，直至 MRS _xy ＝ P _x ／ P _y 。

第三，当 MRS _xy ＝ P _x ／ P _y 时，由消费者主观偏好决定的边际替代率与市场供需决定的价格之比相等，消费者处于既不想增加也不想减少任何一种商品购买量的均衡状态。此时，消费者获得了最大的效用。

二、消费者效用最大化的数学求解

假定有n种商品，某消费者的效用函数为 u （ x ₁ ， x ₂ ，…， x _n ），其中 x _i 为第 i 种商品的消费数量。给定价格水平（ p ₁ ， p ₂ ，…， p _n ）和消费者收入 m 。那么，消费者最优选择的问题就是如何在当前预算约束下使其效用最大化，即

对于有约束的最优化问题，我们可以构建拉格朗日函数

对 x _i 和 λ 求一阶偏导，可以得到 n ＋1 个等式

不难发现，方程组（4－5）中最后一行等式就是消费者面临的约束，而前 n 个等式的形式相同，都为 MU _i － λ p _i ＝0，即 MU _i ＝ λ p _i 或 MU _i ／ p _i ＝ λ 。从而可得式（4－6）：

MU _i 是多购买 1 单位商品 i 所增加的效用， p _i 是购买 1 单位商品 i 所付出的货币，那么我们可以将 λ 看作 1 单位货币的边际效用，式（4－6）就表示了在均衡处消费者通过每单位的货币所获得的边际效用是相等的。我们假设每单位货币的效用是固定的，且收入与商品价格不变，如果多购买 1 单位商品 i 所增加的效用（ MU _i ）大于付出货币的效用（ λ p _i ），那么这个消费者多购买 1 单位的商品 i 可以使他得到更大的效用，他将购买更多的商品 i 。但是，如果多购买 1 单位商品 i 所增加的效用（ MU _i ）小于付出货币的效用（ λ p _i ），这时如果购买商品 i ，消费者获得的总效用将下降，他将减少商品 i 的购买。

当消费者在每一种商品上的最后 1 单位购买所带来的效用正好与货币的效用相等时，消费者不再增加商品的购买，也不再减少商品的购买。此时消费者到效用最大化的状态，即实现消费者均衡。

如果 MU _i ／ p _i ＞ λ ，即消费者通过每单位货币所购买到的商品边际效用大于每单位货币的效用。此时消费者增加商品购买量会使其得到的商品效用大于失去的货币效用，这样就会增加消费者的总效用。随着消费者购买量的增加， MU 递减，直至与 λ 相等，即 MU _i ／ p _i ＝ λ 。

如果 MU _i ／ p _i ＜ λ ，即消费者每单位货币购买到的商品边际效用小于单位货币的效用。那么消费者减少商品的购买会增加消费者的总效用。随着消费者购买量的减少， MU 递增，直至 MU _i ／ p _i ＝ λ 。

从而消费者效用最大化的一阶条件可以表示为在约束条件 p _i x _i ＝ m 下使式（4－6）成立。

式（4－6）表明：当消费者购买 n 种商品时，任何一种商品的边际效用和价格之比，都等于货币的边际效用，即每一单位货币所购买到的任何商品的边际效用均相等，并且都等于这一单位货币的边际效用。

例 4－1 已知C－D效用函数的形式为 u ＝ x ^a y ^b （ a ＞0， b ＞0）， p _x ， p _y ， m 分别为两种商品的价格和消费者的收入。求C－D效用函数下消费者的最优消费束（ x ^* ， y ^* ）。

解：根据条件写出需要求解的问题

可用拉格朗日法求解，设拉格朗日函数

分别求 L 对 x ， y ， λ 的偏导并令它们都为 0，即为效用最大化的必要条件

根据式（4－10）和式（4－11）可得

将式（4－15）代入式（4－12），得到

式（4－19）左侧 p _x x 是消费者在商品 x 上的最优总花费，等式表明，在C－D效用函数下，消费者在商品 x 上的最优花费在收入中的占比是固定的，其占比为 。容易得到 p _y y ＝ m ，即消费者在商品y上的最优花费在收入中的占比始终为 。

进一步地，可以写出消费者对商品 x 和商品 y 的消费量

即，C－D效用函数下效用最大化的消费束（ x ^* ， y ^* ）＝（ ， ）。

注：由于所有效用函数都可以进行单调变化，所以形如 u ＝ x ^a y ^b （ a ＞0， b ＞0）的C－D效用函数都可以令 α ＝ ， β ＝ ，从而使效用函数变换为

这样，商品 x 和商品 y 的花费占比就分别为 α 和 β 。如 u ＝ x ² y ³ ，可通过单调变换转换为 υ ＝ x ^2／5 y ^3／5 ，那么消费者会将 2／5 的收入花在 x 上（ p _x x ＝ m ），3／5 的收入花在 y 上（ p _y y ＝ m ）。

由例 4－1 可知，C－D效用函数的特性为消费者在不同商品上的花费占比是固定的，其占比由效用函数中的幂指数决定。这让我们对效用最大化问题的求解变得非常容易，因而在研究中，C－D效用函数被广泛应用。但同时也要注意该效用函数的适用性问题，当研究对象不符合花费占比较为固定的这一特征时，则不适用于C－D效用函数。

案例 4－1

到底该买哪一个？

在当前的智能手机市场中，消费者面临着众多的选择，每个品牌、每个型号的手机都各具特色。李婷是一名在某大学就读的大二学生，正面临着更换新手机的决策。

李婷首先列出了自己对手机功能的主要需求：作为一名热爱摄影和社交的大学生，李婷对手机的拍照功能和社交应用体验有着较高的要求。同时，她也希望手机能够具备较好的性能和较长的续航能力，以满足日常学习和生活的需求。同时，她也考虑了一些附加需求，如外观设计要时尚、品牌口碑要好等。

在预算约束下，李婷对比了不同品牌和型号的手机。通过查阅专业评测和用户评价，她了解到某款国产手机在拍照效果、电池续航和手机性能等方面都符合她的主要需求，而且价格也在她的预算范围内。此外，该手机的外观设计时尚大方，品牌口碑也相对较好。

综合考虑各种因素后，李婷决定购买这款国产手机。她认为这款手机能够最大程度地满足她的需求，实现效用最大化。

在中国，随着市场经济的不断发展，消费者面临着越来越多的选择，而效用最大化理论提供了决策的依据。根据效用最大化理论，消费者在预算约束下，通过综合考虑不同因素，选择能够最大化自身效用的产品。

三、效用最大化的二阶条件

预算约束线和无差异曲线相切的条件需通过对效用函数求一阶导数得到，因而也被称为一阶条件。一阶条件只是效用最大化的必要条件，而不是充分条件。现在我们就在两商品的简单情形下说明二阶充分条件是什么。

如图4－2 所示，无差异曲线和预算线有 A 和 B 两个切点。这两个点都满足一阶条件，但我们可以很容易地看出点 A 位于一条更高的无差异曲线上。 B 点虽为切点，但显然并没有能够实现效用最大化。因此，为了确保切点的效用是最大化的，我们需要检验二阶条件。从图4－2 中可以看出，二阶条件其实就是要检验无差异曲线是否是凸向原点的，这等价于检验效用函数是否是严格拟凹的。假设边际替代率递减正好满足了这一点，也就是这里所要求的二阶充分条件。因此，为了保证一阶条件（即无差异曲线与预算线相切）同时也是充分条件，我们通常要假定无差异曲线满足边际替代率递减，也就是效用函数是严格拟凹的。

四、角点解

在前面的情况下，消费者的最优选择中对每种商品都有消费，也就是 x ^* 和 y ^* 都大于 0，这样的最优解称为内解或内点解（interior solution），它位于预算线的非端点处。然而，在某些情况下，消费者可能偏好于只购买一种产品，最优解位于预算线的一个端点处，这样的最优解被称为角点解（corner solution）。角点解发生在消费者不愿意或不能在商品之间进行权衡时。当可达到的最高无差异曲线不与预算线相切时，在这种情况下，消费者将其全部预算用于购买尽可能多的一种商品，而不购买任何其他商品。

如图4－3，茶和咖啡是完全替代品，无差异曲线斜率为－1。当茶的价格更低时，预算线和无差异曲线是斜率不同的直线，它们不能相切。消费者既定的收入买到的茶比咖啡多，喝茶可以获得更高的效用（ U ₂ ＞ U ₁ ），从而他一定只购买茶不买咖啡，其最优解位于预算线的一个端点处。

图4－4 展示了角点解的另一个例子。在预算线和无差异曲线的切点处，商品 y 的数量为负。但由于我们对商品的购买数量不能为负，所以最优选择实际上是 y ^* ＝0，消费者只购买商品 x 。

在上述两个例子中，最优解都不能满足相切原则。在预算集的所有范围内， MRS _xy ＞ ，表明消费者为了增加 1 单位商品 x 所愿意放弃的商品 y 的数量始终大于市场要求他放弃的数量，因此最优选择就是将所有花费用于购买 x ，最优解为（ x ^* ， y ^* ）＝（ ，0）。反之，在预算集内如果始终有 MRS _xy ＜ ，那么最优解将位于y轴上。

思考：在凹偏好的情形下，最优解是内点解还是角点解呢？ 7E61UqUsDyPduFOxzEg3DlcQfA9xvcwjPTswRy21k23g/etfBRau8WF7SpvKNSY5