第三节
常见的效用函数

一、C－D效用函数

C － D 效用函数，又称为柯布－道格拉斯效用函数（Cobb－Douglas utility function），在两商品情形下，其形式为

其中， x 和 y 是商品的数量， a 和 b 是与消费者偏好有关的两个参数。 a 和 b 取值为正，保证了商品 x 和 y 满足“越多越好”的单调性。

由 C － D 效用函数求边际替代率，可得

由此可知，当沿着无差异曲线从左上向右下移动时，消费束中包含的商品 x 逐渐增加，商品 y 逐渐减少，从而 MRS _xy 一直递减，即无差异曲线变得越来越平坦，其形状是凸向原点的。可见， C － D 效用函数也满足“凸性”，它是一种良态偏好。在第 4 章中我们会进一步分析 C － D 效用函数中消费者最优选择的特性，它在经济分析中非常有用。

根据序数效用，可对 C － D 效用函数进行单调变换。一种常见的变换方式是令 V ＝ ，得到

从而 x 和 y 的幂指数之和为 1。令 α ≡ ，上述效用函数可简化为

这意味着所有 C － D 效用函数都可以写成幂指数和为 1 的形式，在后续的学习中，我们会看到这是一个很有用的变换。

另一种常见变换是对效用函数取自然对数，即令 V ＝ lnU ，那么有

掌握这些常用的单调变换，在计算边际效用或边际替代率的数学运算中，可能会让计算变得更容易。

C － D 效用函数也可以扩展到多商品的情形。如

二、完全替代的效用函数

本章第一节中，我们学习过完全替代偏好，即一种产品能够以某个固定比例完全替代另一种产品。

回顾图2－10 中的例子，对于该消费者，两种矿泉水可以按照 1∶1 的关系完全替代，其无差异曲线是一簇斜率为－1 的互为平行的直线，从而任意一条无差异曲线的方程可以写为 y ＝ k － x （ k 是大于 0 的任意值）。给定一个 k 值，令 k ＝ k ₀ ，我们可以找到一系列 x 和 y 的商品组合满足方程 y ＝ k ₀ － x ，从而这些商品组合位于同一条无差异曲线上，具有相同的效用值。例如，当 k ＝2 时，消费束（2，0）、（1，1）和（0，2）都满足 y ＝2－ x ，这三个消费束在同一条无差异曲线上，效用相同。不难发现，方程 y ＝ k － x 也可以写为 k ＝ x ＋ y ，若我们给每条无差异曲线的效用赋值为 k ，从而可以得到一个效用函数的表达式 U ＝ x ＋ y 。

注意到在上例中，两种商品之间的替代比例为 1∶1，当完全替代品之间的替代比例不等于 1 时，我们可以将其效用函数写作

其中 a 和 b 是两个常量。根据以上效用函数，可以计算边际替代率

可见，系数 a 和 b 的比值大小反映了 x 和 y 之间的替代关系。例如，一个消费者愿意用一杯咖啡 x 代替两杯茶 y ，那他的效用函数可以写作 U ＝2 x ＋ y ，当咖啡 x 增加 1 杯，茶 y 减少 2 杯时，他获得的效用保持不变。

注意到，效用函数的单调变化不改变偏好，因而完全替代的效用函数也可以写作 U＝x ＋ y 或 U ＝ x ＋ y 等形式。

三、完全互补的效用函数

完全互补是指两种产品总是以固定的比例被消费，因而其函数也被称为固定比例的效用函数。

对于所有的完全互补品，其效用函数是最小值函数：

这个函数表明消费束（ x ， y ）的效用值取决于 ax 和 by 之间的最小值，从而让消费者最满意的商品消费比例应当满足 ax ＝ by 。

例如，小王喝咖啡时，总是喜欢在 1 杯咖啡 x 里加 1 勺糖 y ，那么其效用函数中的参数 a 和 b 应该相等。不妨令 a 和 b 都为 1，用 x 表示咖啡的数量，用 y 表示糖的数量，得到小王对于咖啡和糖的效用函数为

在这个函数中，（1，1）、（1，2）、（1，3）这几个消费束都有相同的效用值 ： U （1，1）＝ U （1，2）＝ U （1，3）＝1。只有当糖和咖啡的数量都增加时，比如（2，2），小王的效用水平才会增加： U （2，2）＝2。

如果另一个消费者小李的口味偏甜，他喜欢在 1 杯咖啡 x 里加 2 勺糖 y ，即 x ： y ＝1∶2，糖的数量 y 是咖啡数量 x 的两倍（ y ＝2 x ）。而这个最优的商品消费比例在效用函数中应当使 ax ＝ by 成立，也就是 a ＝2 b 。令 a ＝2， b ＝1，小李的效用函数为

它表明当 x ＝1 时，即小李只有 1 杯咖啡时，2 勺、3 勺、4 勺……糖对小李来说都是一样的，他只会在杯中加 2 勺糖，从而 U （1，2）＝ U （1，3）＝ U （1，4）＝2。同理，小李只有 2 勺糖时，他只喝 1 杯咖啡，若保持糖的数量不变，只增加咖啡数量，小李的效用还是维持不变： U （1，2）＝ U （2，2）＝ U （3，2）＝2。

四、拟线性效用函数

所谓拟线性偏好，是指效用水平与一种商品的数量呈线性相关，而与另一种商品的数量是非线性相关的。因此拟线性效用函数的形式为

其中 f （ x ）为关于商品 x 数量的一个非线性函数。例如 U （ x ， y ）＝ln x ＋ y ， U （ x ， y ）＝ x ^0.5 ＋4 y 等等。

对拟线性效用函数求边际替代率，

从式（2－24）可以看出，拟线性效用函数的 MRS 只取决于效用函数中非线性关系的商品 x 的数量。例如，对于效用函数 U ＝ln x ＋ y ，其 MRS _xy ＝1／ x 。不管 y 如何变化，只要给定 x ， MRS _xy 都是不变的。

根据以上拟线性效用函数的特征，我们在图2－17 中画出拟线性偏好的无差异曲线。横轴表示与效用水平呈非线性关系的商品 x 的数量，纵轴表示另一种商品 y 的数量。给定 x ＝ x ₁ ，那么无论 y 为多少，沿垂直方向的所有消费束都应当有相同的 MRS _xy ，从而所有无差异曲线在垂直方向上应当平行。

五、CES效用函数

CES是不变替代弹性（constant elasticity of substitution）的缩写。所谓替代弹性（ σ ），是指两种商品相对边际替代率的百分比变动将如何引起消费者对两种商品的相对消费数量的百分比变动，其公式为

CES效用函数的一般形式为

根据效用函数计算其 MRS ，有

从而，CES函数的替代弹性为

由此可见，CES效用函数始终有不变的替代弹性 σ ＝ ，因而称为不变替代弹性函数或常替代弹性函数。

CES效用函数中的参数 ρ 有几种特殊的取值，可将CES效用函数转换为完全替代效用函数、C－D效用函数和完全互补效用函数：

（1）当 ρ ＝1 时，CES效用函数为

该效用函数为线性，即 x 与 y 完全替代。

（2）当 ρ → 0， α ＋ β ＝1 时，对CES函数取对数，有

由洛必达法则

从而

即当 ρ → 0， α ＋ β ＝1 时，CES函数是C－D效用函数。

（3）当 ρ →－∞时，

当 x＜y 时，有

当 x＞y 时，有

当 x ＝ y 时，有

综上可得，当 ρ →∞时，CES效用函数为完全互补的效用函数： 7E61UqUsDyPduFOxzEg3DlcQfA9xvcwjPTswRy21k23g/etfBRau8WF7SpvKNSY5