第二节
效用

一、效用的含义

所谓效用（utility），是指商品或服务能够满足人们欲望的能力。经济学中的效用定义来源于有用性的概念，一种商品或服务的效用取决于它对满足消费者的欲望是否有用。

效用具有主观性，是消费者对于消费物品或服务所获得的满足程度或幸福感的主观评价。不同的人对同一种商品或服务的评价是不同的，从而同一种商品对不同的人具有不同的效用。因此，效用不能进行人际间的比较。另外，同一个人在不同的时空条件下，消费同一种商品或服务也会产生不同的效用。

效用是经济学中的一个重要概念，因为基于理性选择的经济学理论通常假设消费者会努力最大化他们的效用。这意味着消费者的所有决策都可以通过研究效用最大化问题来分析。这通常用效用函数来描述，即通过效用函数来为个人在消费一定数量的商品和服务时所经历的幸福水平赋值。效用函数表示给定某消费束中包含的商品和服务的数量时，该消费束所对应的效用值。给定某消费者的效用函数为 u （ x ₁ ， x ₂ ，…， x _n ），该函数的值即为消费者消费（ x ₁ ， x ₂ ，…， x _n ）所获得的效用大小，也称为总效用（total utility）。总效用是消费者消费一定数量的商品或服务所获得的幸福或满意的总体水平，可用 TU 表示。 TU ＝ u （ x ₁ ， x ₂ … x _n ），其中 x _i 代表对第i种商品或服务的消费数量。

效用是描述消费者偏好的一种方式。如果 u （ α ）＞ u （ β ），即消费束 α 的效用值高于消费束 β ，表明消费束 α 严格偏好于消费束 β ；如果 u （ α ）＝ u （ β ），表明消费束 α 与消费束 β 一样好；如果 u （ α ）≥ u （ β ），则表明消费束 α 弱偏好于消费束 β 。

二、基数效用与序数效用

（一）基数效用

最初，经济学家认为人们消费某种商品所得到的效用的多少，可以像长度、重量等用数字来准确地度量，这就是所谓的基数效用（cardinal utility）。为了对消费的满意度进行这种定量测度，经济学家假设了一个被称为“util”的单位来代表特定商品或服务在不同情况下为某一群消费者所带来的心理满意度。从而消费不同数量与不同种类的商品所得到的效用可以加总求和。

在基数效用理论下，效用值被赋予了实际的意义。例如，如果我消费 1 个苹果获得的效用是 1 util，而消费 1 根香蕉带给我的效用是 2 utils，那么由上述基数效用值可知，比起苹果我更喜欢香蕉，并且我喜欢香蕉的程度是喜欢苹果的两倍。可见，基数效用不仅能比较一个消费者对不同商品的偏好，还能精确测度出其对不同商品的偏好程度。

然而，经济学家也发现消费者对“效用”高低的评价具有主观性，没有客观的衡量指标。“效用”实际上无法在不同的经济商品之间或个人之间进行观察、测量或比较。我们很难用准确的数值去评判从消费束 α 中获得的效用比从消费束 β 中获得的效用多多少，或者消费束 α 带来的效用是消费束 β 的多少倍。并且，由于效用是消费者对商品和服务的心理感受，不同消费者对于商品和服务的评价存在主观差异。因而我们无法准确地用基数来表示效用值是多少，也不能对不同消费者的效用进行加总和比较。

（二）序数效用

在基数效用论的思想下，我们发现了要给商品指派一个带有实际意义的效用值是十分困难的。商品效用的多少即使能够准确地衡量并用基数来表示，这种做法对于描述理性消费者的选择行为来说也是不必要的：通常情况下，消费者的选择只取决于他（她）更偏好于哪一个消费束，而不取决于对 α 的喜爱程度是 β 的多少倍。

为了确定消费者选择哪一个消费束，只需要知道哪一个消费束具有更高的效用，不需要知道各个消费束的具体效用值是多少。基于这个思路，经济学家们提出了序数效用（ordinal utility）的概念。从序数效用论出发，我们假设消费者的效用大小不能用数量化来表示，但是可以进行比较。也就是说消费者虽然不能说出消费某种商品的效用是多少个效用单位，但是他们可以在消费不同商品之间进行比较，能够说出自己更偏好于哪一组商品。这样，商品给消费者带来的效用虽不能用数量来表示，但是可以用顺序或等级来表示。根据这一概念，效用值不是用来度量效用的大小的，而是仅仅用来排序的。不同消费束的效用高低与消费者对不同消费束的偏好程度正相关：对某个消费束的偏好越强烈，该消费束的效用水平就越高。

根据序数效用，效用的绝对大小是没有意义的，只有相对大小有意义。在构造效用函数时，只需要对具有较高效用的消费束赋一个较大的数值。如果消费束 α 优于消费束 β ，那么我们可以给 α 赋值 10，给 β 赋值 9；或者给 α 赋值 4，给 β 赋值 2……虽然赋的值不同，但两种情况下两个消费束的排序是相同的。从而偏好可以通过消费者的选择行为反映出来。而这样，序数效用论对消费者均衡的研究就建立在客观的可以观察到的消费者的选购行为基础之上。

三、边际效用

（一）边际效用

边际效用衡量的是额外消费一单位商品带来的效用变化。商品 i 的边际效用（marginal utility）是指在保持其他商品的消费数量不变的情况下，消费者每增加一单位商品 i 的消费所获得的总效用的增加，用 MU _i 表示。

当保持其他商品的消费数量不变而商品 i 的数量变动极小时，其边际效用即为效用函数的偏导数

（二）边际效用递减规律

随着消费者对商品 i 的消费数量逐渐增加，新增的效用会如何变化呢？

想象你在一个炎热的夏季，体育课之后非常口渴。此时你喝到的第 1 瓶水一定非常珍贵，它极大地降低了你口渴的程度。随着你喝下的水越来越多，你口渴的程度逐渐下降，喝水带给你的满足感也越来越低。

这样的规律在现实中十分普遍——在一定时间内，保持其他条件不变，随着某种商品的消费数量增加，消费者从新的消费中所得到的效用增量即边际效用越来越小，这就是边际效用递减规律。即

（三）总效用与边际效用之间的关系

总效用衡量的是一定数量的商品或服务的消费带来的效用总量；而边际效用衡量的是新增商品或服务的消费带来的效用变化量。

表2－2 给出了某消费者从矿泉水的消费中所得到的边际效用和总效用。第 1 瓶矿泉水带给该消费者 10 单位效用，从而第 1 瓶矿泉水的边际效用为 10，消费者从 1瓶矿泉水的消费中得到的总效用也为 10。第 2 瓶矿泉水带给该消费者的效用为 8，这是第 2 瓶矿泉水的边际效用，消费者从两瓶矿泉水的消费中得到的总效用为 10＋8＝18。以此类推，第n瓶矿泉水带给消费者的效用值即为该瓶矿泉水的边际效用，而n瓶矿泉水带来的总效用是前n瓶矿泉水的边际效用的总和。

当边际效用为正时，表明新增消费使消费者效用增加，总效用上升。随着消费数量的逐渐增加，边际效用逐渐降低，也就是增加的消费带来的效用增量越来越小，从而总效用的增加越来越缓慢。当边际效用为 0 时，增加的消费已经不能再增加效用了，总效用达到最大值。继续增加消费，边际效用为负，新增消费使总效用下降。即 MU ＞0 时， TU 上升； MU ＜0 时， TU 下降； MU ＝0 时， TU 达到最大值。

案例 2－4

应用程序功能的“舍”与“留”

随着科技的飞速发展，我们对App的使用已经习以为常，一些便民类的应用都已经成了手机中的必备应用。然而，许多应用程序都面临着功能过多的问题。

以某知名互联网公司为例，该公司拥有一款非常受欢迎的应用程序。起初，该程序主要提供基础功能，但随着用户规模的扩大，用户对功能的需求也变得多样化。为了满足用户的需求，该公司开始不断添加新的功能和特性。然而，随着时间的推移，用户对新功能的兴趣逐渐减弱，同时程序也变得越来越复杂，用户体验下降。

在这些繁多的功能中，应该如何“舍”与“留”呢？边际效用理论可以回答这个问题。该公司分析了每一个新功能对用户的使用体验产生的边际效用，发现许多新功能带来的效用增长已经非常有限，甚至有些功能对大部分用户来说是多余的。因此，公司决定移除或改进这些低效用的功能，并重点优化那些对用户体验产生较大边际效用的功能。这一调整不仅简化了产品，提升了用户体验，还降低了维护成本。更重要的是，用户对新功能的兴趣也重新被激发，公司重新赢得了用户的青睐。

通过合理利用边际效用理论，企业可以更有效地满足用户需求，提升产品竞争力。例如某移动出行平台为了提高用户体验，优先开发了实时定位功能和在线支付功能，因为这两个功能可以为用户带来更大的价值。某电商平台为了提高用户界面设计效率，优先采用那些能够提高用户点击率和转化率的设计方案，因为这些方案可以为其带来更大的收益。

此外，边际效用理论在市场营销、金融、保险等也可以有广泛的应用。例如，市场营销人员则可以利用边际效用理论制定“买二送一”“组合购”“满减”等促销策略，提高营销活动的收益－成本比；保险公司可以利用边际效用理论制定个性化的保险方案，以满足不同客户的保险需求。

四、边际替代率

（一）边际替代率及其递减规律

同一条无差异曲线上的消费束，商品的组合比例不同，但消费者所得到的效用或满足程度是相同的。因此，在同一条无差异曲线上，即保持相同满足程度的前提下，某一种商品的数量增加，就必须减少另一种商品的数量。

经济学家用边际替代率（marginal rate of substitution， MRS ）来衡量在维持偏好和效用水平不变的情况下，消费者愿意用多少单位的某种商品去替代另一种商品。

在图2－15 中，横纵轴分别表示消费束中商品 x 和商品 y 的数量。消费束 α 和 β 在同一条无差异曲线上，即消费者对这两个消费束的偏好是一样的。从 α 到 β ，商品 x 的数量增加了 1 个单位，而商品 y 的数量减少了 4 个单位，这意味着该消费者愿意放弃 4 个单位的商品 y 来得到额外 1 单位的商品 x 。

我们定义商品 x 对商品 y 的边际替代率为消费者为增加一单位商品 x 的消费所愿意减少的商品 y 的消费量，用 MRS _xy 来表示， MRS _xy ＝－ 。对于良性偏好，在维持效用不变时， x 和 y 的变化方向一定是相反的。所以本书在定义 MRS 时，在 前加上负号，使 MRS 为正值，其数值代表了维持效用不变的情况下，消费者愿意用多少单位的 x 去替代 y 。

同理可知， MRS _yx 即为商品 y 对商品 x 的边际替代率， MRS _yx ＝－ 。

当 x 变化量很小时，任意一点的 MRS 就是无差异曲线在该点处的斜率的相反数。

x 对 y 的边际替代率反映了消费者用 x 替代 y 的意愿。当消费者的偏好为如图2－15所示的凸偏好时，沿无差异曲线从左上方向右下方移动，消费束中所包含的商品 x 的数量逐渐增加，而商品 y 的数量逐渐减少。随着消费束中包含的商品 x 的增多，消费者用 x 去替代 y 的意愿通常会变得越来越弱，消费者愿意放弃越来越少的商品 y 来换取额外 1 单位的商品 x 。例如，在消费束 α 处，无差异曲线更陡峭，消费者愿意放弃更多的 y 来换取额外 1 单位的 x ；在消费束 β 处无差异曲线更平坦，消费者愿意放弃较少的 y 来换取额外 1 单位的 x 。

对于良态偏好，边际替代率是递减的——在保持效用水平不变的前提下，消费者为得到一单位的商品 i 而愿意放弃的其他商品的数量是随商品 i 数量增加而递减的，这一规律被称为边际替代率递减规律。

（二）边际替代率的计算

已知消费者的效用函数时，可以根据效用函数求任意两个商品之间的边际替代率。

考虑一个两个商品的简单情形。给定某消费者的效用函数为 u ＝ u （ x ， y ）， x 和 y 分别为两种商品的消费量。图2－16 给出了该效用函数对应的一条无差异曲线 u ₀ 。

当消费束沿着这条无差异曲线从（ x ₁ ， y ₁ ）移动到（ x ₂ ， y ₂ ）时， x 的数量增加了Δ x 。回忆一下边际效用的定义——额外消费一单位商品带来的效用变化。 x 增加 1单位所增加的效用为 MU _x ，那么， x 增加 Δx 所引起的总效用增加为 MU _x × Δx 。与此同时， y 的数量减少了 Δy ，总效用则减少了 MU _y × Δy 。

由于这两个消费束在同一条无差异曲线上，改变消费束并不会改变效用水平，从而 Δu ＝0，见式（2－5）。这说明 x 的数量增加所增加的效用与 y 的数量减少所减少的效用刚好相互抵消。

当 x 和 y 都变化极小量时，式（2－5）可写为

式（2－6）即为效用函数 u ＝ u （ x ， y ）的全微分，当消费束沿无差异曲线极小地移动时，效用不变， du ＝0。对式（2－6）进行移项整理，可得

式（2－7）左侧即为边际替代率 MRS _xy ，由此可知，在已知效用函数的情况下，我们可以计算边际效用的比值，从而得到边际替代率。

同理可得，

五、效用函数的单调变换

对于效用函数 U ，令函数 V ＝ f （ U ），是对函数 U 的一次变换。当 f′ （ U ）＞0时，称为对函数U的单调变换（monotonic transformation），即将原效用函数U向同一方向进行了转变。

对于任意两个消费束（ x ₁ ， y ₁ ）和（ x ₂ ， y ₂ ），若 U （ x ₁ ， y ₁ ）＞ U （ x ₂ ， y ₂ ），单调变换后一定有 V （ x ₁ ， y ₁ ）＞ V （ x ₂ ， y ₂ ）。可见，对效用函数进行单调变换，不会改变消费者对消费束的排序。在序数效用下，由于效用值没有实际的意义，当效用排序不改变时，意味着偏好也没有发生变化，即效用函数的单调变换不改变偏好。常见的单调变换有 V ＝ U ＋ a ， V ＝ aU （ a ＞0）， V ＝ U ^a （ a ＞0）， V ＝ lnU ， V ＝ e ^U ，等等。

给定某消费者的效用函数为 U ＝ U （ x ， y ），那么

令 V＝f （ U ），从而

由此可见，单调变换也不会改变原函数的 MRS 。由于 MRS 代表了无差异曲线上各点的斜率，式（2－11）在任一消费束处都成立，表明单调变换将不会对无差异曲线的形状发生任何改变。 7E61UqUsDyPduFOxzEg3DlcQfA9xvcwjPTswRy21k23g/etfBRau8WF7SpvKNSY5