第四节
保险经营的数理基础

一、保险数理基础的分析框架

风险汇聚安排（pool arrangement）能够抑制风险。因此，如果能够将厌恶风险的人以零成本的方式组织起来，他们就会有强烈的动机参与风险汇聚安排。然而，进行风险汇聚安排不可能是无成本的。事实上，保险公司存在的主要原因是可以大幅度地降低组织和运行风险汇聚安排的成本。 从本质上来说，保险合同是一种可以 降低风险汇聚安排成本的方式。

为什么保险合同可以适用于某些风险，而不适用于所有的风险？对于这类问题的回答，需要一个基本的分析框架。我们所使用的框架是基于概率论和统计理论中的一些基本概念。

（一）随机变量

分析框架的起点是随机变量（random variable）的概念。随机变量是一个结果不确定的变量。而有关随机变量的信息被汇总到随机变量的概率分布（probability distribution）中，概率分布定义了随机变量所有可能出现的结果和各种结果出现的可能性。

在许多应用中，需要对不同随机变量的概率分布进行比较，由于许多概率分布各自具有不同的结果，所以在它们之间很难进行比较。因此，通常是对概率分布的某些关键数字特征进行比较，这些数字特征是期望值、方差或标准差和相关系数。

（二）期望值

概率分布的期望值（expected value）所表达的信息是：平均来看，可能的结果会出现在何处。当概率分布表示的是可能发生的损失分布时，称为损失分布（loss distribution），分布的期望值称为期望损失（expected loss）。

（三）方差或标准差

概率分布的方差（variance）所表达的信息是分布出现的结果与期望值偏差的可能性和大小。若一个分布的方差较小，意味着实际结果很可能接近期望值。相反，若分布的方差较大，意味着实际结果很可能远离期望值。因此，较大的方差意味着结果更难以预测。基于这个原因，方差通常被用来对风险（这里将风险定义为距离期望值的偏差）进行衡量 。方差的平方根称为标准差（standard deviation）。

（四）相关系数

至此，我们的讨论仅限于一个单独随机变量的概率分布。由于我们会面对多种风险，所以识别随机变量之间的关系是很重要的。随机变量之间的相关系数（correlation）衡量了随机变量相关的程度。当随机变量之间的相关系数为零时，我们称随机变量是独立的或不相关的。在许多情况下随机变量是相关的，正的相关系数说明随机变量倾向于向相同的方向变化，负的相关系数说明随机变量倾向于向相反的方向变化。但应当注意，正（负）的相关系数并不意味着随机变量永远向相同（反）方向变化。正的相关系数仅仅意味着当一个随机变量的结果高（低）于它的期望值时，另一个随机变量也倾向于高（低）于它的期望值。类似地，负的相关系数仅仅意味着当一个随机变量的结果高（低）于它的期望值时，另一个随机变量也倾向于低（高）于它的期望值。

二、损失具有相互独立性的风险汇聚安排

在掌握以上概念的基础上，我们可以通过下面的例子对保险的数理基础进行分析解释。

假设琪琪和彤彤每人明年有 10％的可能遇到意外，损失为 5 000 元，有 90％的机会没有遇到意外，损失为 0 元。表 2－1 给出了每个人事故损失的概率分布。在此，我们假设琪琪和彤彤的事故损失是独立（不相关）的。

我们想知道，如果琪琪和彤彤同意平分她们两个人可能发生的任何事故成本，将会出现什么结果。也就是说， 只要其中任何一个人发生损失，她们将平均分摊成 本。这种安排一般称为汇聚安排（或风险汇聚安排） ，因为这种方式通过汇聚她们的资源来支付可能发生的事故损失。

本节讨论使用标准差作为衡量风险的指标，因此，我们的目标是确定风险汇聚安排是否能够影响以及如何影响每个人的期望成本和标准差。

首先，我们来看看琪琪和彤彤不进行风险汇聚安排时，每个人的期望成本和标准差。

期望成本＝ 0.9×0＋0.1×5 000 ＝ 500（元）

标准差＝ ＝ 1 500（元）

其次，我们来看看琪琪和彤彤同意进行风险汇聚安排时的损失概率分布情况，如表 2－2 所示。

表 2－2 的第一列列出的是琪琪和彤彤汇聚后的可能结果。如果两人都没有发生意外事故，总的事故成本为 0 元，每人支付为 0 元。如果两人之一发生了意外事故，总事故成本为 5 000 元，每人支付 2 500 元。如果两人都发生意外事故，总事故成本为 10 000 元，每人支付 5 000 元。

现在我们来求出这些结果的概率（表 2－2 的最后一列）。由于琪琪发生的损失与彤彤发生的损失是独立的，可以运用乘法原理。因此，两个人都不发生意外事故的概率就是琪琪不发生意外事故的概率乘以彤彤不发生意外事故的概率，也就是第一个结果的概率是 0.9×0.9 ＝ 0.81。第二个结果的概率，即琪琪发生意外事故但彤彤不发生意外事故的概率是 0.1×0.9 ＝ 0.09。第三个结果的概率，即彤彤发生意外事故但琪琪不发生意外事故的概率也是 0.09。因此，只有一人发生意外事故的概率是 0.09＋0.09 ＝ 0.18。第四个结果的概率，即琪琪和彤彤都发生意外事故的概率是 0.1×0.1 ＝ 0.01。

从这个例子可以清楚地看到， 风险汇聚安排改变了每个人面对的事故成本的概 率分布，降低了极端结果的概率。 这时，我们再来计算下琪琪和彤彤每个人的期望成本和标准差。

期望成本＝ 0.81×0＋0.18×2 500＋0.01×5 000 ＝ 500（元）

标准差＝

≈1 061（元）

可以看出，风险汇聚安排不改变每个人的期望成本，但将成本的标准差从1 500 元减少到 1 061 元，事故的成本变得更加容易预测了，风险汇聚安排降低了每个人所面临的风险。

结论一：当损失是独立的（不相关的）时，风险汇聚安排可以抑制风险。

随着风险汇聚安排人数的增加，每个人事故损失成本的概率分布将继续改变。图 2－1 比较了分别有 4 个、20 个和 100 个参加者的风险汇聚安排的平均事故损失成本的概率分布。我们会发现，当风险汇聚安排参加者的人数增加时，接近损失期望 500 元的平均损失的概率增加了，出现极端结果（非常高的平均损失和非常低的平均损失）的概率不断降低。另外，随着参加者数量的增加，每个人支付的平均损失成本的概率分布更加接近钟形曲线。总之，风险汇聚安排使每个人必须支出的事故损失额的风险减小了（更加易于预测），这是因为 汇聚减小了所有参加者平均损 失的标准差，从而减小了每个参加者支出额的标准差。 因此，风险汇聚安排可以降低每个参加者的风险。

说明：当每个人有 0.1 概率发生一次 5 000 元损失时，风险汇聚安排有 4 个、20 个和 100 个参加者时的平均损失分布（有 100 个参加者时出现极端损失的概率较低，平均损失的标准差最小）。

表 2－3 的数据表明：随着风险汇聚安排中参加者数量的增加，每个参加者成本的标准差越来越小。 在极限的情况下（当参加风险汇聚安排的人数量非常多），每 个参加者成本的标准差将变得非常接近 0，因此每位参加者的风险变得可以忽略不 计。 这个结果说明了什么是大数法则（law of large numbers）。此外，随着参加者数量的增长，平均损失的概率分布变得越来越像钟形，直到最终等同于正态分布（normal distribution）。这个结果说明了什么是中心极限定理（central limit theorem）。

对以上分析进行总结，我们可以发现，当损失相互独立时，风险汇聚安排对每个参加者支付的事故成本的概率分布有两个重要影响： 第一是平均损失的标准差减 小了，结果是使得参加者面临极端结果（包括髙结果和低结果）的概率减小；第 二是平均损失的分布更加接近钟形。

最后需要指出的是，在上述例子中我们假设通过风险汇聚安排以抑制风险的所有参加者的损失都有相同的概率分布，这个假设并不是关键性的。因为即使每个参加者具有不同的损失分布，但只要有越来越多的参加者，平均损失的标准差也是倾向于下降的 。

三、损失具有相关性的风险汇聚安排

由于各种复杂的原因，损失之间经常会呈现出正相关性。损失呈现出正相关性的原因主要有两点：一是损失的发生经常是由于相同事件（如飓风或地震）所导致的；二是损失的程度和大小也经常受共同因素的影响。例如，非预期的通货膨胀会使每个需要医疗保健的人的支付额高于预期。

下面我们分析一下正相关的损失会对风险汇聚安排产生什么样的影响。回到前面的例子，假设在琪琪和彤彤的损失之间存在着正相关，正相关并不改变琪琪和彤彤最初事故成本的概率分布，但正相关意味着二人同时发生意外事故的概率高于0.01，二人都不发生意外事故的概率也高于 0.81。结果是相对于不相关的损失，琪琪和彤彤每个人的平均损失的标准差减少得没有那么多，意味着风险汇聚安排对风险的抑制程度降低。另外，随着损失正相关度的增大，风险汇聚安排抑制风险的作用就越小 ^[1] 。

正相关的最大程度是完全正相关。在这种情况下，如琪琪发生意外事故，彤彤也会发生；如果琪琪不发生意外事故，彤彤也不会发生。因此，每个人都发生意外事故的概率和二者之一发生事故的概率是一样的（均为 0.1），两个人都不发生意外事故的概率和二者之一不发生事故的概率是一样的（均为 0.9），结果是风险汇聚安排没有改变标准差。因此，当损失为完全正相关时，风险汇聚安排不能抑制风险。

图 2－2 总结了正相关损失对平均损失分布的影响效果。图 2－2 中画出了两种情况，两种情况都有 10 000 个参加者加入风险汇聚安排，每个参加者的损失期望都为 500 元。一种情况是每个参加者的损失是不相关的，另一种情况则是正相关的。正如图 2－2 中所示，当损失正相关时，平均损失的分布有更高的标准差，所以平均损失更难以预测。

图 2－3 通过分析参加者的数量增加时平均损失的标准差如何改变，进一步阐明了相关性损失对风险汇聚安排的影响效果。当损失不相关时，平均损失的标准差随着参加者数量的增多而接近于 0（回想一下大数法则）；当损失不完全正相关时，平均损失的标准差随着参加者数量的增多而减小，但并不接近于 0；当损失完全正相关时，平均损失的标准差随着参加者数量的增多而不变。

结论二：当损失不完全正相关时，与损失是独立的（不相关的）情形相比， 风险汇聚安排对风险的抑制程度会降低；随着正相关程度的增加，风险汇聚安排对 风险的抑制程度会越来越小；当损失完全正相关时，风险汇聚安排不能抑制风险。

总结起来，当损失不相关时，风险汇聚安排对风险的抑制效果最佳；当损失不完全正相关时，风险汇聚安排对风险的抑制效果降低，并且相关度越高，对风险的抑制效果越小；当损失完全正相关时，风险汇聚安排对风险的抑制没有任何效果。

最后需要指出的是，损失的相关性对风险管理和保险具有重要的意义。例如，损失的相关性对企业风险、保险价格、保险合同中含有的条款类型以及保险公司的运作（如核保、再保险业务和保险公司的资本结构）都会产生重要的影响。另外，风险汇聚安排本质上是通过分散化来抑制风险，损失的正相关性限制了通过风险汇聚安排消除风险的能力，这种不能被消除的风险通常被称为系统性风险或不可分散风险。

[1] 正相关程度的大小可以用相关系数来表示，此时可得到：平均损失标准差＝原标准差× 。当相关系数为 0（损失相互独立）时，琪琪和彤彤汇聚后的平均损失标准差等于原标准差的 0.707 倍，即 1 061 元；当相关系数为 0.2（损失正相关）时，琪琪和彤彤汇聚后的平均损失标准差等于原标准差的 0.775 倍，即 1 162 元；当相关系数为 0.8（损失正相关）时，琪琪和彤彤汇聚后的平均损失标准差等于原标准差的 0.949 倍，即 1 423 元；当相关系数为 1（损失完全相关）时，琪琪和彤彤汇聚后的平均损失标准差等于原标准差，即 1 500 元。 guCBcAAayLxdJayCpeZnYbkuFbajELba8vmQlPkmpF7U3bfpTBCGrSLp+jWZed9y