中级计量经济学：方法与应用（第2版）最新章节_张卫东著

第二节
内生性问题

本节主要讨论内生性问题，包括有关概念、后果、检验方法及处理方法等。

一、内生性概念及后果

对于模型

Y ＝ Xβ ＋ u

强外生性意味着

E [ u |X ] ＝ 0，

或者

E [ u _i | x ₁ ， x ₂ ，…， x _n ]＝ 0 i ＝ 1，2，…， n ；

其中 x _i 是矩阵 X' 的第 i 列，即所有解释变量的第 i 个观测值。

一般来说，条件均值 E ( u _i | x ₁ ， x ₂ ，…， x _n )是x的函数。强外生性表明这个函数是取值为零的常数，即扰动项的变化与解释变量是独立的。另一方面，如果这个条件均值是常数但不为零，即 E ( u _i | x ₁ ， x ₂ ，…， x _n )＝ μ ≠0，此时只需对模型扰动项稍做变动，新的扰动项仍然满足强外生性。这种情况只是影响了模型的截距项，对模型其他方面没有影响，外生性仍然成立。

根据期望迭代定理 E [ E ( u ｜ X )]＝ E （ u ），由强外生性容易推出扰动项的无条件均值为零， E ( u _i )＝ 0。更重要的是能推出各解释变量与扰动项不相关（或称为正交），即 E ( x _j u _i )＝ 0 ( i ， j ＝ 1，2，…， n ) ，或cov（ x _j ， u _i ）＝0( i ， j ＝ 1，2，…， n ) 。这是因为

E ( x _j u _i )＝ E [ E ( x _j u _i ｜ X )]＝ E [ x _j E ( u _i ｜ X )]＝ 0

cov ( x _j ， u _i )＝ E ( x _j u _i ) － E ( x _j ) E ( u _i )＝ 0

上述两式由强外生性推出，称为弱外生性，也就是通常说的外生性。它表明解释变量与扰动项不相关，这是获得一致估计量的重要前提。

如果外生性假定被违背，即 E ( x _j u _i )≠ 0，解释变量与扰动项相关，那么模型存在内生性问题。与扰动项相关的解释变量称为内生解释变量。此时最小二乘估计量是不一致的估计量。

二、内生性检验

如果模型中某个解释变量不满足外生性条件，则该变量为内生解释变量。此时模型具有内生性（Endogeneity）。检验某个解释变量是否是内生变量，称为内生性检验（ Testing for Endogeneity），常用的检验是豪斯曼检验（ Hausman）。

Hausman（1978）检验的基本思想是比较两种不同估计方法估计结果的差异大小，比如解释变量系数的OLS估计和两阶段最小二乘法（2SLS）估计量大小。如果待检验的变量确实是外生的，则解释变量系数的OLS和 2SLS估计量差值仅取决于抽样误差，差异不会太大；如果两类估计量差值过大，则拒绝外生性，认为存在内生性问题。这是因为如果存在内生性， OLS是不一致的估计，而 2SLS估计量是一致估计（后证）。

Hausman检验的原始表述是基于不同估计方法结果差异的比较，对于不同的模型或问题有各自的计算公式。一种简单易行又常用的方法是基于线性模型回归结果完成此检验，且该种做法与原始Hausman检验是渐进等价的。这种做法也适用于非线性模型。

在此我们介绍基于线性回归结果的Hausman内生性检验。先假设模型中有一个可能的内生解释变量，然后可以扩展到多个内生解释变量检验问题。

设

y 是因变量； x 是可能的内生解释变量，即 E ( xu ) ≠0； z ₁ 是 1 × L ₁ 的解释变量（包含截距项），是外生的； u 是扰动项； β 和 α ₁ 是系数（向量）。假设与模型问题有关的所有可能的外生变量为 z （1 × L ）， z ₁ 是 z 的一个子集。模型满足假定

E ( z'u ) ＝ 0

我们要检验的原假设是 x 是外生变量，备择假设是 x 是内生变量。思路步骤如下：

将 x 对z线性投影（辅助回归）

因为 u 与z不相关，那么如果 x 是内生的，即 x 与 u 相关，则有 E ( uν )≠0，从而内生性检验转化为两个扰动项是否相关。

u对ν的线性投影为

其中 ρ ＝ E ( uν ) ／ E ( ν ² )， E ( eν )＝ 0， E ( z'e ) ＝ 0。因此，如果 x 是外生的，必有 ρ ＝ 0。将式（3.15）带入式（3.13）得

用OLS估计（3.16），使用标准的t检验来检验H ₀ ： ρ ＝ 0。但由于 ν 不可观测，所以实际操作中，使用式（3.14）的残差项作为 ν 的估计。如果同方差假定满足，即 E ( u ² ｜ z ₁ ， x ) ＝ σ ² ，则的OLS估计结果的t检验在H ₀ 成立条件下是有效的。如果是异方差，则需要使用异方差稳健t统计量检验（如White异方差一致估计）。

具体检验步骤如下：

第一， x 对所有外生变量z回归，生成残差序列，得到 ν 的估计。

第二，将加入原模型结构方程，估计该结构方程。

y ＝ z ₁ α ₁ ＋ βx ＋＋ e

第三，检验H ₀ ： ρ ＝ 0：如果相应的t值很小，则接受原假设，表明 x 是外生的；如果t值较大，则拒绝原假设，表明 x 是内生的。

下面通过一个例子来说明具体的应用过程。

【例 3.2】检验女性工资方程中教育变量的内生性

log（wage）＝ δ ₀ ＋ δ ₁ exper ＋ δ ₂ exper ² ＋ λ educ ＋ u

exper和exper ² 是外生的，现怀疑educ有内生性。 educ的工具变量是父亲教育年限fatheduc、母亲教育年限motheduc和丈夫教育年限huseduc。

第一步， educ对所有外生变量：常数项 1、 exper、 exper ² 、 motheduc、 fatheduc、 huseduc回归，得到残差E；

第二步，将残差E作为一个解释变量加入结构方程中，

log（wage）＝ δ ₀ ＋ δ ₁ exper ＋ δ ₂ exper ² ＋ λ educ ＋ ρE ＋ u

Stata操作及估计结果如图 3.4、图 3.5 和图 3.6 所示

图3.4 操作过程

图3.5 输出结果一

图3.6 输出结果二

输出结果二可看出，的 t 统计量值为 1.83，在 10％显著性水平下，拒绝原假设，表明educ具有内生性，从而用OLS估计原模型存在问题。

如果模型存在内生性问题，我们应寻求适当的方法加以处理。

三、工具变量与两阶段最小二乘法

解决内生解释变量的基本做法是采用工具变量方法估计模型，基本思想是利用工具变量替代内生解释变量，然后用OLS估计模型。这一过程通常使用了两次OLS，因此称之为两阶段最小二乘法（2SLS）。

为了表述工具变量的概念，我们假设有如下模型：

y ＝ β ₁ ＋ β ₂ x ₂ ＋ …＋ β _k x _k ＋ u

x _k 与扰动项 u 可能相关，而其他解释变量都是外生的。

采用工具变量方法，需要找到可观测的工具变量 z ，且工具变量需要满足两个条件：

① z 与误差项 u 不相关， cov ( z ， u ) ＝ 0；

② z 与 x _k 高度相关。或者说 z 与 x _k 存在偏相关（即扣除其他外生变量的影响后仍然是相关），也就是 x _k 对包含所有外生变量的映射中，

x _k ＝ α ₁ ＋ α ₂ x ₂ ＋ …＋ α _{k－

1} x _{k－

1} ＋ δz ＋ ε

有 δ ≠ 0。

此即工具变量的定义。工具变量可以有多个，基本要求和做法与此类似。

下面继续通过上述的例子，说明工具变量及两阶段最小二乘法（2SLS）处理内生性的过程。

【例 3.3】（例 3.2 续）采用工具变量方法解决教育变量的内生性问题。

经过检验发现educ具有内生性，上例使用了父亲教育年限fatheduc、母亲教育年限motheduc和丈夫教育年限huseduc作为educ的工具变量。首先，这三个变量满足工具变量定义的第一个条件，即与原模型的扰动项不相关；接下来，考察第二个条件，即与内生解释变量的相关性（即工具变量检验）。为此需要估计及检验以下模型。

（1）估计模型educ ＝ α ₀ ＋ α ₁ exper ＋ α ₂ exper ² ＋ δ ₁ motheduc ＋ δ ₂ fatheduc ＋ δ ₃ huseduc ＋ ε 。

Stata操作及估计结果如图 3.7、图 3.8 所示。

图3.7 第 1 步操作过程

图3.8 第 1 步输出结果

（2）估计受约束模型educ ＝ α ₀ ＋ α ₁ exper ＋ α ₂ exper ² ＋ ε 。

Stata操作及估计结果如图 3.9 和图 3.10 所示。

图3.9 第 2 步操作过程

图3.10 第 2 步输出结果

（3）根据工具变量的第二个条件，要求 δ ₁ 、 δ ₂ 、 δ ₃ 至少一个不为零，即要检验原假设为H ₀ ： δ ₁ ＝ δ ₂ ＝ δ ₃ ＝ 0，采用线性约束F检验，

F ＝ ～ F （ q ， n － k ）

Stata操作及结果如图 3.11 和图 3.12 所示。

图3.11 第 3 步操作过程

图3.12 第 3 步输出结果

拒绝原假设，表明第二个条件成立，即父亲教育年限fatheduc、母亲教育年限motheduc及丈夫教育年限huseduc是educ的（有效）工具变量。

于是进一步地，我们使用两阶段最小二乘法 2SLS处理内生性问题：

①生成educ的替代变量，即educ对所有外生变量回归，用educ的估计量作为替代变量 z ；

②用 z （）替代educ估计工资方程，

log（wage）＝ δ ₀ ＋ δ ₁ exper ＋ δ ₂ exper ² ＋ δ ₃ z ＋ u

此即两阶段最小二乘法 2SLS的运用过程。

本例中， Stata操作及估计结果如图 3.13 和图 3.14 所示。

图3.13 使用 2SLS法操作过程

图3.14 输出结果

本例中，如果不采用 2SLS，而是直接用OLS估计该模型，则Stata操作及结果如图 3.15 和图 3.16 所示。

图3.15 使用OLS法操作过程

图3.16 输出结果

对 2SLS法与OLS法的估计结果进行比较，教育对工资影响的 2SLS估计的系数为 0.080，而OLS估计的系数为 0.107。虽均为显著，但相差较大（相差约 30％）。这从另一角度也说明模型存在内生性，此时更应认可 2SLS的估计结果，因为它是一致估计。

四、工具变量估计量和 2SLS估计量的性质

1.简单工具变量

考虑线性回归方程： y ＝ β ₁ ＋ β ₂ x ₂ ＋ …＋ β _k x _k ＋ ε

现在假设 x _k 是内生的，也就是说， x _k 与扰动项 ε 相关。在这样的情况下，OLS得到的参数估计量是有偏且不一致的。需要说明的是，此时参数估计的偏差不仅仅存在于参数 β _k 上，而是所有的参数估计值都会受到影响。

矩阵形式的回归方程：

y ＝ β ₁ ＋ β ₂ x ₂ ＋ …＋ β _k x _k ＋ ε ＝ Xβ ＋ ε

仍然假设 x _k 是内生的，如果可以找到一个工具变量 z ₁ ，满足如下两条假定： E （ z ₁ x _k ） ≠ 0 以及 E （ z ₁ ε ）＝ 0，那么，可以定义 Z ＝ （ x ₁ ， x ₂ ，…， x _k－ ₁ ， z ₁ ），其中 x 1＝（1，1，…，1）'。方程两边左乘 Z' ，同取期望，有 β ＝ [ E （ Z'X ）] ^－1 E （ Z'Y ）

以此得到参数估计量

称为工具变量估计量（IV）。它是一致估计量。这是因为：

＝ β ＋ ＝ β

但是，这样简单使用工具变量得到的估计量并不是无偏的（特殊的能得到无偏估计的情况是： x _k 与其他外生变量无关，只和 z ₁ 相关）。而正确的做法是，将内生变量 x _k 对所有的外生变量进行投影（回归），也就是按照如下公式计算：

x _k ＝ α ₀ ＋ α ₁ x ₁ ＋ …＋ α _{k－

1} x _{k－

1} ＋ θz ₁ ＋ r _k

只要系数 θ ≠ 0，该工具变量就是有效的。也就是说，必须保证 z ₁ 与 x _k 是在扣除了其他外生变量的影响下，仍然是相关的。这样，根据回归得到了 x _k 的估计值：

＝

用估计出的代替原来的 x _k ，进行OLS估计，就可以得到产生的无偏估计。这实际上是将内生变量分成了内生部分和外生部分，通过投影得到外生的部分，然后进入回归方程。

2.多工具变量和两阶段最小二乘法（2SLS）

多工具变量是简单工具变量的一个扩展。当我们可以找到的工具变量不止一个的时候，我们可以提高对内生变量的拟合，得到一个更好的估计。另外，如果一个多元回归方程中含有的内生变量个数不止一个，那么我们就必须分别找到它们各自的工具变量。一般来说，工具变量的个数大于方程中内生变量的个数。每一个内生变量，都须对所有的外生变量（包括工具变量）进行投影，这样得到的参数估计才是一致的。

下面用一个具体的例子来说明。为了方便，我们仍然假设回归方程中只含有一个内生变量 x _k ：

y ＝ β ₁ ＋ β ₂ x ₂ ＋ …＋ β _k x _k ＋ ε ＝ Xβ ＋ ε