第一节
非球形扰动

经典线性回归模型OLS估计量在古典假定条件下满足高斯－马尔可夫定理，但在现实经济活动中，这些基本假定并非都能满足该定理。在基础计量经济学中，针对异方差性、自相关性问题我们主要探讨了问题产生的原因、造成的后果以及如何检验与修正的方法。本节内容主要是在此基础上，进一步探讨异方差和自相关的本质，并给出在存在异方差及自相关情况下如何得到估计量的有效性改进。

考虑线性回归模型

其中，

此时称模型的随机扰动项是非球型扰动（可称为广义线性回归模型）。

如果模型存在非球型扰动（其他基本假定仍满足），此时仍然采用OLS估计会有以下特点：

①OLS估计量是无偏且一致的。

②OLS估计量是非有效的。即如果仍然做OLS回归，只能得到线性无偏但非最小方差的估计量。

③传统的OLS估计量的标准差不正确，以这些标准差为依据建立起来的传统的t检验是无效的。

那么， OLS估计量的正确方差（标准差）是什么呢？

事实上，

传统OLS估计量方差公式 σ ² ( X'X ) ^-1 只是正确表达式（3.3）的一部分，所以传统的 t 检验统计量是无效的。

为得到正确的方差（标准差），我们先考虑异方差情形，然后再考虑自相关情形及异方差和自相关混合的情形。

当仅出现异方差时，扰动项的方差协方差矩阵是

Var（ u ） ＝ ＝ =V

在这种情况下，如果我们仍然使用OLS估计模型，那么有效的统计推断要求正确计算出式（3.3），即 σ ² Ω ＝ 。由于 σ ² Ω中有 n 个未知方差，而我们的样本为 n ，因此，如果没有附加假设，要从 n 个样本点估计这些未知参数，显然是不可能的。不过， White认为可以换一个角度看此问题。我们目的是要得到 k 阶方阵 X'σ ² Ω X 的一个满意的估计，这是一个 k 阶方阵，而 k 是独立于样本容量 n 的常数。

White估计量以 代替未知的 ，其中， e _i 是最初OLS估计的残差。White （1980）证明了

是式（3.3）的一个一致估计量。而且，式（3.5）由于不需要对异方差形式做任何假定而显得特别有用。

式（3.5）主对角线元素的平方根就是OLS估计量的“真实”标准差，它通常被称为White异方差一致标准差。此时，通常的t检验和F检验是渐进有效的。而一般的假设检验也可以用相应的统计量来完成。

White关于OLS估计量的方差协方差矩阵的一致估计（也称为White方差协方差稳健估计），是假设被估计的模型的随机扰动项是序列不相关的。而Newey和West（1987）提出了更一般的估计量。在存在未知形式的异方差和自相关时仍然是一致的。估计式为：

其中， q 是模型随机误差项的最大自相关阶数，需要事先给定。 w ( v )是权数， w ( v ) ＝ 。将式（3. 6）带入式（3. 3）得到OLS估计量的Newey－West异方差—自相关一致方差协方差估计

【例 3.1】分析交通与通信支出如何受人均可支配收入的影响。建立交通通信支出的一元线性回归模型，解释变量为人均可支配收入。相关数据如表3.1 所示。

建立交通通信支出的一元线性回归模型

cum _i ＝ α ＋ β in c _i ＋ ε _i

Stata操作及结果如图 3.1 所示，输出结果如图 3.2 和图 3.3 所示。

将OLS估计结果（见图 3.2）和采用White异方差一致估计的结果（见图3.3）对比

估计结果表明，系数估计值相同，但系数估计量的标准误差不同， t 值也不同。式（3.9）中的标准差 0.012 称为稳健标准差，它是inc系数最小二乘估计量“真实标准差”的White一致估计。值得注意的是， OLS估计结果［式（3.8）］中的t值通常是被夸大的。而White （以及Newey－West）方法正是给出了估计量方差的真实改进。

非球型扰动的处理，除了上述的OLS加White （或Newey－West）稳健方差一致估计方法以外，另一种重要的处理方法是广义最小二乘估计法（GLS）。

在实际经济问题的分析过程中，常常遇到古典假定的不满足，即随机扰动项存在非球型扰动（异方差或自相关）。比如利用截面数据进行分析时，随机因素的方差有时会随着解释变量的增大而增大（即所谓的递增异方差——如在研究消费收入的关系时，随着收入的增加，随机因素的变化会增大）。而利用时间序列数据进行分析时，由于经济变量的惯性作用，随机扰动项之间也会有联系，较为普遍的现象是扰动项的一阶自相关（即 u _t ＝ ρu _{t－ 1} ＋ ε _t ）。

当存在非球型扰动（异方差或自相关）的情况下，传统的OLS不再是有效估计，这时，我们可以采用广义最小二乘法（GLS）来解决这类问题。

具体地，对于线性回归模型 Y ＝ Xβ ＋ u

E （ u ｜ X ） ＝ 0， Euu' ＝ σ ² Ω

其中Ω＝ ＝ 时， 存在异方差；

Ω ＝ 时， 存在一阶自相关。

需要说明的是，无论是异方差还是自相关，矩阵Ω是正定矩阵。于是，存在非奇异矩阵P ，使得

Ω ＝ PP'

或 P ^－1 Ω （ P' ） ^－1 ＝ I

在模型 Y ＝ Xβ ＋ u 两边同时左乘 P ^－1 ，得

P ^－1 Y ＝ P ^－1 Xβ ＋ P ^－1 u

令 P ^－1 Y ＝ Y ^* ， P ^－1 X ＝ X ^* ， P ^－1 u ＝ u ^* 。于是有

此时， Eu ^* u ^* '＝ E ［ P ^－1 uu' （ P' ） ^－1 ］＝ P ^－1 σ ² Ω （ P' ） ^－1 ＝ σ ² I

即 u ^* 已无异方差和自相关。

那么，对式（3.10）运用OLS可以得到

＝ （ X ^* ' X ^* ） ^－1 X ^* ' Y ^* ＝ （ X （ P ^－1 ） 'P ^－1 X ） ^－1 X' （ P ^－1 ） 'P ^－1 Y ＝ （ X' Ω ^－1 X ） ^－1 X' Ω ^－1 Y

这就是未知参数 β 的广义最小二乘估计量GLS。即

广义最小二乘估计量GLS具有良好的统计性质：它是无偏的、一致的、渐近正态［ ＝ β ， Var ＝ σ ² （ X' Ω ^－1 X ） ^－1 ］的估计量。换句话说， GLS估计量是广义模型中的最小方差线性无偏估计。这就是所谓的Aitken定理，当Ω ＝ I 时高斯—马尔可夫定理为其特例。

广义最小二乘法是处理非球型扰动问题的一般良好估计方法。而具体到异方差或自相关的单一问题时，广义最小二乘法（GLS）则简化为加权最小二乘法（WLS）或广义差分法。

当Ω已知时，比如异方差时，各个 已知，此时，矩阵P为

这时由式（3.10）估计出来的 β ，其实与加权最小二乘法（WLS）估计的是相同的。换句话说，加权最小二乘法实际上是广义最小二乘法的特例。

再比如，随机扰动项有一阶自相关且 ρ 已知，

此时Ω ＝ ，可以算得

那么式（3.10）中的

＝ ， ＝

此时估计式（3.10）得出的 ，其实就是广义差分法的估计结果。也就是说广义差分法也是GLS的特例。所以， GLS是一个理论上普遍适用的方法。

但是，上述情形在Ω已知的情况下是可行的。而在现实应用时，Ω往往是未知的。于是我们面临一个问题——Ω如何确定？回答是，对Ω中的未知量预先进行估计（比如一阶自相关中的 ρ ，异方差中的 w _i ），再运用广义最小二乘法GLS。这是一种理论上可行的方法，但实际操作可能会遇到许多困难，尤其是在有异方差存在时。为此，我们介绍另一种方法——可行广义最小二乘法（FGLS）。

下面以异方差为例，介绍如何估计Ω中的未知量，进而运用可行广义最小二乘法（FGLS）。

异方差的具体形式是复杂多样的，但总的来说都是与解释变量有关的，随解释变量的变化而变化。以下三种假设情况是文献中经常讨论的情形。

假设 1： σ ² _i ＝ α ₀ ＋ α ₁ Z _{i 1} ＋ …＋ α _p Z _ip

假设 2： σ _i ＝ α ₀ ＋ α ₁ Z _{i 1} ＋ …＋ α _p Z _ip

假设 3：ln σ ² _i ＝ α ₀ ＋ α ₁ Z _{i 1} ＋ …＋ α _p Z _ip ［或 σ ² _i ＝ exp（ α ₀ ＋ α ₁ Z _{i 1} ＋ …＋ α _p Z _ip ）］

我们称这些方程为扰动项方差的辅助方程。式中的Z是原模型中部分或全部的 X 或 X 的函数（比如 Z ₁ ＝ X ₁ ， Z ₂ ＝ ， Z ₃ ＝ X ₁ X ₂ ，等等）。可行广义最小二乘法的基本思想就是，先利用辅助函数求得参数估计值 ，然后得出估计值 从而得到 及最终的GLS结果。 FGLS的步骤如下：

第一步， Y对常数项和 X ₁ ， X ₂ ，…， X _K 回归，求得 β 的OLS估计值。

第二步，计算残差 e _i ＝ 。

第三步，选择上述方程的适当形式。

形式一： e _{i 2} 对常数项及 Z ₁ ，…， Z _P 回归，求得 α 的估计值。这是针对上述假设 1 方程的情况。式中的Z为原来 X 的平方或交叉乘积。然后把这些 α 的估计值代回假设 1 方程便得到 σ _{i 2} 的估计值 。再使用GLS或WLS得出最终结果。需要指出的是，这种方式并不能保证所有的 都为正，如果其中出现了 0 或负数，那么我们就只能使用原来的 e _{i 2} 代替 了。

形式二：对应于上述假设 2 中的方程，让 e _i 对常数项及 Z ₁ ，…， Z _P 回归，求得 α 的OLS估计值，代入假设 2 方程得到 ，然后使用GLS或WLS（此时选择权数为 ，如 为负，那么权数为 ）。

形式三：对应假设 3 方程，让ln e _{i 2} 对常数项及 Z ₁ ，…， Z _P 回归，求出 α 的OLS估计值，再代回假设 3 方程求得 或 。然后利用GLS或WLS得出结果。这里值得一提的是，此时的 只会产生正值，不存在 0 或负的情况，这也是此种方法有吸引力的地方。

以上便是有异方差时可行广义最小二乘法的常用步骤。由此得到的FGLS估计量是一致估计量。而且它的方差和协方差估计也是一致的。同时渐近地（大样本场合）比OLS估计更有效。

而更一般化的可行广义最小二乘法（FGLS）操作应用还需要具体情况具体分析。一般公式为

其中 是Ω的一致估计。 3q6czrsnTUFuo4nAVHM1m6JqU8mKPkgg5MT+mWWbqWKNQsX7DCdL/Wb1eMtxKAqe