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低利率是本书的核心。鉴于此，本章介绍了与利率相关的五个概念，这些概念将贯穿全书。
第一是中性利率 r * 。中性利率有两种定义。第一种定义：假设实际产出等于潜在产出，中性利率是储蓄和投资相等时的安全实际利率。第二种定义：中性利率是总需求和潜在产出相等时的安全实际利率。尽管这两种定义实际上是等价的，但它们代表了对中性利率决定因素的不同思考方式，这两种定义在后文中都会用到。
第二是安全利率和风险利率（如股票回报率）之间的区别。它显示了感知风险增加或风险厌恶增强将导致风险利率上升、安全利率下降。当我们查看后面章节中的相关内容，思考低安全利率背后的因素时，这一区别将被证明在实证分析中具有重要意义。当前的低安全利率是储蓄或投资变动造成的，还是风险或风险厌恶增加导致的？
第三是中央银行的作用。我们可以这样认为，中央银行货币政策旨在有效调控安全实际利率 r ，使其尽可能地接近于中性利率 r * ，从而使实际产出接近于潜在产出。一个重要的结论是，尽管有时中央银行会因当前的低利率而受到指责，但政策利率大多反映了低中性利率，而低中性利率 r * 又反映了其背后的影响因素，即储蓄、投资、风险和风险厌恶。也就是说，低利率不应归咎于中央银行，低利率是潜在基本面因素的反映。
第四是不等式（ r-g ）＜0的重要性，其中 r 为安全实际利率， g 为经济的实际增长率。当 r ＜ g 时，如果不偿还债务，债务将以 r 的速率累积，产出则以 g 的速率增长。因此，在不新增发债务的情况下，债务产出比将逐渐下降，进而改善债务动态。鉴于在可预见的一段（较长）时间内， r 很可能小于 g ，这将在我们后续讨论财政政策时发挥重要作用。
第五个与利率有关的讨论涉及有效利率下限的性质和影响。由于人们可以持有名义利率为零的现金，中央银行无法将名义政策利率降至远低于零的水平。这意味着，中央银行无法使实际政策利率远低于负通胀率。我们将此利率称为ELB利率，并用 r min 表示。当中性利率 r * 非常低时，有效利率下限的存在制约了中央银行将利率 r 下调至与 r * 一致的能力，导致 r ＞ r * 。也就是说，这可能缩减甚至消除货币政策将实际产出维持在潜在产出水平的空间。这是近年来许多中央银行经常面临的情况，对我们后续讨论财政政策也具有重要的影响。
第二章的结论部分指出，中性利率 r * 随时间的推移而下降，并跨越两个重要的临界点。首先，随着中性利率 r * 的下降， r 已经小于 g ，这对债务动态和财政政策产生了重要影响。其次，在某些情况下，中性利率 r * 已低于有效利率下限 r min ，限制了货币政策将实际产出保持在潜在产出水平的能力，进一步增强了运用财政政策的必要性。
首先，从一个极为简化的视角开始解释利率的决定因素。假设只有一个利率，即实际利率（名义利率减预期通胀），使得储蓄等于投资。储蓄等于投资的方程式为：
其中 S 表示储蓄（假定取决于收入 Y 、实际利率 r ，以及方程式中用点表示的其他因素，这些因素会影响储蓄）， I 表示投资（同样取决于产出 Y 、实际利率 r ，以及用点表示的其他因素，这些因素会影响投资）。
值得注意的是，为了简化，此处不考虑政府的作用：此处储蓄既包括私人储蓄又包括政府储蓄，投资既包括私人投资又包括政府投资。财政政策对储蓄和投资的影响将在后面详细讨论，但并不影响我在此要阐述的观点。此外，我忽略了一个事实，即经济可能是开放的，因此储蓄可能不等于投资，但将世界作为一个整体，储蓄等于投资仍然成立。后续讨论我们应该将 r * 视为由本国因素还是由全球因素所决定时，我还将回到这个问题。
假设实际产出等于潜在产出，记为 Y *。然后，储蓄等于投资均衡决定的实际利率的值，我们称其为中性利率，并用 r * 表示。因此， r * 满足：
方程式如图2.1所示，横轴是储蓄和投资，纵轴是利率。假定 Y = Y *，储蓄和投资都对应相应的利率。储蓄随利率上升而增加，投资随利率上升而减少。交点A为均衡点，相应的中性利率为 r * 。
图2.1 中性利率的决定
由此我们得出中性利率的第一种定义：假设实际产出等于潜在产出，中性利率 r * 是储蓄等于投资时的实际利率。
储蓄的正向变化使储蓄曲线右移，均衡点移至点B，此时储蓄和投资都增加，中性利率降低。投资的负向变化使投资曲线左移，均衡点移至点C，此时储蓄和投资都降低，中性利率也降低。
还有另一种看待 r * 的等价方式，这同样会被证明是有用的。定义消费 C = Y – S ，并将方程（2.1）重新写为：
假设产出等于总需求，即消费和投资的总和（需要注意，消费和投资包括政府的消费和政府的投资），然后，我们可以将 r * 定义为使总需求等于潜在产出的利率，如下所示：
均衡状况如图2.2所示，其中横轴是产出，纵轴是总需求，这就是我们熟悉的凯恩斯交叉图。给定的利率 r 下，总需求 C + I 是 Y 的函数。 C + I 随 Y 递增（在标准假设下，边际消费倾向与边际投资倾向之和小于1，且 C + I 的斜率小于45度线）；利率上升会降低消费和投资，使总需求下降；利率下降会使总需求上升。对于给定的 r 值，实际产出的均衡值由 C + I 与45度线的交点确定（ Y = Y ）。中性利率 r * 是实际产出的均衡值等于潜在产出 Y *时的利率。如果 r 大于 r * ，则总需求较低，实际产出的均衡值小于潜在产出，即 Y ＜ Y *；如果 r 小于 r * ，则总需求较高，实际产出的均衡值大于潜在产出，即 Y ＞ Y *。
图2.2 中性利率的决定（另一种表示）
这为我们提供了中性利率的第二种定义：中性利率 r * 是总需求产生的实际产出等于潜在产出时的实际利率。
既然这两种定义会得出相同的 r * 值，为什么要提出两种定义呢？因为它们自然而然地引导我们关注不同的中性利率 r * 的决定因素。
· 第一个定义引导我们关注储蓄和投资的长期决定因素，例如人口统计信息。
· 第二个定义引导我们关注短期决定因素，例如全球金融危机爆发时总需求下降，或者思考财政政策时，关注美国总统乔·拜登于2021年年初签署的刺激计划引发的需求增加。
这两组因素显然都很重要，我们将在后续展开探讨，特别是财政政策的作用。 [1]
市场上有多种不同的利率和回报率：安全/风险利率、短期/长期利率、公司/政府债券收益率、股票回报率、房产投资回报率、商品回报率，甚至比特币回报率。我们至少要区分安全利率和风险利率，这一点很重要。假设有两种利率，分别是安全利率和风险利率。再假设储蓄取决于安全利率（将其视为政府债券的利率），而投资取决于风险利率（将其视为股权的预期回报率）。用 r + x 表示风险利率，其中 x 表示相对于安全利率的风险溢价。 [2]
在这种情况下，方程可表示为：
中性安全利率为：
均衡状况如图2.3所示，纵轴是安全利率，横轴是储蓄和投资。在给定潜在产出的情况下，储蓄是安全利率的增函数。在给定潜在产出的情况下，投资是风险利率的减函数，因此对于给定的风险溢价 x ，投资也是安全利率的减函数。在交点A处，安全利率为 r * ，由此推断风险利率为 r * + x 。
风险增加或风险厌恶增加会导致风险溢价增加，即Δ x ＞0，这会使投资曲线下移Δ x ，安全利率下降Δ r * ；由于 r * 下降的幅度小于Δ x ，所以风险利率会上升。
图2.3 安全利率、风险利率和风险溢价
因此，除了我们之前看到的储蓄和投资的变化，这为我们提供了安全利率偏低的另一个可能原因，即由风险厌恶程度增加或风险本身增加导致的风险溢价增加。如果我们不考虑风险，而考虑流动性，同样的结论也成立——不是对风险资产的风险溢价，而是对安全资产的流动性折价。如果我们认为支付安全利率的资产（如国库券）的流动性较高，而另一种资产的流动性较低，那么对流动性需求的增加将导致安全（流动性）利率降低，而流动性较低的资产的利率升高。
这为我们提供了解释中性利率变动的四组潜在因素：储蓄变动、投资变动、风险溢价变动和流动性折价变动。我将在第三章讨论它们的相关影响。
中央银行的作用是避免经济过热（过热可能导致通胀率上升）和经济过冷（过冷可能导致失业率过高）。 [3] 鉴于中性利率是使实际产出保持在潜在产出水平的利率，我们可以认为中央银行试图将 r 设定在 r = r * 的水平。例如，如果总需求下降，就意味着 r * 下降，中央银行通常会试图根据 r * 降低 r ，以避免产出下降或减小产出下降幅度。
这有两个重要的含义。
首先，受有效利率下限约束的影响，尽管中央银行无法一直实现 r = r * ，但中央银行会努力使 r 尽可能地接近 r * 。 [4] 因此，在大多数时间里，只要有效利率下限不具有约束力，我们就可以将 r 视为 r * 的良好代理指标。
其次，尽管中央银行常常因当前的低利率受到指责（或赞扬），但这种指责（或赞扬）是错误的。低 r 主要反映了低 r * 及其背后的因素：高储蓄、低投资、高风险、高风险厌恶和流动性需求增加。
中性利率 r * ，以及由此推导出来的实际利率 r ，可能非常低，这最早是由阿尔文·汉森（Alvin Hansen，1939）提出的。当时他担心越来越少的投资机会将导致投资不足和需求疲软。他还认为私人需求的利率弹性较低（从IS—LM模型的角度来看，IS曲线非常陡峭），这意味着，为了产生足够的需求从而将实际产出维持在潜在水平上，可能需要较低甚至是负的中性利率。他称这种结果为“长期停滞”。 [5] 无论如何，当时他的担忧并未成为现实，私人需求依旧强劲。然而，考虑到最新的演变，同样的担忧再次出现。2013年，劳伦斯·萨默斯（Lawrence Summers，2014）认为我们可能确实进入了“长期停滞”的时期，并且 r 将在很长一段时间内保持在较低水平。我不确定汉森和萨默斯使用的术语是否恰当，但它已经成为标准用法（我更喜欢“结构性需求疲软”一词，但可能听起来过于学术了）。
过去30年，中性利率 r * 有所下降（在第三章中会进一步讨论），并已经跨越了两个重要的临界点。首先， r * 变得小于经济增长率 g ，由此 r 也变得小于 g 。其次， r * 变得如此之低，以至于有时货币政策无法降低 r 以匹配 r * 的下降，这被称为有效利率下限约束。
本节重点关注：当安全实际利率小于增长率时会发生什么情况。由于没有更好的表述方式，我将其称为“（ r-g ）＜0”。 [6] 该不等式在今天仍然成立，并且正如我将在第三章中阐述的，可能在未来一段时间内继续成立。（这里澄清一下 r ＜ g 的说法与2014年皮凯蒂的主要观点 r ＞ g 之间的关系。两者之间并不矛盾，因为我们选用的是不同的利率。我选用的是安全利率，它的确小于增长率；皮凯蒂选用的是风险利率，即财富的平均回报率，它确实大于增长率。）
（ r-g ）的正负确实对债务动态及债务对福利的影响有着重要意义。
首先考虑债务动态。对于任何借款人来说，低利率都是好消息。但是，我们如果借了钱，仍然必须在去世前还清债务。政府则没有必要这样做。实际上，因为政府永续存在，当旧债务到期时，政府可以发行新债（即“债务滚动”）。所有政府都在这样做。
要了解这意味着什么，首先要从政府没有初始债务、税收等于支出的情况开始，此时预算是平衡的。现在假设政府仅增加一年的支出，但不提高税收，而是通过发行债务来填补赤字。从第二年开始，随着支出恢复正常，税收再次覆盖非利息支出，但无法覆盖利息支出。因此，债务以 r 的速率增加，而产出则以 g 的速率增长。 [7]
如果 r ＞ g （长期以来一直被认为是标准情况），债务产出比（通常简称为“债务率”）将以（ r-g ）的速率呈指数级增长，如果政府不想让债务率呈爆炸式增长，迟早要增加税收（或减少支出，或两者兼有）。但是，如果 r ＜ g ，也就是我们今天所处的情况，并且预计在未来一段时间内都会如此，那么债务率就会随着时间的推移而下降。事实上，如果 r ＜ g ，那么政府就可以在一段时间内通过发行债务来增加支出，而不必提高税收。因此，债务增加意味着未来需要提高税收的标准观念似乎不再成立。
其次是福利影响。低安全利率 r 其实是一个信号，表明经济出现了问题：实际上，如果我们将安全利率视为经风险调整后的资本回报率，那么低安全利率发出的信号就是，经风险调整后，资本回报率很低。换句话说，它传递了一个信号：资本的边际生产率实际上并不高。如果是这样，由于债务在某种程度上会挤占资本，从而减少资本积累，那么债务的成本可能并不高。如果一开始资本真的过多，那么债务甚至可能是有益的。
这些都是相当戏剧性的结果。如果 r ＜ g 永远成立，这将表明人们对债务的态度非常宽松。但正如我们将要看到的，它附带两个重要的警告。首先，债务和赤字会增加总需求，从而提高 r * ；如果中央银行设定 r ＝ r * ，那么 r 就会提高，可能会改变（ r-g ）的正负性，使债务动态回归到正常情况。其次，我们无法确定 r ＜ g 是否会永远持续（或至少持续很长时间）。如果不会，我们必须考虑需要进行哪些调整。因此，一个核心问题是：我们预期 r 和 g 在未来会发生什么变化？这就需要研究历史，研究可能的基础因素及其未来可能的演变。这将是第三章的主题。对债务动态、福利和一般财政政策的影响将是后续章节研究的主题。
到目前为止，我一直假设中央银行能够将 r 设为等于或接近* r 。因此，针对需求急剧下降导致 r * 也急剧下降的情况，假设能够降低 r 以匹配 r * 的降低。然而，当 r * 非常低时，情况可能并非如此。
从1960年以来的9次美国经济衰退来看，衰退期间（名义）政策利率的下降幅度在2%到8.8%之间，平均下降5%。 [8] 之所以能做到这一点，是因为当时的平均通胀率水平远高于现在，平均名义利率也是如此。 [9]
在当前低通胀和低中性利率的情况下，各国中央银行为了降低 r 以匹配 r * 的下降已经失去了很大的政策空间。中央银行直接控制名义利率，而非实际利率。粗略地说，名义利率不能为负，这一约束被称为零利率下限（ZLB）。 [10] 这是因为，如果名义利率为负，持有现金（名义利率为零）就会成为比持有债券更优的选择，人们就会更愿意持有现金。这就有了一个简单但重要的推论。
实际利率 r 、名义利率 i 和预期通胀率 π e 之间的关系如下：
如果名义利率不能为负，那么实际利率的最低值就是负的预期通胀率，即– π e 。 [11] 根据不同国家的情况，企业和投资者预测未来5年的通胀率为2%~3%，因此，如果名义利率不能为负，未来5年实际利率的下限将为负的2%~3%。 [12]
然而，中央银行已经了解到，实际上可以微调名义利率使其为负值，而不会导致人们大规模地转为持有现金。这是因为持有大量现金既不方便，也有潜在危险，在某些情况下甚至根本不可行。例如，银行如果出售其持有的债券并以现金取而代之，就必须持有巨额现金，并承担一定的安全风险。 [13] 因此，正如第一章中的表1.1所示，许多中央银行已经能够设置负的名义利率，例如，在撰写本文时，瑞士的政策利率为-0.75%。为了反映这一点，货币政策的约束不再被称为零利率下限，而是被称为有效利率下限。然而，与过去所需降低 r 的程度相比，负名义利率提供的额外政策空间很小。 [14]
然而，有效利率下限对财政政策有两个显著的影响。
· 如果像在撰写本书时那样，许多发达经济体的有效利率下限是严格约束，并且产出缺口仍然为负，那么货币政策就没有促进需求和产出增加的空间。换句话说，如果 r * 小于 r min ，中央银行就无法将 r 降至 r * ，那么增加需求以将实际产出恢复到潜在产出水平的责任就必须完全落在财政政策上。
· 如果在某个时点（很可能在本书出版时已经发生），总需求增强，导致 r * 上升并超过有效利率下限，那么有效利率下限可能不再是严格约束，大多数名义利率将再次变为正值。但名义利率仍然不可能高到足以让中央银行对需求的巨大不利冲击做出反应。在这种情况下，财政政策将不得不成为应对需求下降的主要政策工具。
在得出结论之前，我想指出长期停滞和有效利率下限约束之间的一个重要概念差异。长期停滞，即非常低的 r * ，导致（ r-g ）＜0，反映的是经济的基本面，可能不容易解决。而有效利率下限约束则更像一种自我制造的伤害，或者用足球术语来说，是乌龙球。过去30年的低通胀在很大程度上反映了中央银行选择的通胀目标，通常在2%左右。 [15] 如果中央银行选择了更高的目标，通胀可能会更高，预期通胀率也会更高，这样，名义利率会更高，如果需要的话，降低名义利率的空间也会更大。关于恰当的通胀目标的讨论由来已久，还远未尘埃落定；但现有讨论往往忽略了一个事实，即如果目标选择得太低，且有效利率下限往往具有严格的或潜在的约束力，那么必须更多地通过财政政策来实现宏观稳定，而财政政策可能有其自身的成本。 [16]
现在我们已经掌握了思考财政政策所需的工具。你已经可以看到（ r-g ）＜0和有效利率下限约束的基本含义：
· 如果（ r-g ）在未来很长一段时间内都是负值，那么无论是从财政角度还是从福利角度来看，债务的成本都不会很高。
· 如果有效利率下限继续具有严格的或潜在的约束力，则可能需要财政政策（即更高的赤字）来维持潜在产出。
· 这表明经济环境中债务成本较低，而赤字（债务）的（产出）效益较高。
但中性利率在未来会发生怎样的变化呢？这将是第三章的主题。
[1] 关于货币政策的大量文献对 r * 的定义通常与我的定义略有不同——例如，将其定义为我的 r * 的平滑版本，或定义为在冲击的影响自行消除后将产出保持在潜在水平的利率（Bomfim，1997；Laubach and Williams，2003）。这些研究人员随后使用各种计量方法来估算 r * ，其中最著名的是劳巴赫（Laubach）和威廉姆斯（Williams）的方法，其构建的序列比我定义的 r * 更加平滑。考虑到 r * 的缓慢变动，研究人员探索了替代的货币政策规则，如泰勒规则等，这些规则实际上是对短期 r * 偏离平滑 r * 做出的反应，或者等同于对产出偏离潜在产出，或通胀率偏离目标做出的反应。本书的重点是财政政策而非货币政策，因此，我对 r * 的定义是一种有效的简化，假设货币政策目标是使 r = r * 。
[2] 可以理解为金融中介机构向个人借款，并向他们提供安全利率，然后以风险利率向企业贷款。一个更现实但更复杂的形式化假设是，储蓄者可以在安全资产和风险资产之间做出选择，企业可以获得风险投资，并必须决定是否通过安全资产和风险资产组合来融资。结论是一样的，即风险或风险厌恶增加会导致风险溢价增加和安全利率下降。
[3] 中央银行首要职责并非如此。对于所有中央银行来说，它们的首要任务是保持低且稳定的通胀。许多中央银行（并非所有）还有第二项任务，即实际上将实际产出保持在接近潜在产出的水平。在合理的条件下，这两个目标基本是一致的，因为保持潜在产出稳定也会产生稳定的通胀，这种结果被称为“神作之合”（Blanchard and Gali，2007）。
[4] r * 很可能每月都会出现较大幅度的高频波动。显然，货币政策不可能与所有这些波动相匹配，甚至不知道是否应该这样做。但是，当我们观察一年或更长时间内 r 的变动时，我们有理由假定它们与 r * 的基本变动近似。在此，我将忽略这些复杂问题。这对货币政策的设计极为重要，而对财政政策则不太重要。
[5] 2016年巴克豪斯和博亚诺夫斯基（Backhouse and Boianovsky）对这一概念从汉森到萨默斯演变的精彩历史进行了回顾。
[6] 事实上，“（ r-g ）＜0”在经济学家中已经广为知晓。
[7] 关于债务动态的内容将在第四章中进行详细讨论。
[8] 参见Summers（2016，图17）。如果美联储没有受到零利率下限的约束，那么在应对全球金融危机时，美联储的利率降幅会更大，这一点我们将在下文讨论。
[9] 费雪效应表明，从长期来看，名义利率反映了实际中性利率加上平均通胀率。
[10] 这种情况也被称为“流动性陷阱”。当名义利率降至零时，货币数量（流动性）的增加不再对名义利率产生影响：由于债券和货币的利率相同（为零），人们持有货币还是债券是无差别的。因此，他们愿意在利率不变的情况下用债券换取货币。保罗·克鲁格曼（1998）是最早强调流动性陷阱的政策含义的研究者之一。他的论文侧重于货币政策而非财政政策的影响。本书的重点将更多地放在财政政策的影响上。
[11] 实际上，文中的名义利率、实际利率和预期通胀率之间的关系只是一种近似的情况，但如果预期通胀率较低，这种近似就是很好的：如果你持有的单期债券承诺你下一期的收益为1+ i 美元，那么你的预期实际收益由（1+ i ） P/P e 得出，其中 P 是本期的价格水平， P e （+1）是下一期的预期价格水平。注意 P/P e （+1）=1/（1+ π e ），其中 π e 是预期通胀率，这意味着以下关系：（1+ r ）=（1+ i ）/（1+ π e ），或等价的， r =（ i–π e ）/（1+ π e ）。文中的表达忽略了（1+ π e ），除非通胀率非常高，否则该值非常接近于1。
[12] 在写作本书时，有人担心美国的财政刺激政策可能会导致经济过热和通胀率在一段时间内上升，进而导致预期通胀率上升，降低实际利率的下限。第六章将讨论2021年财政刺激计划的影响。
[13] 10亿美元的1美元纸币需要约1129立方米的空间，相当于一个边长约为10.4米的正方形盒子。当然，银行不会用1美元纸币来存放现金。
[14] 中央银行工具箱中的另一个工具是量化宽松，即购买长期债券以降低其收益率。我将在书中的不同章节再次讨论量化宽松问题。与负利率一样，量化宽松也起到了一些作用，但还不足以让中央银行有足够的政策空间来应对 r * 的大幅下降。
[15] 2012年，美联储明确将通胀目标定为2%。选择这一目标被认为是为了平衡通胀的成本和收益，其中包括降低触及零利率下限的可能性。可以说，当时用于权衡成本和收益的大多数模型都低估了触及零利率下限的可能性。
[16] 肯尼斯·罗格夫（Kenneth Rogoff，2017）特别提出一种克服有效利率下限约束的方法，即禁止持有现金。如果我们只有银行存款，存款利率就可以是负的，而且不存在现金这样的约束存款利率下限的资产。这在现阶段并不可行，但未来也许会变得可行。