经济数学基础最新章节_冯其明著

第二节
函数

一、函数的概念

函数是一个基本且十分重要的概念.在同一自然现象、技术过程或社会过程中，往往同时有几个变量在变化着.这几个变量并不是孤立地在变，而是相互联系并遵循着一定的变化规律.下面先就两个变量的情形举几个例子.

【例1】出租汽车公司规定的收费标准如下：每千米0.5元，不足1千米按1千米计算，又5千米以内按5千米计算，当里程数在50千米以内时，租金 M （元）与里程数 x （千米）之间的对应关系为

当里程数在（0，50]内任意取一个值时，就会得到租金 M 的唯一一个对应值.

【例2】用横坐标表示时间 t ，用纵坐标表示气温 T ，若某地某日从0时到24时的气温曲线如图1-2-1.这条气温曲线就给出了气温 T 与时间 t 之间的对应关系.

图1-2-1

【例3】数学表达式

给出了变量 y 与 x 之间的对应关系.

以上所列举的例子，虽然具有不同的表示形式，如等式、表格、图形等，但它们却有一个共同的特性：都反映了在同一过程中两个相互依赖的变量，当其中一个变量在某数集内取一值时，按某种对应法则，另一个变量有唯一确定的值与之对应.变量之间的这种关系就是函数.

定义1.2.1 设 x 和 y 是两个变量，当变量 x 在某一非空数集 D 内任取一数值时，变量 y 按照某个确定的对应法则 f ，都有唯一确定的值与之对应，则称变量 y 是关于变量 x 的函数，记作

其中 x 称为自变量， y 称为因变量，自变量 x 的取值范围 D 称为函数的定义域.对于每一个 x 所对应的 y 称为函数 y = f （ x ）在 x 处的函数值，当 x 取遍 D 的各个数值时，对应函数值的全体组成的数集称为函数的值域.

函数的表示方法一般有三种：图示法、表格法和解析式法.其中图示法和解析式法是最常用的两种表示方法，常结合使用.由函数的定义可知，定义域与对应法则是确定函数的两要素.显然，如果两个函数的两要素相同，那么我们就认为这两个函数是同一个函数.

用解析式法表示的函数，函数的定义域就是使得式子有意义的一切实数组成的集合.而在实际问题中，函数的定义域应根据问题的实际意义确定.

【例4】求函数 f （ x ）= 的定义域.

解要使函数有意义，必须满足

所以函数的定义域为[4，+∞）.

函数若在其定义域的不同部分用不同的数学表达式表示，这种函数叫作分段函数.如例3就是一个分段函数，例1中的租金 M 与里程数 x 的关系也是分段函数.

注意（1）分段函数是用几个表达式表示的一个函数，而不是几个函数；

（2）分段函数定义域是各个取值区间的并集.

【例5】设函数

求 f （-π）， f （1）， f （3.5）及函数的定义域.

解因为-π∈[-4，1），所以 f （-π）=sin（-π）=0；

因为1∈[1，3），所以 f （1）=1；

因为3.5∈[3，+∞），所以 f （3.5）=5×3.5-1=16.5；

函数 f （ x ）的定义域为[-4，+∞）.

二、函数的几种特性

1.函数的奇偶性

定义1.2.2 设函数 y = f （ x ）的定义域 D 关于原点对称（即如果 x ∈ D ，则- x ∈ D ）；如果对于任意 x ∈ D ，都有 f （- x ）= f （ x ），则称函数 y = f （ x ）为偶函数；如果对于任意 x ∈ D ，都有 f （- x ）=- f （ x ），则称函数 y = f （ x ）为奇函数.

在平面直角坐标系中，偶函数的图像关于 y 轴对称，奇函数的图像关于原点中心对称.例如， y = x ² 是偶函数， y = x ³ 是奇函数， y =2 ^x 是非奇非偶函数.

2.函数的单调性

定义1.2.3 如果函数 y = f （ x ）对于区间 I 上的任意两点 x ₁ ， x ₂ ，当 x ₁ < x ₂ 时，都有 f （ x ₁ ）< f （ x ₂ ），则称函数 y = f （ x ）在区间 I 上单调增加；当 x ₁ < x ₂ 时，都有 f （ x ₁ ）> f （ x ₂ ），则称函数 y = f （ x ）在区间 I 上单调减少.

如果函数 y = f （ x ）在区间 I 上单调增加或者单调减少，则称区间 I 为 y = f （ x ）的单调区间， y = f （ x ）称为此区间上的单调函数.

例如， y = x ² 在（-∞，0）内单调减少，在（0，+∞）内单调增加，但在（-∞，+∞）内不是单调函数.

3.函数的周期性

定义1.2.4 设函数 y = f （ x ）的定义域为数集 D ，若存在一个常数 T ≠0，对于任意 x ∈ D ，都有 x ± T ∈ D ，并且使

成立，则称 y = f （ x ）为周期函数，其中 T 称为函数 y = f （ x ）的周期.习惯上，函数的周期是指它的最小正周期.

例如， y =sin x ， y =cos x 都是周期为2π的周期函数，而 y =tan x ， y =cot x 都是周期为π的周期函数.

4.函数的有界性

定义1.2.5 设函数 y = f （ x ）在区间 I 上有定义，如果存在一个常数 M >0，使得对于任意 x ∈ I 都有| f （ x ）|≤ M ，则称函数 y = f （ x ）在区间 I 上有界，也称 y = f （ x ）是区间 I 上的有界函数，否则称函数 y = f （ x ）在区间 I 上无界，也称 y = f （ x ）是区间 I 上的无界函数.

注意上述区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分.一般在不指明时，区间 I 则指函数的整个定义域.

例如，因为对任何实数 x ，恒有|sin x |≤1，所以函数 y =sin x 在其定义域内有界.

【例6】判断下列函数的奇偶性：

（1）；（2）；（3）

解（1）因为 f （ x ）的定义域为（-∞，+∞），且

所以 f （ x ）=3 x ² -2 x ⁴ +1为偶函数.

（2）因为 f （ x ）的定义域为（-∞，+∞），且

所以是奇函数.

（3） f （ x ）的定义域为（-∞，+∞），而 f （- x ）=5（- x ） ³ -2=-5 x ³ -2，

显然 f （- x ）≠ f （ x ）， f （- x ）≠- f （ x ），

所以 f （ x ）=5 x ³ -2是非奇非偶函数.

三、反函数

在函数关系中，自变量和因变量的地位往往是相对的.例如，在自由落体运动中，可以将距离 s 表示为时间 t 的函数： .如果将问题反过来，则问题变为知道下落的距离 s ，求下落的时间 t .显然，这时我们称是原来函数的反函数.

定义1.2.6 设函数 y = f （ x ）是定义在数集 D 上的一个函数，值域为 W .如果对于每一个 y ∈ W ，都有唯一确定的 x ∈ D 使关系式 y = f （ x ）成立.根据函数定义，这里的 y 就是自变量， x 就是因变量，这个新的函数就称为 y = f （ x ）的反函数，记作 .这个函数的定义域为 W ，值域为 D .相对于，原来的函数 y = f （ x ）称为直接函数.显然，一般情况下反函数的对应法则与直接函数的对应法则 f 是不一样的.