第一节
常量与变量

在观察现实世界中的自然现象、技术过程或社会过程时，常常会遇到两种不同的量：一种量在过程中不断变化，可取不同的数值，这种量称为变量；另一种量在过程中相对保持不变，只取一个固定的数值，这种量称为常量.本节我们将复习初等数学中的一些常用公式以及介绍一些其他相关知识，作为后续学习的基础.

一、预备知识

1.乘法公式

（1）（ a ± b ） ² = a ² ±2 ab + b ² ；

（2）（ a ± b ） ³ = a ³ ±3 a ² b +3 ab ² ± b ³ ；

（3）（ a + b ）（ a - b ）= a ² - b ² ；

（4）（ a ± b ）（ a ² ∓ ab + b ² ）= a ³ ± b ³ ；

（5）（ a + b ） ⁿ = + +…+ +…+

2.一元二次方程

（1）一般形式： ax ² + bx + c =0（ a ≠0）.

（2）根的判别式： Δ = b ² -4 ac ，则

①当 Δ >0时，方程有两个不等实根；

②当 Δ =0时，方程有两个相等实根；

③当 Δ <0时，方程无实根（有两个共轭复根）.

（3）求根公式：

（4）根与系数的关系：

3.不等式与不等式组

（1）一元一次不等式的解集：

①若 ax + b >0，且 a >0，则 x >- ；

②若 ax + b >0，且 a <0，则 x <- .

（2）一元一次不等式组的解集：设 a < b ，

①

②

③

④

（3）一元二次不等式的解集：

设 x ₁ ， x ₂ 是一元二次方程 ax ² + bx + c =0（ a ≠0）的根，且 x ₁ < x ₂ ，其根的判别式 Δ = b ² -4 ac .

4.指数与对数

（1）指数

① 定义1.1.1

正整数指数幂：

零指数幂： a ⁰ =1（ a ≠0）；

负指数幂：

有理指数幂： （ a >0， m ， n ∈ N *， m >1）.

②幂的运算法则

（2）对数

① 定义1.1.2

如果 a ^b = N （ a >0，且 a ≠1），那么， b 称为以 a 为底 N 的对数，记作log _a N = b .其中， a 称为底数， N 称为真数.以10为底的对数叫作常用对数，记作lg N ；以e=2.718 28…为底的对数叫作自然对数，记作log _e N ，或简记为ln N .

②性质

③运算法则

5.等差数列与等比数列

注 求和公式：

拆分公式：

6.排列、组合

（1）排列

① = n （ n -1）（ n -2）…（ n - m +1）；

②

③

（2）组合

式中 n ， m ∈ N ，且 m ≤ n .

规定

性质：①

②

7.点与直线

（1）平面上两点间距离

设平面直角坐标系内两点 P ₁ （ x ₁ ， y ₁ ）、 P ₂ （ x ₂ ， y ₂ ），这两点间的距离为

（2）直线方程

①直线的斜率 k =tan α （0°≤ α <180°， α ≠90°）.如果 P ₁ （ x ₁ ， y ₁ ）、 P ₂ （ x ₂ ， y ₂ ）是直线上两点，那么这条直线的斜率为

②直线的几种形式

点斜式： y - y ₀ = k （ x - x ₀ ）.

注 直线过点 P ₀ （ x ₀ ， y ₀ ），且斜率为 k .

斜截式： y = kx + b .

注 直线的斜率为 k ，且在 y 轴上的截距为 b .

一般式： Ax + By + C =0（ A ， B 不全为零）.

③几种特殊的直线方程

平行于 x 轴的直线方程： y = b （ b ≠0）；

平行于 y 轴的直线方程： x = a （ a ≠0）；

x 轴： y =0；

y 轴： x =0.

（3）点到直线的距离

平面内一点 P ₀ （ x ₀ ， y ₀ ）到直线 Ax + By + C =0的距离为

（4）两条直线的位置关系

设两条直线方程为

①两条直线平行的充要条件

②两条直线垂直的充要条件

8.三角函数

（1）角度与弧度的换算

（2）特殊角的三角函数值

（3）同角三角函数间的关系

①平方关系

②商的关系

③倒数关系

（4）三角公式

①加法公式

②倍角公式

③半角公式

④积化和差公式

⑤和差化积公式

⑥万能公式

⑦负角公式

9.三角形的边角关系

（1）直角三角形

设△ ABC 中，∠ C =90°，三边分别是 a ， b ， c ，面积为 S ，则有

① ∠ A +∠ B =90°；

② a ² + b ² = c ² ；

③sin A = ，cos A = ，tan A = ；

④ S = ab .

（2）斜三角形

设△ ABC 中，三边分别是 a ， b ， c ，面积为 S ，外接圆半径为 R ，则有

① ∠ A +∠ B +∠ C =180°；

② = = =2 R （正弦定理）；

③

④ S = ab sin C .

10.圆、球及其他旋转体

（1）圆

周长： C =2π r （ r 为半径）；

面积： S =π r ² .

（2）球

表面积： S =4π r ² ；

体积：

（3）圆柱

侧面积： S _侧 =2π rh （ h 为圆柱的高）；

全面积： S _全 =2π r （ r + h ）；

体积： V =π r ² h .

（4）圆锥

侧面积： S _侧 =π rl （ l 为圆锥的母线长）；

全面积： S _全 =π r （ r + l ）；

体积：

【例1】 已知 ，求 x 的值.

解 因为 ，

所以 x +3=2 x 或 x +3+2 x =15，

解得 x =3或 x =4.

二、集合

讨论变量间的数量关系时，必须要明确变量的取值范围.集合是表示取值范围的一种常用方法.我们约定用 N 表示自然数集， Z 表示整数集， R 表示实数集.一般地，数集常用区间或邻域的形式表示.常见的区间如下：

开区间：（ a ， b ）={ x | a < x < b }；

闭区间：[ a ， b ]={ x | a ≤ x ≤ b }；

半开半闭区间：[ a ， b ）={ x | a ≤ x < b }或（ a ， b ]={ x | a < x ≤ b }.

还有所谓的无限区间：

邻域也是一个经常用到的概念.事实上，邻域就是开区间.

定义1.1.3 设 δ 是任意一个正数，则开区间（ a - δ ， a + δ ）称为点 a 的 δ 邻域，记作 U （ a ， δ ），简称为 a 的邻域，即

点 a 称为这个邻域的中心， δ 称为这个邻域的半径.数轴上的表示如图1-1-1所示.

如果在 a 的 δ 邻域中，去掉点 a ，则称为 a 的 δ 去心邻域，或称为 a 的去心邻域.记作

【例2】 设 A ={ x | x ² + x -2=0}， B ={ x | x ² -4=0}，求 A ∩ B .

解 由于 A ={ x | x ² + x -2=0}={1，-2}， B ={ x | x ² -4=0}={-2，2}，

所以 A ∩ B ={1，-2}∩{-2，2}={-2}.

【例3】 设 A ={ x | x <4}， B ={ x | x ² -2 x -3≥0}，求 A ∪ B .

解 如图1-1-2所示.

因为 B ={ x | x ² -2 x -3≥0}={ x | x ≥3}∪{ x | x ≤-1}，

所以