第六节
函数的连续性

在实际生活和工程技术中有许多现象，如气温的变化、行星的运动、植物的生长、水的流动等都是连续变化的，这种现象在函数关系上的反映就是函数的连续性.

首先我们引入变量的增量.设变量 u 从它的初值 u ₀ 变化到终值 u ₁ ，终值与初值之差 u ₁ - u ₀ 称为变量 u 的增量，又叫作变量 u 的改变量，记作Δ u ，即Δ u = u ₁ - u ₀ .

注 （1）变量的改变量可以是正的，可以是负的，也可以是零.（2）对于函数 y = f （ x ），称Δ x = x ₁ - x ₀ 为自变量的改变量；Δ y = y ₁ - y ₀ 为函数的改变量.

如果函数 y = f （ x ）在点 x ₀ 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x ₀ 处有一改变量Δ x 时，函数 y = f （ x ）的相应改变量为

其几何意义如图2-6-1所示.

一、函数的连续性

引例 在图2-6-1中，有连续曲线 y = f （ x ）.如图2-6-2所示，有另一间断曲线 y = g （ x ）.

分析 曲线 y = f （ x ）在点 x ₀ 处不间断，而曲线 y = g （ x ）在点 x ₀ 处是间断的.那么，如何用数学语言来描述这种差异呢？对比这两个图形我们发现，图2-6-1中，当自变量 x 的改变量Δ x →0时，函数 y = f （ x ）相应的改变量Δ y →0；而图2-6-2中，当自变量 x 的改变量Δ x →0时，函数 y = g （ x ）相应的改变量Δ y 不能无限接近于0.于是我们可以得到函数连续性的定义.

定义2.6.1 设函数 y = f （ x ）在点 x ₀ 的某个邻域内有定义，当自变量的改变量Δ x 趋于零时，函数的相应改变量Δ y 也趋于零，即

则称函数 f （ x ）在点 x ₀ 处连续，称点 x ₀ 为函数 f （ x ）的连续点；否则就称函数 f （ x ）在点 x ₀ 处间断，这时点 x ₀ 称为函数 f （ x ）的间断点.

若设 x = x ₀ +Δ x ，则Δ x = x - x ₀ ，相应的函数 f （ x ）的改变量为

当Δ x →0时， x → x ₀ ，而当Δ y →0时， f （ x ）- f （ x ₀ ）→0，即 f （ x ）→ f （ x ₀ ），于是我们可得到函数在点 x ₀ 处连续的另一种定义形式.

定义2.6.2 函数 的某邻域内有定义，如果 ，则称函数 f （ x ）在点 处连续.

定义2.6.2表明，函数 f （ x ）在点 x ₀ 处连续，则必须满足以下三个条件：

（1） f （ x ₀ ）存在（就是说， f （ x ）在 x ₀ 处有定义）；

（2） 存在；

（3）

上述三个条件缺一不可.若有一个条件不成立，则点 x ₀ 就是 f （ x ）的间断点.

【例1】 用定义证明 y =5 x ² -3在给定点 x ₀ 处连续.

证明 若自变量在 x ₀ 处有一改变量Δ x ，则相应的函数改变量

而 = =0，因此 在给定点 处连续.

【例2】 考察函数 在点 x =0处的连续性.

解 因为 = ，又 f （0）=1，即

所以函数在点 x =0处连续.

由函数 f （ x ）左极限与右极限的定义，可得函数 f （ x ）在点 x ₀ 处左连续与右连续的定义.

若 ，则称函数 f （ x ）在点 处左连续；

若 ，则称函数 f （ x ）在点 处右连续.

定理2.6.1 函数 f （ x ）在点 x ₀ 处连续的充分必要条件：函数 f （ x ）在点 x ₀ 处既左连续，又右连续，即

【例3】 设函数 ，讨论 f （ x ）在点 x =0处的连续性.

解 f （0）=1， = ， = ，

因此，函数 f （ x ）在点 x =0处右连续，但不左连续，从而它在 x =0处不连续.

二、函数的间断点及其分类

由函数在某点连续的定义2.6.2可知，若函数 f （ x ）在点 x ₀ 处有下列三种情况之一，则点 x ₀ 就是 f （ x ）的一个间断点：

（1）函数 f （ x ）在点 x ₀ 处没有定义；

（2）极限 不存在；

（3）如果 存在，但 .

例如，函数 f （ x ）= 在点 x =-1处没有定义， x =-1就是函数 f （ x ）= 的一个间断点.

【例4】 考察函数 f （ x ）= 在点 x =0处的连续性.

解 因为 = =-1， = =1，所以 不存在，故 x =0是 f （ x ）的间断点，此时称 x =0为 f （ x ）的跳跃间断点.函数图像如图2-6-3所示.

【例5】 考察函数 在点 x =-2处的连续性.

解 = = =-4，而 f （-2）=4，显然， f （-2），所以 x =-2是 f （ x ）的一个间断点，此时称 x =-2为 f （ x ）的可去间断点.函数图像如图2-6-4所示.

【例6】 讨论函数 在点 x =0处的连续性.

解 f （0）=1，但 = ，因此 f （ x ）在点 x =0处不连续，此时称 x =0为 f （ x ）的无穷间断点.

根据函数在间断点附近的变化特性，可将间断点分为以下几种类型：

【例7】 已知函数 在点 x =0处连续，求 a 与 b 的值.

解 = =2， = ， f （0）= a .因为 f （ x ）在 x =0处连续，所以 = ，可得 a = b =2.

三、连续函数的运算

如果函数 y = f （ x ）在区间（ a ， b ）内任何一点都连续，则称 f （ x ）在区间（ a ， b ）内连续，或称 f （ x ）是（ a ， b ）内的连续函数；若函数 y = f （ x ）在区间（ a ， b ）内连续，且在点 a 右连续，在点 b 左连续，即 ， 成立，则称 f （ x ）在闭区间[ a ， b ]上连续.

定理2.6.2 设有复合函数 y = f （ u ）， u = φ （ x ），若 且 f （ u ）在点 a 处连续，则 = .

【例8】 求

解

【例9】 求

解 ，令 y =ln u ， .由于 且 y =ln u 在 u =e处连续，根据定理2.6.2， = = =ln e=1.

【例10】 求

解 令e ^x -1= t ，则 x =ln（1+ t ）.当 x →0时， t →0，于是

从例9、例10可知，当 x →0时，ln（1+ x ）~ x ，e ^x -1~ x .

定理2.6.3 设有函数 y = f （ u ）， u = φ （ x ）及 u ₀ = φ （ x ₀ ），若 φ （ x ）在 x ₀ 处连续， f （ u ）在 u ₀ 处连续，则复合函数 y = f [ φ （ x ）]在 x ₀ 处也连续.

结论 初等函数在其定义区间内都是连续的.

例如，求 的连续区间.

该函数的定义域是（-∞，-2）∪（-2，3）∪（3，+∞），故其连续区间是（-∞，-2），（-2，3）和（3，+∞）.

例如，求 时，由于该函数是初等函数，且它在 x =4处有定义，故由初等函数的连续性，有

四、闭区间上连续函数的性质

定理2.6.4 （最大值最小值定理）若函数 f （ x ）在闭区间[ a ， b ]上连续，则它在这个区间上一定有最大值和最小值，如图2-6-5所示.

注 对于在开区间（ a ， b ）内连续的函数或在闭区间[ a ， b ]上有间断点的函数，定理的结论不一定成立.例如，函数 f （ x ）= x ² 在开区间（0，1）内连续，但它在（0，1）内不存在最大值和最小值.

定理2.6.5 （介值定理）若函数 f （ x ）在闭区间[ a ， b ]上连续， m 和 M 分别为 f （ x ）在[ a ， b ]上的最小值与最大值，则对介于 m 和 M 之间的任一实数 c ，至少存在一点 ξ ∈（ a ， b ），使得 f （ ξ ）= c ，如图2-6-6所示.

推论 若函数 f （ x ）在[ a ， b ]上连续，且 f （ b ）与 f （ a ）异号，则至少存在一点 ξ ∈（ a ， b ），使得 f （ ξ ）=0，如图2-6-7所示.

几何意义：当连续曲线 y = f （ x ）的两个端点分别在 x 轴的上下两侧时，曲线与 x 轴至少有一个交点.

【例11】 证明方程 x =cos x 在 内至少有一个实根.

证明 设 f （ x ）= x -cos x ， f （ x ）在闭区间 上连续.因为 f （0）=-1， ，所以 f （0）· .由推论可知，在 内至少存在一点 ξ ，使得 f （ ξ ）=0，即 ξ -cos ξ =0，因此方程 x =cos x 在 内至少有一个实根. 7riWNpFY/S9nWEnwxQj5tEvZle4Oxtnzspw4nGKHrfLJe7PiaCopFamUKAXDVgpW