第五节
两个重要极限

一、函数极限存在的判定准则

定理2.5.1 （判定准则）如果函数 f （ x ）， g （ x ）， h （ x ）在 的某一去心邻域内满足 g （ x ）≤ f （ x ）≤ h （ x ），且 = ，那么 存在且等于 A .

函数极限存在的判定准则有时也称两边夹定理.

二、重要极限Ⅰ：

证明 因为 = = ，所以只讨论 x 由正值趋于零的情形.

作单位圆，如图2-5-1所示.设圆心角∠ BOA = x ，延长 OB 交过 A 点的切线于 D ，则

两边除以 sin x 得

即

而 ， ，由函数极限的两边夹定理，可得

又根据上面的讨论可知，

【例1】 求

解

【例2】 求

解 设 t = kx ，则当 x →0时， t = kx →0，于是

【例3】 求

解

一般地，重要极限 的推广形式为

【例4】 求

解

【例5】 求

解 设 t = x -π，则当 x →π时， t →0，所以

【例6】 求

解 设arc sin x = t ，则 x =sin t ，当 x →0时， t →0，所以

三、重要极限Ⅱ：

在第一节例2中，我们看到

可以证明，当 x 取实数趋向+∞或-∞时，函数 的极限都存在，且都等于e，因此，

【例7】 求

解 令 ，当 x →0时， t →∞，所以 =

【例8】 求

解法一 设 ，则当 x →∞时， t →0，所以

解法二

一般地，重要极限 的推广形式为

【例9】 求

解

【例10】 求

解

【例11】 求

解

四、等价无穷小量代换法则

定理2.5.2 （代换法则）设 时， ， ，且 存在，则 =

证明

该结论对于 x →∞， x →+∞， x →-∞， 的情形都成立.

注 常用的等价无穷小量：当 x →0时，sin x ~ x ，tan x ~ x ，arc sin x ~ x ，arc tan x ~ x ， ，ln（1+ x ）~ x ， .

【例12】 求

解 当 x →0时，sin3 x ~3 x ，tan2 x ~2 x ，

因此， =

【例13】 求

解

思考 下面的解法是错误的，为什么？ E5cRjLOQKjVSfAjbkBsspSyM0GSbPUeaYKH0tGZevj975l+rYwbarcqYqZldK1kj