第四节
极限的运算法则

本节主要介绍了极限的四则运算法则，并在此基础上讨论了有理函数和无理函数的极限.

定理2.4.1 若lim u （ x ）= A ，lim v （ x ）= B ，则

（1）lim[ u （ x ）+ v （ x ）]=lim u （ x ）+lim v （ x ）= A + B ；

（2）lim[ u （ x ）- v （ x ）]=lim u （ x ）-lim v （ x ）= A - B ；

（3）lim[ u （ x ）· v （ x ）]=lim u （ x ）·lim v （ x ）= A · B ；

（4）当l i m v （ x ）= B ≠0时，

前三个运算法则可以推广到有限多个函数的情况.

推论 设lim u （ x ）存在， C 为常数， n 为正整数，则有

（1）lim[ C · u （ x ）]= C ·lim u （ x ）；

（2）lim [ u （ x ）] ⁿ =[lim u （ x ）] ⁿ .

注 上述法则要求每个参与运算的函数的极限都存在.

【例1】 求

解

注 当 x → x ₀ 时，有理整函数（多项式）的极限等于该函数在 x ₀ 处的函数值，即

【例2】 求

解 因为

所以

注 当 时，有理函数 （其中 P （ x ）， Q （ x ）都是多项式）的极限等于该函数在 处的函数值（条件是分母不为零），即如果 ，则

如果有理函数分母的极限为0，则不能直接运用商的极限运算法则.请看下面几个例题.

【例3】 求

解 因为 -3×1+2=0，所以这里不能使用商的极限运算法则.而 =4×1-3=1≠0，这时我们可先求倒数的极限，即

由无穷小量与无穷大量的关系，可得

注 当遇到有理函数分母的极限为零、分子的极限不为零的极限问题时，可由无穷大量与无穷小量的关系来确定极限.

【例4】 求

解 因为

所以

注 当遇到分子、分母的极限均为零的有理函数的极限问题时，应先对分子、分母因式分解，约去趋于零的公因式，然后再求极限.

【例5】 求

解 因为 当 x →1时，分子、分母的极限均为零，

所以

注 当遇到分子、分母的极限均为零的无理函数的极限问题时，若分子或分母中含有根式，可先有理化，约去趋于零的公因式，然后再求极限.

【例6】 求

解 当 x →∞时，分子、分母都是无穷大，此时分子、分母的极限不存在，不能直接使用商的极限运算法则.

【例7】 求

解 因为

所以

注 当遇到分子、分母均为无穷大量的有理函数的极限问题时，先将分子、分母同时除以 x 的最高次幂，然后再求极限.

一般地，当 x →∞时，有以下结果：

【例8】 求

解 因为 和 不存在，所以不能直接用差的极限运算法则.

注 当遇到两个有理函数的差且这两个有理函数都是无穷大量的极限问题时，可先将它们通分化简，然后再求极限.

在自变量的某一变化过程中，若函数 f （ x ）与 g （ x ）都趋于0或∞，那么l i m 可能存在，也可能不存在.通常把这类极限称为“未定式”，简记为“ ”或“∞ ”.其他类型的未定式如“∞-∞” 等都可以先将其转化成“ ”或“∞ ”这两种基本类型，然后再求极限.

【例9】 求

解 当 x →∞时，分母是无穷大量，分子是有界函数，因此可利用无穷小量的性质求极限.

因为 ，所以当 x →∞时， 是无穷小量；又因为 ，所以sin x 为有界函数.由无穷小量的性质可得 lGfb6I4oxWHVCxCKkwK76HgDCFr+gqQR8dxyW5v5IR1o+F3xFszm9KzVM4omzAFx