第三节
无穷小量与无穷大量

在自变量的某个变化过程中，函数的绝对值无限变小或无限增大，则分别称其为无穷小量与无穷大量.下面我们来分别讨论无穷小量与无穷大量的概念.

一、无穷小量

1.无穷小量的概念

定义2.3.1 在自变量的某一变化过程中，以零为极限的函数称为无穷小量，简称无穷小，常用 α ， β ， γ 等表示.

例如，当 x →∞时， 是无穷小量；当 x →1时， 是无穷小量；当 时，cos x 是无穷小量.

注1 无穷小量不是很小的数，一个数无论它多么小都不是无穷小量.

注2 规定“0”是无穷小量.

注3 无穷小量与自变量的变化过程密切相关.如当 x →0时，sin x 是无穷小量，但当 时，sin x 就不是无穷小量.

【例1】 自变量在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小量：

（1）

（2）2 x -4；

（3）2 ^x ；

（4）

解 （1）因为 ，所以当 x →∞时， 为无穷小量；

（2）因为 ，所以当 x →2时，2 x -4为无穷小量；

（3）因为 ，所以当 x →-∞时， 为无穷小量；

（4）因为 ，所以当 x →+∞时， 为无穷小量.

2.无穷小量的性质

性质1 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量.

性质2 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量.

性质3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.

推论 常数与无穷小量的乘积是无穷小量.

【例2】 求

解 因为 ，且当 x →0时， x 是无穷小量，所以当 x →0时，它们的乘积 x sin 是无穷小量，即

定理2.3.1 函数 f （ x ）以常数 A 为极限的充要条件是 f （ x ）可以表示为常数 A 与一个无穷小量 α 之和，即

3.无穷小量的比较

在自变量的某一变化过程中，无穷小量虽然都是以零为极限，但不同的无穷小量趋于零的“速度”却不一定相同.为了研究这些不同的情况，我们给出下面的定义.

定义2.3.2 设 α 、 β 是在自变量同一变化过程中的两个无穷小量.

（1）若lim =0，则称 β 是比 α 高阶的无穷小量，记作 β = o （ α ）.

（2）若lim =∞，则称 β 是比 α 低阶的无穷小量.

（3）若lim = C （ C 是不等于零的常数），则称 α 与 β 是同阶无穷小量.

特别地，若 C =1，此时则称 α 与 β 是等价无穷小量，记作 α ~ β .

例如，当 x →∞时， ， ， 都是无穷小量.因为

所以当 x →∞时， 是比 高阶的无穷小量；又因为

所以当 x →∞时， 是比 低阶的无穷小量；又因为

所以当 x →∞时， 与 是同阶无穷小量.

二、无穷大量

定义2.3.3 在自变量的某一变化过程中，绝对值无限增大的函数称为无穷大量，简称无穷大，记作

例如，当 x →1时， 无限增大，所以当 x →1时， 是无穷大量，即

注1 无穷大量必定是变量，一个数无论它多么大都不是无穷大量.

注2 函数是否为无穷大量与自变量的变化过程有关，同一个函数在自变量的不同变化过程中，情况也不同.如当 x →∞时， x ² 是无穷大量，但当 x →0时， x ² 又是无穷小量.

注3 lim f （ x ）=∞表示在自变量的某一变化过程中，函数 f （ x ）的绝对值无限增大的变化趋势，并不是指函数 f （ x ）的极限存在.

当 x → x ₀ （或 x →∞）时，若函数 f （ x ）从某一时刻起为正数并趋于无穷大，则称这时的函数 f （ x ）为正无穷大，记作

当 x → x ₀ （或 x →∞）时，若函数 f （ x ）从某一时刻起为负数并趋于无穷大，则称这时的函数 f （ x ）为负无穷大，记作

例如，

三、无穷大与无穷小的关系

定理2.3.2 在自变量的同一变化过程中，无穷大量的倒数一定是无穷小量；非零无穷小量的倒数一定是无穷大量.

例如，当 x →∞时， x -1是无穷大量，而 是无穷小量；当 x →0时，tan x 是无穷小量，而 =cot x 是无穷大量.

【例3】 自变量在怎样的变化过程中，下列变量为无穷大量：

（1）ln x ；

（2）2 ^x .

解 （1）因为当 x →+∞时，ln x →+∞，即当 x →+∞时，ln x 为正无穷大量；当 时，ln x →-∞，即当 时，ln x 为负无穷大量，所以当 x →+∞及 时，ln x 都是无穷大量.

（2）因为 ，所以当 x →+∞时， 为无穷小量，因此 为 x →+∞时的无穷大量. gM70WWi5zyGNP4HZmTSOFEKfwLIdlmmf681DzwMsML3ObqJYhXKjxSU/hx7mBcAQ