第二节
函数的极限

数列极限是函数极限的一种特殊类型.本节将讨论函数的极限，主要研究两种情形：一种是自变量 x 的绝对值无限增大（ x →∞）时的函数极限，另一种是自变量 x 趋于某个常数 x ₀ （ x → x ₀ ）时的函数极限.

一、当 x →∞时，函数 f （ x ）的极限

【例1】 考察当 x →∞时，函数 的变化趋势.

分析 为了考察当 x 趋于无穷大时函数 的变化趋势，我们列出其函数值，如表2-2-1，并作出其图像，如图2-2-1所示.

由表2-2-1及图2-2-1可见，当自变量 x 取正值并无限增大时，函数 y = 的曲线越来越靠近 x 轴，其函数值无限接近于零.于是我们就说，当 x → + ∞时，函数 y = 以0为极限，并记作 .

同时，当自变量 x 取负值且其绝对值无限增大时，函数曲线越来越靠近 x 轴，其函数值也无限接近于零.于是称当 x →-∞时，函数 以0为极限，并记作 .

综合以上两种情况，当 x 的绝对值无限增大（即 x →∞）时，函数 的极限是0，记作 .

【例2】 考察当 x →∞时，函数 f （ x ）= 的变化趋势.

分析 当 x →∞（包括 x →-∞， x →+∞）时，函数 f （ x ）= 无限接近于常数1，如图2-2-2所示.一般地，我们有如下定义.

定义2.2.1 如果当 x 的绝对值无限增大时，函数 f （ x ）无限接近于常数 A ，则称当 x 趋于无穷大时，函数 f （ x ）以 A 为极限，记作

上面讨论了当 x →∞时，函数 f （ x ）的极限，有时我们还需要单独讨论当 x →-∞和 x →+∞时，函数 f （ x ）的变化趋势.

定义2.2.2 若 x 取负值且其绝对值无限增大时，函数 f （ x ）无限接近于常数 A ，则称当 x 趋于负无穷大时，函数 f （ x ）以 A 为极限，记作

定义2.2.3 若 x 取正值且无限增大时，函数 f （ x ）无限接近于常数 A ，则称当 x 趋于正无穷大时，函数 f （ x ）以 A 为极限，记作

注1 常量函数的极限就是它本身，即

注2 一个函数是否存在极限，除了与函数本身有关外，还与自变量的变化过程密切相关.例如，当 x →-∞时，函数 f （ x ）=2 ^x 的极限是0，但当 x →+∞时，函数值无限增大，即 不存在.

定理2.2.1 极限 存在且等于 A 的充要条件是极限 与 都存在且等于 A ，即

【例3】 求

解 考察函数 ，如图2-2-3所示.

当 x →+∞时， f （ x ）的函数值无限接近于常数1；

当 x →-∞时， f （ x ）的函数值同样无限接近于常数1.

所以，

【例4】 求 和

解 当 x →+∞时，函数 f （ x ）=arc tan x 无限接近于常数 ，所以 ，如图2-2-4所示.

同理，当 x →-∞时，函数 f （ x ）=arc tan x 无限接近于常数 所以 .

而 不存在.

二、当 x → x ₀ 时，函数 f （ x ）的极限

【例5】 考察当 x →1时，函数 的变化趋势.

分析 首先观察函数 的图像，如图2-2-5所示.函数在 x =1处无定义.当 x ≠1时，函数 = x +1.当 x →1时， f （ x ）→2.

我们把 x →1时函数值的变化趋势用表2-2-2列出.

从表2-2-2中我们可以看出，当 x →1时， f （ x ）→2，即 .一般地，有如下定义.

定义2.2.4 设函数 y = f （ x ）在点 x ₀ 的某个去心邻域内有定义，如果当 x 趋于 x ₀ 时，函数 f （ x ）无限接近于常数 A ，则称当 x 趋于 x ₀ 时，函数 f （ x ）以 A 为极限，记作

由定义可知，当 x → x ₀ 时，函数 f （ x ）的极限是否存在，与函数 f （ x ）在点 x ₀ 处有无定义以及在点 x ₀ 处的函数值无关.

我们需要记住两个特殊的极限： （ C 是常数）； .

上面讨论了当 x → x ₀ 时，函数 f （ x ）的极限.有时，我们还需要分别讨论当 x 从 x ₀ 左侧或右侧趋于 x ₀ 时，函数 f （ x ）的极限.

定义2.2.5 设函数 y = f （ x ）在点 x ₀ 左侧的区间（ x ₀ - δ ， x ₀ ）内有定义，如果当 x 从 x ₀ 的左侧趋于 x ₀ 时，函数 f （ x ）无限接近于常数 A ，则称当 x 趋于 x ₀ 时，函数 f （ x ）的左极限为 A ，记作

定义2.2.6 设函数 y = f （ x ）在点 x ₀ 右侧的区间（ x ₀ ， x ₀ + δ ）内有定义，如果当 x 从 x ₀ 的右侧趋于 x ₀ 时，函数 f （ x ）无限接近于常数 A ，则称当 x 趋于 x ₀ 时，函数 f （ x ）的右极限为 A ，记作

定理2.2.2 极限 存在且等于 A 的充要条件是 与 都存在且等于 A ，即

【例6】 设函数 ，试讨论极限 和 是否存在.

解 如图2-2-6所示，可以看出，当 时， f （ x ）→-1，当 时， f （ x ）→1，即

当 x →0时，函数 f （ x ）的左、右极限都存在，但不相等，故由定理2.2.2知， 不存在.

【例7】 设 ，试判断 是否存在.

解 先分别求 f （ x ）当 x →1时的左、右极限：

由定理2.2.2可知

注 以上我们讨论了六种类型的函数极限，即

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

为了统一地论述它们共有的运算法则，在不特别指出是其中的哪一种极限时，我们将用lim f （ x ）或lim y 泛指其中的任何一种. WnOFh2M4O2FsdaLS7iizdKEta3DkfAIKkpEtOMT4pnOdWX+nhu6rDYJu7063A1mD