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如果按照某一对应法则，有第一个数 y 1，第二个数 y 2，……这样依次排列着，并且对于任何一个正整数 n ，都有一个确定的数 y n 与之对应，那么这列有次序的数
就叫作数列，记作{ y n }.数列中的每一个数叫作数列的项，第 n 项 y n 叫作数列的一般项.例如：
（1）
（2）
（3）
（4）
都是数列，它们的一般项依次为：（1）
；（2）
；（3）
；（4）
数列{ y n }就是由自变量为正整数 n 的函数
当自变量 n 依次取1，2，3，…，这样一切正整数时，对应的函数值依次排列而成.
那么对于数列，当正整数 n 无限增大时（即 n →∞），对应的 y n = f （ n ）是否能无限接近于某个确定的常数呢？
下面我们在直角坐标系中画出上述四个数列的图像，观察当 n 无限增大时（即 n →∞）数列项的变化趋势，如图2-1-1~2-1-4所示.
图2-1-1
图2-1-2
图2-1-3
图2-1-4
上述四个数列都具有相同的变化特征，即当项数 n 无限增大时，它们的项都无限接近于一个确定的常数.为了刻画数列的这种变化趋势，我们引入数列极限的定义.
定义2.1.1 对于数列{ y n }，如果当项数 n 无限增大时，对应的项 y n 无限接近于常数 A ，则称常数 A 是数列{ y n }的极限，或称当 n 趋于无穷大时，数列{ y n }以 A 为极限，记作
这时称数列{ y n }是收敛的.如果这样的常数不存在，就称数列{ y n }没有极限，或称数列{ y n }是发散的.
注
常数数列收敛于它本身，即
（
C
为常数）.
显然，数列
（1）
当
n
无限增大时，对应的项
无限接近于常数0，即
.
（2）
，
当
n
无限增大时，对应的项
无限接近于常数0，即
.
（3）
当
n
无限增大时，对应的项
无限接近于常数1，即
.
（4）
当
n
无限增大时，对应的项
无限接近于常数1，即
.
【例1】 观察下列数列的变化趋势，指出它们的极限：
（1）
（2）
，…，
，…
解
（1）将数列
的各项列于表2-1-1.
表2-1-1
从表2-1-1中的数据可以看出，当
n
无限增大时，数列
的项无限接近于常数0，即
.
（2）我们在直角坐标系中画出数列的图像，如图2-1-5所示.
从图2-1-5可见，当
n
无限增大时，数列
的项无限接近于常数1，即
.
图2-1-5
注 并不是所有数列都有极限.例如，数列 y n =2 n ，当 n →∞时，对应的项 y n 也无限增大，不会无限接近于某个确定的常数，所以它是发散的.再如，数列 y n =（-1） n ，当 n 无限增大时，数列的项要么是1，要么是-1，不可能向某一个确定的常数无限接近，所以它也是发散的.
常用的三个极限：
（1）
（
C
为常数）；
（2）
；
（3）
性质1 （唯一性）收敛数列的极限是唯一的，即
若
，又
，则必有
A
=
B
.
性质2 （有界性）收敛数列必有界，即
若
，则必存在常数
M
>0，使得数列
中的任意项都满足
.
数列有界只是数列收敛的必要条件，也就是说，收敛数列必有界，但有界数列却未必收敛.例如，数列 y n =（-1） n 有界，但它是发散的.而当一个数列不满足有界这个必要条件时，这个数列就一定发散.
如果存在一个实数 A ，使得 n →∞时， y n → A ，这时称数列{ y n }是收敛的.下面我们不加证明地直接给出一个数列收敛的判定准则.
定理2.1.1 单调有界数列必收敛.
此定理的含义：单调递增有上界或单调递减有下界的数列都是收敛的.
【例2】
讨论数列
的敛散性.
解 表2-1-2直观地给出了 n 的部分取值及数列{ y n }对应的项.
表2-1-2
从表2-1-2中可以看出，数列{ y n }是单调递增的，而且随着 n 的逐渐增大，{ y n }递增的速度越来越缓慢，所以我们猜测数列{ y n }是有界的.
事实上，可以证明数列{
y
n
}单调递增且有上界，由定理2.1.1给出的判定准则可知，此数列
必存在极限，此极限是数学中一个重要常数，称为欧拉数或纳皮尔常数，用字母e来表示，即
其中常数e是个无理数，其近似值为e≈2.718 281 828 459 045….