第一节
数列的极限

一、数列的概念

如果按照某一对应法则，有第一个数 y 1，第二个数 y 2，……这样依次排列着，并且对于任何一个正整数 n ，都有一个确定的数 y _n 与之对应，那么这列有次序的数

就叫作数列，记作{ y _n }.数列中的每一个数叫作数列的项，第 n 项 y _n 叫作数列的一般项.例如：

（1）

（2）

（3）

（4）

都是数列，它们的一般项依次为：（1） ；（2） ；（3） ；（4）

数列{ y _n }就是由自变量为正整数 n 的函数

当自变量 n 依次取1，2，3，…，这样一切正整数时，对应的函数值依次排列而成.

那么对于数列，当正整数 n 无限增大时（即 n →∞），对应的 y _n = f （ n ）是否能无限接近于某个确定的常数呢？

下面我们在直角坐标系中画出上述四个数列的图像，观察当 n 无限增大时（即 n →∞）数列项的变化趋势，如图2-1-1~2-1-4所示.

上述四个数列都具有相同的变化特征，即当项数 n 无限增大时，它们的项都无限接近于一个确定的常数.为了刻画数列的这种变化趋势，我们引入数列极限的定义.

定义2.1.1 对于数列{ y _n }，如果当项数 n 无限增大时，对应的项 y _n 无限接近于常数 A ，则称常数 A 是数列{ y _n }的极限，或称当 n 趋于无穷大时，数列{ y _n }以 A 为极限，记作

这时称数列{ y _n }是收敛的.如果这样的常数不存在，就称数列{ y _n }没有极限，或称数列{ y _n }是发散的.

注 常数数列收敛于它本身，即 （ C 为常数）.

显然，数列

（1）

当 n 无限增大时，对应的项 无限接近于常数0，即 .

（2） ，

当 n 无限增大时，对应的项 无限接近于常数0，即 .

（3）

当 n 无限增大时，对应的项 无限接近于常数1，即 .

（4）

当 n 无限增大时，对应的项 无限接近于常数1，即 .

【例1】 观察下列数列的变化趋势，指出它们的极限：

（1）

（2） ，…， ，…

解 （1）将数列 的各项列于表2-1-1.

从表2-1-1中的数据可以看出，当 n 无限增大时，数列 的项无限接近于常数0，即 .

（2）我们在直角坐标系中画出数列的图像，如图2-1-5所示.

从图2-1-5可见，当 n 无限增大时，数列 的项无限接近于常数1，即 .

注 并不是所有数列都有极限.例如，数列 y _n =2 ⁿ ，当 n →∞时，对应的项 y _n 也无限增大，不会无限接近于某个确定的常数，所以它是发散的.再如，数列 y _n =（-1） ⁿ ，当 n 无限增大时，数列的项要么是1，要么是-1，不可能向某一个确定的常数无限接近，所以它也是发散的.

常用的三个极限：

（1） （ C 为常数）；

（2） ；

（3）

二、数列极限的性质

性质1 （唯一性）收敛数列的极限是唯一的，即

若 ，又 ，则必有 A = B .

性质2 （有界性）收敛数列必有界，即

若 ，则必存在常数 M >0，使得数列 中的任意项都满足 .

数列有界只是数列收敛的必要条件，也就是说，收敛数列必有界，但有界数列却未必收敛.例如，数列 y _n =（-1） ⁿ 有界，但它是发散的.而当一个数列不满足有界这个必要条件时，这个数列就一定发散.

三、数列极限存在的判定准则

如果存在一个实数 A ，使得 n →∞时， y _n → A ，这时称数列{ y _n }是收敛的.下面我们不加证明地直接给出一个数列收敛的判定准则.

定理2.1.1 单调有界数列必收敛.

此定理的含义：单调递增有上界或单调递减有下界的数列都是收敛的.

【例2】 讨论数列 的敛散性.

解 表2-1-2直观地给出了 n 的部分取值及数列{ y _n }对应的项.

从表2-1-2中可以看出，数列{ y _n }是单调递增的，而且随着 n 的逐渐增大，{ y _n }递增的速度越来越缓慢，所以我们猜测数列{ y _n }是有界的.

事实上，可以证明数列{ y _n }单调递增且有上界，由定理2.1.1给出的判定准则可知，此数列 必存在极限，此极限是数学中一个重要常数，称为欧拉数或纳皮尔常数，用字母e来表示，即

其中常数e是个无理数，其近似值为e≈2.718 281 828 459 045…. vOaNNs3ev9kUwEc92YTqSPQMcC/GdmNUUoMH+qJggNNlo00N4FxIcAYC3TuHcWrk