第四节
常用经济函数

分析研究经济活动，就会涉及许多经济量，如产品的产量、成本，商品的需求量、价格，生产经营的收入、利润等.它们之间的关系在数学上就是各种函数，我们把这些函数统称为经济函数.

一、总成本函数、平均成本函数

总成本是工厂生产某种产品所需的全部费用.产品的总成本一般分为两部分：一部分是随产品产量变化而变化的，如所需的原材料费用、能源消耗费、工人工资等，称为可变成本；另一部分是在一定条件下不随产品产量变化而变化的，称为固定成本，如厂房和设备的折旧费、管理人员的工资、广告费等.

设生产产品的固定成本为 C ₀ ，可变成本为 C ₁ ，总成本为 C ，则

又设 q 为某种产品的产量，则可用 C ₁ = C ₁ （ q ）、 C = C （ q ）分别表示生产这种产品的可变成本、总成本与产量 q 的函数关系.一般地，可变成本、总成本函数是单调增加的函数.

因此，总成本函数为

这里，用 表示生产 q 个单位产品的平均成本，则平均成本函数为

【例1】 已知某种产品的总成本函数为

求平均成本函数及生产100单位该产品时的总成本、平均成本.

解 由题意，平均成本函数为

生产100单位该产品时的总成本为

平均成本为

二、利润函数、平均利润函数

生产者生产的产品售出后的收入用 R 表示.生产者销售产品得到的总收入取决于该产品的销售量和销售价格.设产品销售量为 q ，由于销售价格 p 是销售量的函数，因此可表示为

那么，收入函数就是

生产者销售产品得到的总收入扣除总成本后的剩余部分就是利润，用 L 表示，则

既然总成本、收入都是 q 的函数，那么利润也是 q 的函数，即利润函数为

相应的平均利润函数为

显然，（1）当 L （ q ）>0时，这时处于盈利状态；（2）当 L （ q ）<0时，这时处于亏损状态；（3）当 L （ q ）=0时，这时处于盈亏平衡状态，满足 L （ q ）=0的 q ₀ 称为盈亏平衡点.

【例2】 若某厂每天生产 q 件产品的总成本函数为 C （ q ）=2.5 q +300（单位：元）.假设每天能卖出150件产品，为了不亏本，单位售价至少应定为多少元？

解 为了不亏本，必须使每天卖出150件产品的总收入等于总成本.设此时的价格为 p 元，则有

解得

因此，价格至少应定为4.5元，才能不亏本.

【例3】 若某商店以每件 a 元的价格销售某种商品，但如果顾客一次购买50件以上，则超出50件的部分以每件0.9 a 元的优惠价格出售.试将一次成交后的销售收入 R 表示成销售量 q 的函数.

解 由题意可知，一次售出50件以内的收入为

一次售出50件以上的收入为

因此，一次成交后的销售收入为

【例4】 某商品的成本函数与收入函数分别为 C （ q ）=21+2 q ， R （ q ）=8 q .求：（1）销量为4时的总利润及平均利润；（2）销量为10时是盈利还是亏损.

解 （1） L （ q ）= R （ q ）- C （ q ）=8 q -（21+2 q ）=6 q -21，则

所以，销量为4时的总利润为3，平均利润为 .

（2） L （10）=39>0，所以销量为10时盈利.

三、需求函数、供给函数

在一定条件下，商品的市场需求是由这种商品的价格来确定的.设 Q 表示某种商品的需求量， p 表示这种商品的价格，则用

表示这种商品的需求函数.

一般来说，某种商品的需求量 Q 随价格的降低而增加，随价格的升高而减少，所以需求函数是单调减函数.需求函数 Q = Q （ p ）的反函数，就是价格函数，记作 p = p （ Q ）.

另一方面，商品的市场供应量同样受商品价格的制约.设 S 表示某种商品的供给量， p 表示这种商品的价格，则用

表示这种商品的供给函数.

一般来说，商品价格越高，生产厂家就越愿意提供产品，因此供给函数是单调增加的函数.

需求函数和供给函数密切相关.这里不妨假设需求函数、供给函数都为线性函数.在同一直角坐标系中，这两条直线相交于点（ p ₀ ， Q ₀ ）处， p ₀ 就是供需平衡价格，对应的需求量或供给量称为平衡数量（如图1-4-1所示）.

当 p > p ₀ 时，商品“供大于求”；当 p < p ₀ 时，商品“供不应求”. rfQ5+HXfUrVMFu7CIhB1uWa0pxbX8TkUL6WgJJ+VCL25iC2D+r86jeqSorjd0NrY