第三节
初等函数

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，统称为基本初等函数.除反三角函数外，其他函数在以前都已学过.本节先扼要复习三角函数，再介绍反三角函数的基本概念与性质，并将基本初等函数的定义域、值域、图像和主要特性归结于一列表，方便后续学习.

一、反三角函数

常用的三角函数有正弦、余弦、正切、余切函数.正弦函数 y =sin x 与余弦函数 y =cos x 的定义域均为（-∞，+∞），周期都是2π.因为sin（- x ）=-sin x ，cos（- x ）=cos x ，所以正弦函数 y =sin x 是奇函数，余弦函数 y =cos x 是偶函数.又因为|sin x |≤1，|cos x |≤1，所以它们都是有界函数.图像如图1-3-1和1-3-2所示.

正切函数 y =tan x 的定义域为{ x | x ∈ R ， x ≠ k π+ ， k ∈ Z }，余切函数 y =cot x 的定义域为{ x | x ∈ R ， x ≠ k π， k ∈ Z }.它们的周期都是π，都是奇函数.图像如图1-3-3和1-3-4所示.

此外，在后面的学习过程中，我们还要经常用到正割函数 y =sec x 和余割函数 y =csc x .因为

所以，我们常利用这种倒数关系来讨论正割、余割函数.它们都是以2π为周期的周期函数，并且在开区间 内都是无界函数.

我们先来讨论正弦函数 y =sin x 的反函数.由于正弦函数 y =sin x 在其定义域（-∞，+∞）内不具有单调性，这时一定存在这样的一些 y ∈[-1，1]，对于这其中的某一个 y ，有不止一个 x ∈（-∞，+∞）使关系式 y =sin x 成立.因此，正弦函数 y =sin x 在（-∞，+∞）内不存在反函数.若将讨论范围限制在闭区间 上，则 y =sin x 在 上单调递增，这时存在反函数，其反函数的定义域为[-1，1]，值域是 .

将 y =sin x 在区间 上的反函数称为反正弦函数

，记作 x =arc sin y ，按习惯写为 y =arc sin x .即正弦函数

的反函数为反正弦函数

它们的图像关于直线 y = x 对称.反正弦函数在其定义域上单调增加，如图1-3-5所示.

类似地，将 y =cos x 在区间[0，π]上的反函数称为反余弦函数，记作 y =arc cos x x ∈[-1，1]，反余弦函数在其定义域上单调减少，如图1-3-6所示.

将 y =tan x 的反函数称为反正切函数，记作 y =arc tan x x ∈（-∞，+∞），反正切函数在其定义域内单调增加，如图1-3-7所示.

将 y =cot x x ∈（0，π）的反函数称为反余切函数，记作 y =arc cot x x ∈（-∞，+∞），反余切函数在其定义域内单调减少，如图1-3-8所示.

反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数统称为反三角函数.

由定义可得下列一些基本关系：

（1）sin（arc sin x ）= x ， x ∈[-1，1]；

（2）arc sin（sin x ）= x ， ；

（3）cos（arc cos x ）= x ， x ∈[-1，1]；

（4）arc cos（cos x ）= x ， x ∈[0，π]；

（5）tan（arc tan x ）= x ， x ∈（-∞，+∞）；

（6）arc tan（tan x ）= x ， ；

（7）cot（arc cot x ）= x ， x ∈（-∞，+∞）；

（8）arc cot（cot x ）= x ， x ∈（0，π）.

另外，还可证明得到以下一些常用结论：

（1）arc cos（- x ）=π-arc cos x ， x ∈[-1，1]；

（2）arc cot（- x ）=π-arc cot x ， x ∈（-∞，+∞）；

（3）arc sin x +arc cos x = ， x ∈[-1，1]；

（4）arc tan x +arc cot x = ， x ∈（-∞，+∞）.

【例1】 求下列函数的定义域：

（1） y =arc sin（- x ² + x ）；

（2） y =arc tan

解 （1）因为-1≤- x ² + x ≤1，

由- x ² + x ≤1，可知对任意 x ∈（-∞，+∞）恒成立，

由 ，得 ，

所以定义域为

（2）因为1- x ≥0，可得 x ≤1，

所以定义域为（-∞，1].

【例2】 求下列各式的值：

（1）

（2）

（3）arc tan ；

（4）arc cot（- ）.

解 （1）因为 ，且

所以

（2） =-arcsin =- .

（3）因为 ，且

所以 .

（4）因为 ，且 ∈（0，π），

所以 ，

所以arccot（- ）=π-arccot

二、基本初等函数的图像及主要性质

基本初等函数在数学学习中至关重要，必须熟练掌握.现把基本初等函数的图像及主要性质列于下表，以方便学习掌握.

三、复合函数

在实际问题中经常会出现这样的情形：一个变量依赖于另一个变量，而另一个变量又依赖于第三个变量.因此，第一个变量实际上可由第三个变量确定.

先举一个例子.设 y = u ² ， u =sin x ，以sin x 代替第一式中的 u ，得 y =sin ² x .我们就说，函数 y =sin ² x 是由 y = u ² ， u =sin x 复合而成的复合函数.

定义1.3.1 设函数 y = f （ u ），而 u = φ （ x ），且函数 u = φ （ x ）的值域包含在函数 y = f （ u ）的定义域内，那么通过 u 联系的 y 也是 x 的函数，我们称 y 是 x 的复合函数，记作 y = f [ φ （ x ）]，其中 u 叫作中间变量.

例如，由函数 与 u = x +5复合而成的复合函数为 .为了使 u 的值域包含在 的定义域[0，+∞）之内，必须有 x ∈[-5，+∞），即复合函数 的定义域应为[-5，+∞）.

复合函数不仅可以由两个函数复合而成，也可以由两个以上的函数复合而成.例如， y =arc cos u ， u = 可以复合成复合函数 ，这里的 u ， v 都称为中间变量.

显然，对于给定函数的复合，只要依次把中间变量的表达式代入函数中，就能形成只有一个自变量的复合函数.

应当指出，有些函数是不一定能复合成一个复合函数的.例如， y =arc sin u ， u = x ² +2在实数范围内就不能复合.因为对于任何 x 的值， u 的值都不在 y =arc sin u 定义域[-1，1]的范围内.

另一方面，我们也可把一个较复杂的函数看成由几个简单函数复合而成.为方便讨论，有时需要对复合函数进行分解.复合函数的分解，应当遵循“由表及里、逐层分解”的原则.

【例3】 分解函数 y =cos ³ （2e ^x -3）成简单函数.

解 把这个函数写成 y =[cos（2e ^x -3）] ³ ，因此令 u =cos（2e ^x -3），有 y = u ³ .而对于 u =cos（2e ^x -3），令 v =2e ^x -3，有 u =cos v .函数 v =2e ^x -3是简单函数，不需再分解了.这样， y =cos ³ （2e ^x -3）可分解为 y = u ³ ， u =cos v ， v =2e ^x -3.

【例4】 指出下列函数是由哪些函数复合而成的：

（1） y =（cos x ） ⁴ ；

（2） y =e ^-x ；

（3）

解 （1） y =（cos x ） ⁴ 是由 y = u ⁴ ， u =cos x 复合而成的；

（2） y =e ^-x 是由 y =e ^u ， u =- x 复合而成的；

（3） 是由 ， u =arc tan v ， v =2 x 复合而成的.

复合函数的分解是研究复杂函数的基础，是经常使用的有效方法.

定义1.3.2 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合，并且能够用一个解析式表示的函数称为初等函数.

例如， ， y =sin 等函数都是初等函数，而分段函数

不是初等函数，因为它在定义域内并不是用一个解析式表示的. I1/+mP7xQ8OsxLUpnptbF1t/MzZ1qdPdWIXsD0mKsMQOreSEug6tAe06UMJ0a8es