1.1 随机事件与概率

为了研究某些现象内在的规律性，会在一定条件下对研究对象进行观测，这类观测被称为试验。在每次的试验中，某一现象 A 可能发生，也可能不发生，并且只有发生或不发生这两种可能性。我们将发生了的现象或试验结果 A 称为事件（event），并简记为事件 A 。

有些事件在每次试验中必然会发生，称作 必然事件 （certain event）；而有些事件在每次试验中都不可能发生，称作 不可能事件 （impossible event）。必然事件和不可能事件都是具有确定性的试验结果。但有一些试验，其结果存在多种可能性，不能明确会出现哪种结果。此类试验称为随机试验，其结果称为 随机事件 （random event），通常用 A , B , C ,…表示。必然事件和不可能事件可以视为随机事件的两种特例。有的随机试验只有两种不同的可能结果。例如抛一枚硬币，只有出现字面或徽面两种不同的可能结果。有的随机试验有多种不同的可能结果。如果这些结果是不能再分的，则称它们为 基本事件 （elementary event）。例如掷一颗骰子，可出现1,2,3,4,5,6各种点数，每一种点数都是一个基本事件。若干个基本事件可以组合成 复合事件 （compound event）。一个随机试验的全部基本事件的集合称为 基 本事件空间 （space of elementary event），简称基本空间，以Ω表示。

随机事件是基本空间的子集，所以事件之间的关系及运算与集合之间的关系及运算相一致。下面给出概率论中事件的关系与运算。

如果事件 A 出现必然导致事件 B 出现，则称事件 B 包含 （contain）事件 A ,记为 B ⊃ A 。

如果事件 B 包含事件 A ,且事件 A 也包含事件 B ,则称事件 A 与事件 B 相等 （equivalent），记为 A = B 。

如果事件 A 与事件 B 不能同时发生，则称事件 A 与事件 B 为 互不相容 （exclusive）的，或互斥的，可记为 A ∩ B =∅（∅为空集）。基本事件是两两互不相容的。

若在一次试验中，事件 A , B 有且仅有一个发生，则称 A 与 B 为对立事件（complementary events）或 互逆 事件。 A 的对立事件记为 A 。

设 A ₁ , A ₂ ,…, A _n 为Ω中的 n 个事件，若其中任意两个事件都互不相容，但每次试验能且只能出现其中之一，则称 A ₁ , A ₂ ,…, A _n 为一互不相容 事件完备群 （complete events group），简称完备群。任意事件与它的对立事件构成一个最简单的完备群。另外，基本空间本身就是事件的完备群。

事件的运算有下列几种。

1）事件之和：设 A , B 为Ω中的两个事件，则 A 、 B 中至少出现一个构成的事件称为事件之 和 （union），记为 A + B 或 A ∪ B 。事件之和的运算可推广到有限个事件的情况。 表示事件 A ₁ , A ₂ ,…, A _n 至少有一个发生。

2）事件之积：事件 A 与事件 B 同时发生构成的事件称为事件 A 与事件 B 的 积 （intersection），记为 AB 或 A ∩ B 。同样， 表示事件 A ₁ , A ₂ ,…, A _n 同时发生。

3）事件之差：设 A , B 为Ω中的两个事件，由 A 发生而 B 不发生构成的事件，称为事件 A 与 B 的 差 （difference），记为 A B 。如晴夜不超过10天与晴夜不超过8天的差是晴夜为9天或10天。

试验中随机事件的发生是不确定的，但随机事件发生的可能性是有大小之分的，这就需要定量地描述随机事件发生的可能性。为了度量事件出现的可能性大小，我们引入一个数量指标“概率”，它描述了随机事件出现的频繁程度。我们知道，必然事件在试验条件下必然会出现，因此它出现的可能性最大，可令其概率为1;不可能事件在试验条件下一定不会出现，因为它出现的可能性最小，可令其概率为0;而随机事件在试验条件下可能出现也可能不出现，它出现的概率在0与1之间变化。这样规定概率的取值域不仅在逻辑上是合理的，而且也是有其客观基础的。通常把事件 A 在试验条件下出现的 概率 （probability）记为 P （ A ）。

尽管概率的意义是简单而明确的，但要回答某一事件出现的概率是多大，却不是很容易的。下面我们给出常见的两种概率的定义。

1）古典概率：若一个随机试验只有有限种可能的结果，则称这一试验为古典型的。如果一古典型试验共有 n 种结果，其中 k 种结果是有利于事件 A 的，则事件 A 发生的概率为

这就是 古典概率 （classical probability）的定义。

下面通过一个例子说明古典型试验的概率计算。

例 1.1 :在1,2,…,9这9个自然数中，求任取一个是奇数的概率。

解 ：设以 A 表示抽到的数为奇数的事件，有利于 A 的结果是5,总的事件数是9,则

在计算古典型试验的概率时，最重要的是要正确分析所有可能的结果及有利于事件 A 的可能结果，为此常需要利用排列组合理论。

古典概率只适用于具有有限个等可能结果的随机试验。但就大多数实际随机现象来说，其可能的试验结果往往不是有限的，而且实际上也无法判断各种结果是不是等可能的，因而就不能用古典概率的方法来计算概率，故而引入统计概率的定义。

2）统计概率：在相同条件下进行了 n 次试验，其中现象 A 发生了 m 次，则记事件 A 出现的频率为 m/n 。随着试验次数 n 的增加，事件 A 出现的频率将趋于稳定，所稳定的常数叫做理论频率。这个理论频率就作为在给定条件下事件 A 的概率的近似值，这就是 统计概 率 （statistical probability）的定义。理论频率要求 n 充分大，而实际上 n 总是有限的，所以更确切地说概率是频率的极限，即

下面我们讨论概率的运算。概率的运算是指由简单事件的概率计算较复杂事件的概率，包括概率的加法、减法与乘法。

1）概率加法定理：若 A , B 为互不相容事件，则

这个定理表达了概率的重要特性，即可加性。它从大量的实践中概括出来，又成了我们研究概率的基础。从概率的定义出发，这个定理的证明是很容易的，这里从略。对此定理进行推广则有，若事件 A ₁ , A ₂ ,…, A _n 互不相容，则

必须强调，上面的概率加法定理仅适用于互不相容事件。对于一般的事件，则有

下面我们加以具体证明：

由于 A + B = A + , A 与 为互不相容事件，所以

又因为 B = BA + , BA 与 也为互不相容事件，故

（1.5）式也可推广到有限多个事件的情形。若 A ₁ , A ₂ ,…, A _n 为某试验中的 n 个事件，则

若各事件互不相容，则（1.6）式退化为（1.4）式。

例 1.2 :箱内有10个灯泡，其中3个是废品,7个是正品。从中任取4个，求全是正品或只有一个废品的概率。

解 ：以 A 表示全是正品的事件, B 表示只有一个废品的事件，显然 A 与 B 互不相容，而4个全是正品或只有一个废品的事件为 A + B 。由（1.3）式有

下面介绍一下利用对立事件计算概率的方法。因为 A 与 构成互不相容事件完备群，因此, A + = U 。故有

于是得到

许多情况下 比 P （ A ）容易计算，这时利用这一关系就比较方便。

2）概率减法定理：若事件 A 包含事件 B ,则

推广到任意两个事件 A 、 B ,则（1.7）式变为

在（1.5）式和（1.8）式中，都含有事件 A 、 B 之积的概率 P （ AB ），这就涉及概率的乘法。在讨论概率乘法定理之前，先介绍条件概率的概念。

在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率，称作事件 A 对于事件 B 的 条件概率 （conditional probability），记作 P （ A|B ）。下面通过一个例子说明条件概率与一般概率的区别。

例 1.3 :箱内有3个白球,2个红球，甲乙两人依次从中取一球，甲先取。如已知甲取得（a）白球，（b）红球，分别在甲取后放还和不放还两种情况下，试求乙取得红球的概率。

解 ：以 A 表示乙取得红球的事件, B ₁ 表示甲取得白球的事件, B ₂ 表示甲取得红球的事件。在甲取后放还的情况下，不管甲取的是红球还是白球，在乙取球时，箱内球的成分没有变化。因此，乙取到红球的概率 P （ A ）=2/5。

若甲取后不放回，当甲取的是白球时，箱中还有2个白球,2个红球。因此，乙取到红球的概率是 =2/4;但若甲取的是红球，则在乙取球时，箱中有3个白球,1个红球，于是他取得红球的概率是 =1/4。

应该注意，不管什么事件的概率，总是与“一定条件”相联系的。从这个意义上说，凡是概率都是有条件的。这里所说的条件概率，指的是在一般条件之外，另外附加的条件下的概率。

有了条件概率的基础，下面讨论概率的乘法定理。

如果在 n 次试验中，事件 B 发生 n _B 次，事件 A 、事件 B 同时发生 n _AB 次，则有

而

所以

并称它为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率。由此可以得到概率的乘法公式。

3）概率乘法定理：若 P （ A ）>0,则有

同理可以推得

概率的乘法公式可以推广到多个事件 A ₁ , A ₂ ,…, A _n 的积的概率

如果事件 A 的发生并不受事件 B 是否发生的影响，即

则称事件 A 与事件 B 相互独立 （mutually independent）。

对于互相独立的事件 A 和 B ,概率的乘法定义为

反之，如果事件 A 和事件 B 的概率满足（1.13）式和（1.14）式中的任意一个，则事件 A 和 B 就是互相独立的事件。

若事件 A 与事件 B 相互独立，不难证明 A 与 ， 与 B 及 与 都是相互独立的。

对于任意有限多个事件，存在下面两点结论：

（1）若 n 个事件 A ₁ , A ₂ ,…, A _n 中任意两个事件都满足（1.14）式，则称它们是两两独立的。

（2）若 n 个事件 A ₁ , A ₂ ,…, A _n 相互独立，则有

例 1.4 : A , B , C 三个天文台同时独立预报太阳活动。 A 台报对的概率 P （ A ）=0.8, B 台报对的概率 P （ B ）=0.7, C 台报对的概率 P （ C ）=0.6。求在一次太阳活动预报中，至少有一台报对的概率。

解 ：至少有一个台报对的事件为 A + B + C ,因为它们是可以同时报对的，因此由（1.6）式

而各天文台的预报是相互独立的，因此有 P （ AB ）= P （ A ） P （ B ）, P （ BC ）= P （ B ） P （ C ）, P （ AC ）= P （ A ） P （ C ）, P （ ABC ）= P （ A ） P （ B ） P （ C ），于是

此题也可以利用对立事件的概率来求解，有兴趣的读者可自行完成。

全概率公式 ：若事件 A 能且只能与互不相容事件完备群 B ₁ , B ₂ ,…, B _n 之一同时发生，则有

这就是任一随机事件 A 的 全概率公式 （total probability formula）。

证明 ：由于 B ₁ , B ₂ ,…, B _n 是事件的完备群, A 总是伴随其中的一个同时发生。所以，事件 A 可以表示成下列互不相容事件 AB ₁ , AB ₂ ,…, AB _n 之和。由概率加法定理和乘法定理可得

贝叶斯定理 ：若事件 A 只能与互不相容事件完备群 B ₁ , B ₂ ,…, B _n 之一同时发生，则在 A 发生的条件下，事件 B _i 发生的概率为

证明 ：由条件概率的定义有

再利用全概率公式（1.17），便可得（1.18）。该公式也称为贝叶斯公式（Bayes formula）。

例 1.5 :对以往观测数据分析的结果表明，当仪器调整良好时，观测数据正常的概率为0.9;而当仪器发生某一故障时，数据正常的概率为0.3;每晚仪器开启时，仪器调整良好的概率为0.85。试求某日晚上第一个数据正常时，仪器调整良好的概率是多少？

解 ：设 A 为事件“数据正常”, B 为事件“仪器调整良好”。已知 =0.9, =0.3, P （ B ）=0.85, =0.15,需求的概率为 。由贝叶斯公式

例中，概率0.85是根据以往数据分析得到的，叫做先验概率；而在得到信息以后再重新加以修正的概率（0.944）叫做后验概率。有了后验概率就可对仪器的运行情况有更进一步的了解。 /9DhSFKIh+lJxmTBgvj8jlA37N1Kf+bbMH7qKYo0AKymc7odDPDrdxO4+NLKS+aN