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1.1 随机事件与概率

为了研究某些现象内在的规律性,会在一定条件下对研究对象进行观测,这类观测被称为试验。在每次的试验中,某一现象 A 可能发生,也可能不发生,并且只有发生或不发生这两种可能性。我们将发生了的现象或试验结果 A 称为事件(event),并简记为事件 A

有些事件在每次试验中必然会发生,称作 必然事件 (certain event);而有些事件在每次试验中都不可能发生,称作 不可能事件 (impossible event)。必然事件和不可能事件都是具有确定性的试验结果。但有一些试验,其结果存在多种可能性,不能明确会出现哪种结果。此类试验称为随机试验,其结果称为 随机事件 (random event),通常用 A , B , C ,…表示。必然事件和不可能事件可以视为随机事件的两种特例。有的随机试验只有两种不同的可能结果。例如抛一枚硬币,只有出现字面或徽面两种不同的可能结果。有的随机试验有多种不同的可能结果。如果这些结果是不能再分的,则称它们为 基本事件 (elementary event)。例如掷一颗骰子,可出现1,2,3,4,5,6各种点数,每一种点数都是一个基本事件。若干个基本事件可以组合成 复合事件 (compound event)。一个随机试验的全部基本事件的集合称为 本事件空间 (space of elementary event),简称基本空间,以Ω表示。

随机事件是基本空间的子集,所以事件之间的关系及运算与集合之间的关系及运算相一致。下面给出概率论中事件的关系与运算。

如果事件 A 出现必然导致事件 B 出现,则称事件 B 包含 (contain)事件 A ,记为 B A

如果事件 B 包含事件 A ,且事件 A 也包含事件 B ,则称事件 A 与事件 B 相等 (equivalent),记为 A = B

如果事件 A 与事件 B 不能同时发生,则称事件 A 与事件 B 互不相容 (exclusive)的,或互斥的,可记为 A B =∅(∅为空集)。基本事件是两两互不相容的。

若在一次试验中,事件 A , B 有且仅有一个发生,则称 A B 为对立事件(complementary events)或 互逆 事件。 A 的对立事件记为 A

A 1 , A 2 ,…, A n 为Ω中的 n 个事件,若其中任意两个事件都互不相容,但每次试验能且只能出现其中之一,则称 A 1 , A 2 ,…, A n 为一互不相容 事件完备群 (complete events group),简称完备群。任意事件与它的对立事件构成一个最简单的完备群。另外,基本空间本身就是事件的完备群。

事件的运算有下列几种。

1)事件之和:设 A , B 为Ω中的两个事件,则 A B 中至少出现一个构成的事件称为事件之 (union),记为 A + B A B 。事件之和的运算可推广到有限个事件的情况。 表示事件 A 1 , A 2 ,…, A n 至少有一个发生。

2)事件之积:事件 A 与事件 B 同时发生构成的事件称为事件 A 与事件 B (intersection),记为 AB A B 。同样, 表示事件 A 1 , A 2 ,…, A n 同时发生。

3)事件之差:设 A , B 为Ω中的两个事件,由 A 发生而 B 不发生构成的事件,称为事件 A B (difference),记为 A B 。如晴夜不超过10天与晴夜不超过8天的差是晴夜为9天或10天。

试验中随机事件的发生是不确定的,但随机事件发生的可能性是有大小之分的,这就需要定量地描述随机事件发生的可能性。为了度量事件出现的可能性大小,我们引入一个数量指标“概率”,它描述了随机事件出现的频繁程度。我们知道,必然事件在试验条件下必然会出现,因此它出现的可能性最大,可令其概率为1;不可能事件在试验条件下一定不会出现,因为它出现的可能性最小,可令其概率为0;而随机事件在试验条件下可能出现也可能不出现,它出现的概率在0与1之间变化。这样规定概率的取值域不仅在逻辑上是合理的,而且也是有其客观基础的。通常把事件 A 在试验条件下出现的 概率 (probability)记为 P A )。

尽管概率的意义是简单而明确的,但要回答某一事件出现的概率是多大,却不是很容易的。下面我们给出常见的两种概率的定义。

1)古典概率:若一个随机试验只有有限种可能的结果,则称这一试验为古典型的。如果一古典型试验共有 n 种结果,其中 k 种结果是有利于事件 A 的,则事件 A 发生的概率为

这就是 古典概率 (classical probability)的定义。

下面通过一个例子说明古典型试验的概率计算。

1.1 :在1,2,…,9这9个自然数中,求任取一个是奇数的概率。

:设以 A 表示抽到的数为奇数的事件,有利于 A 的结果是5,总的事件数是9,则

在计算古典型试验的概率时,最重要的是要正确分析所有可能的结果及有利于事件 A 的可能结果,为此常需要利用排列组合理论。

古典概率只适用于具有有限个等可能结果的随机试验。但就大多数实际随机现象来说,其可能的试验结果往往不是有限的,而且实际上也无法判断各种结果是不是等可能的,因而就不能用古典概率的方法来计算概率,故而引入统计概率的定义。

2)统计概率:在相同条件下进行了 n 次试验,其中现象 A 发生了 m 次,则记事件 A 出现的频率为 m/n 。随着试验次数 n 的增加,事件 A 出现的频率将趋于稳定,所稳定的常数叫做理论频率。这个理论频率就作为在给定条件下事件 A 的概率的近似值,这就是 统计概 (statistical probability)的定义。理论频率要求 n 充分大,而实际上 n 总是有限的,所以更确切地说概率是频率的极限,即

下面我们讨论概率的运算。概率的运算是指由简单事件的概率计算较复杂事件的概率,包括概率的加法、减法与乘法。

1)概率加法定理:若 A , B 为互不相容事件,则

这个定理表达了概率的重要特性,即可加性。它从大量的实践中概括出来,又成了我们研究概率的基础。从概率的定义出发,这个定理的证明是很容易的,这里从略。对此定理进行推广则有,若事件 A 1 , A 2 ,…, A n 互不相容,则

必须强调,上面的概率加法定理仅适用于互不相容事件。对于一般的事件,则有

下面我们加以具体证明:

由于 A + B = A + , A 为互不相容事件,所以

又因为 B = BA + , BA 也为互不相容事件,故

(1.5)式也可推广到有限多个事件的情形。若 A 1 , A 2 ,…, A n 为某试验中的 n 个事件,则

若各事件互不相容,则(1.6)式退化为(1.4)式。

1.2 :箱内有10个灯泡,其中3个是废品,7个是正品。从中任取4个,求全是正品或只有一个废品的概率。

:以 A 表示全是正品的事件, B 表示只有一个废品的事件,显然 A B 互不相容,而4个全是正品或只有一个废品的事件为 A + B 。由(1.3)式有

下面介绍一下利用对立事件计算概率的方法。因为 A 构成互不相容事件完备群,因此, A + = U 。故有

于是得到

许多情况下 P A )容易计算,这时利用这一关系就比较方便。

2)概率减法定理:若事件 A 包含事件 B ,则

推广到任意两个事件 A B ,则(1.7)式变为

在(1.5)式和(1.8)式中,都含有事件 A B 之积的概率 P AB ),这就涉及概率的乘法。在讨论概率乘法定理之前,先介绍条件概率的概念。

在事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的概率,称作事件 A 对于事件 B 条件概率 (conditional probability),记作 P A|B )。下面通过一个例子说明条件概率与一般概率的区别。

1.3 :箱内有3个白球,2个红球,甲乙两人依次从中取一球,甲先取。如已知甲取得(a)白球,(b)红球,分别在甲取后放还和不放还两种情况下,试求乙取得红球的概率。

:以 A 表示乙取得红球的事件, B 1 表示甲取得白球的事件, B 2 表示甲取得红球的事件。在甲取后放还的情况下,不管甲取的是红球还是白球,在乙取球时,箱内球的成分没有变化。因此,乙取到红球的概率 P A )=2/5。

若甲取后不放回,当甲取的是白球时,箱中还有2个白球,2个红球。因此,乙取到红球的概率是 =2/4;但若甲取的是红球,则在乙取球时,箱中有3个白球,1个红球,于是他取得红球的概率是 =1/4。

应该注意,不管什么事件的概率,总是与“一定条件”相联系的。从这个意义上说,凡是概率都是有条件的。这里所说的条件概率,指的是在一般条件之外,另外附加的条件下的概率。

有了条件概率的基础,下面讨论概率的乘法定理。

如果在 n 次试验中,事件 B 发生 n B 次,事件 A 、事件 B 同时发生 n AB 次,则有

所以

并称它为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率。由此可以得到概率的乘法公式。

3)概率乘法定理:若 P A )>0,则有

同理可以推得

概率的乘法公式可以推广到多个事件 A 1 , A 2 ,…, A n 的积的概率

如果事件 A 的发生并不受事件 B 是否发生的影响,即

则称事件 A 与事件 B 相互独立 (mutually independent)。

对于互相独立的事件 A B ,概率的乘法定义为

反之,如果事件 A 和事件 B 的概率满足(1.13)式和(1.14)式中的任意一个,则事件 A B 就是互相独立的事件。

若事件 A 与事件 B 相互独立,不难证明 A B 都是相互独立的。

对于任意有限多个事件,存在下面两点结论:

(1)若 n 个事件 A 1 , A 2 ,…, A n 中任意两个事件都满足(1.14)式,则称它们是两两独立的。

(2)若 n 个事件 A 1 , A 2 ,…, A n 相互独立,则有

1.4 : A , B , C 三个天文台同时独立预报太阳活动。 A 台报对的概率 P A )=0.8, B 台报对的概率 P B )=0.7, C 台报对的概率 P C )=0.6。求在一次太阳活动预报中,至少有一台报对的概率。

:至少有一个台报对的事件为 A + B + C ,因为它们是可以同时报对的,因此由(1.6)式

而各天文台的预报是相互独立的,因此有 P AB )= P A P B ), P BC )= P B P C ), P AC )= P A P C ), P ABC )= P A P B P C ),于是

此题也可以利用对立事件的概率来求解,有兴趣的读者可自行完成。

全概率公式 :若事件 A 能且只能与互不相容事件完备群 B 1 , B 2 ,…, B n 之一同时发生,则有

这就是任一随机事件 A 全概率公式 (total probability formula)。

证明 :由于 B 1 , B 2 ,…, B n 是事件的完备群, A 总是伴随其中的一个同时发生。所以,事件 A 可以表示成下列互不相容事件 AB 1 , AB 2 ,…, AB n 之和。由概率加法定理和乘法定理可得

贝叶斯定理 :若事件 A 只能与互不相容事件完备群 B 1 , B 2 ,…, B n 之一同时发生,则在 A 发生的条件下,事件 B i 发生的概率为

证明 :由条件概率的定义有

再利用全概率公式(1.17),便可得(1.18)。该公式也称为贝叶斯公式(Bayes formula)。

1.5 :对以往观测数据分析的结果表明,当仪器调整良好时,观测数据正常的概率为0.9;而当仪器发生某一故障时,数据正常的概率为0.3;每晚仪器开启时,仪器调整良好的概率为0.85。试求某日晚上第一个数据正常时,仪器调整良好的概率是多少?

:设 A 为事件“数据正常”, B 为事件“仪器调整良好”。已知 =0.9, =0.3, P B )=0.85, =0.15,需求的概率为 。由贝叶斯公式

例中,概率0.85是根据以往数据分析得到的,叫做先验概率;而在得到信息以后再重新加以修正的概率(0.944)叫做后验概率。有了后验概率就可对仪器的运行情况有更进一步的了解。 GUWuiGzsbt1u6AvwSCJZd/KmDWqKcFpoei6D9gdrhABQWSzDL0LE/4jp9Z0PNScf

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