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第2章
地形图的数学基础

地形图内容详尽,精度要求很高。为了保证地形图具有良好的精度,对地形图的数学基础,特别是地图投影的要求很高:方向正确,没有角度变形,以保证图上景物形状与实地相似;地物之间的距离和关系位置正确,以便于量测。那么,选用什么样的投影才能满足这些要求呢?

2.1 投影和分带

2.1.1 投影

我国大、中比例尺的地形图采用等角横切椭圆柱投影,即高斯-克吕格投影。小比例尺地形图(1∶100 万)采用等角圆锥投影。

高斯-克吕格投影的原理:假设用一空心椭圆柱横套在地球椭球体上,使椭圆柱轴通过地心,椭圆柱面与椭球体面某一经线相切;然后,用解析法使地球椭球体面上经纬网保持角度相等的关系并投影到椭圆柱面上;最后,将椭圆柱面切开展平,就得到投影后的图形。

由于这个投影方式是德国数学家、物理学家、天文学家高斯于 19 世纪 20 年代(1825年)拟定,后经德国大地测量学家克吕格于 1912 年对投影公式加以补充而得到的,故称高斯-克吕格投影。

经过该方法投影后的经纬网图形可看出以下 3 条规律。

①中央经线和赤道为垂直相交的直线,将其作为直角坐标系的坐标轴,也是经纬网图形的对称轴。

②经线为凹向对称于中央经线的曲线;纬线为凸向对称于赤道的曲线,且与经线曲线正交,没有角度变形。

③中央经线上没有长度变形,其余经线的长度略大于球面实际长度,离中央东西两侧越远,椭圆柱面与椭球面越不接触,其变形越大(纬线为 0°,经差为±3°,长度变为 1.38%)。

2.1.2 分带

为了控制变形,采用分带投影的办法,规定 1∶2.5 万~ 1∶50 万地形图采用经差 6°分带;1∶1 万及更大的比例尺地形图采用 3°分带,以保证必要的精度。

1)6°分带法

从格林威治 0°经线(本初子午线),自西向东按经差每 6°为一个投影带,全球共分 60 个投影带,依次编号为 1—60,我国位于东经 72°—东经 136°,共包括 11 个投影带,即 13—23 带。

2)3°分带法

从东1°30′经算起,自西向东按经差 3°为一个投影带,全球共分 120 个带,我国位于 24—45 带。

2.2 地形图上的坐标网

为了在地图上迅速而准确地指示目标位置和确定方向、距离、面积等,高斯-克吕格投影的地图上绘有两种坐标网:地理坐标网(经纬网)和直角坐标网(方里网)。

2.2.1 地理坐标网

规定在 1∶1 万~ 1∶10 万比例尺的地形图上,每幅图的内图廓为经纬线,而图内不加绘经纬线,经纬度数值注记在内图廓的四角。在内外图廓间,还绘有黑白相间或仅用针线表示经差、纬差 1′的分度带。需要时将对应点相连接,就可构成很密的经纬网。

在 1∶25 万~ 1∶100 万地形图上,直接绘出经纬网,有时还绘有加密经纬网的加密分割线。纬度注记在东西内外图廓间,经度注记在南北内外图廓间。

2.2.2 直角坐标网
1)坐标系的建立和起算

直角坐标网是以每一投影带的中央经线为纵轴( x 轴),赤道作为横轴( y 轴),纵坐标以赤道为 0 起算,赤道以北为正、以南为负。我国位于北半球,纵坐标都是正值。横坐标本来应以中央经线为 0 起算,以东为正、以西为负,但因坐标数有正有负,不便于使用,所以,又规定凡横坐标值均加 500 km即等于将纵坐标轴向西移 500 km,横坐标从此起算则均为正值。

2)直角坐标网的构成

以千米为单位,按相等的间距,作平行于纵、横轴的若干直线,便构成了图面上的平面直角坐标网,又叫方里网。

3)坐标的注记

纵坐标注记在东西内外图廓间,由南向北增加(四位数);横坐标注记在南北内外图廓间,由西向东增加。近地图四角注有全部坐标数。横坐标前两位为带号,其余只注最后两位千米数。

规定用 1∶10 万和更大的比例尺地形图绘制方里网,其间隔规定如表 2.1 所示。

表 2.1 不同比例尺在图上方里网的间隔及其所对应的实地长度

2.2.3 相邻投影带图幅的拼接

由于高斯-克吕格投影的经线是向投影带的中央经线收敛的,它和坐标纵线有一定的夹角,叫子午线收敛角。所以,当相邻两带的图幅拼接时,方里网就形成了折角,这就给拼接使用地图带来很大的困难。因此,规定在一定的范围内把邻带的坐标延伸到本带的图幅上,这就使某些图幅上有两个方里网系统,一个是本带的,一个是邻带的。为了区别,图廓内绘有本带方里网,图廓外绘邻带方里网的小段,需要使用时才连绘出来,这样相邻图幅就具有统一的直角坐标系统。

绘有邻带方里网的区域范围是沿经线呈带状分布的,所以叫重叠带。

重叠带的实质就是将投影带的范围扩大,即西带向东带延伸 30′,东带向西带延伸 15′。

2.3 地形图的分幅与编号

为了保管和使用方便,每一种基本比例尺地形图都规定有一定的图廓大小,每一幅图都具有相应的号码标志,这项工作叫地形图的分幅和编号。

地形图的分幅方法有两种:一是矩形分幅,二是经纬线分幅。我们国家基本比例尺地形图采用经纬线分幅,也叫梯形分幅。

2.3.1 1∶100 万地形图的分幅和编号

分幅:经差,6°;纬差,4°。

由经度 180°开始按经差 6°自西向东将全球分成 60 纵行,用 1,2,…,60 表示。

由赤道开始,按纬差 4°将南北半球各分成 22 横列,依次用字母A,B,…,V表示。

编号:每幅 1∶100 万地形图的编号是由列号和行号所组成,列号在前,行号在后,中间连一短线,如北京所在图幅,J-50(北京 116°05′15″E,39°50′10″N)。

2.3.2 1∶50 万;1∶25 万;1∶10 万地形图分幅和编号
1)1∶50 万

按经差 3°、纬差 2°分幅,每幅 1∶100 万图含 4 幅,代号A,B,C,D,例J-50-A。

2)1∶25 万

按经差 1°30′、纬差 1°分幅,每幅 1∶100 万图含 16 幅,代号a,b,c,d,例J-50-A-b(编号 1∶50 万幅后加上代号)。

3)1∶10 万

按经差 30′、纬差 20′分幅,每幅 1∶100 万图含 144 幅,代号 1,2,3,…,144,例J-50-5(编号在 1∶100 万幅编号后加上自然序数代号)。

2.3.3 1∶5 万、1∶2.5 万、1∶1 万分幅编号
1)1∶5 万

按经差 15′、纬差 10′分幅,每幅 1∶10 万图含 4 幅,编号是在 1∶10 万幅后加上自己的序号A,B,C,D,例J-50-5-B。

2)1∶2.5 万

按经差 7′30″、纬差 5′分幅,每幅 1∶5 万图含 4 幅,代号为 1,2,3,4,例J-50-5-B-4。

3)1∶1 万

按经差3′45″、纬差2′30″分幅,每幅1∶10 万图含64 幅,代号为(1),(2),(3),…,(64),编号为在 1∶10 万地形图的图号后面分别加上各自的代号,例J-50-5-(24)。

我国基本比例尺地形图的分幅和编号系统是以 1∶100 万地形图为基础,在其图号后面增加一个或数个代号的标志而成的。 2d5Xn6jdN2v5JMxZ4hzX9qfEB/VhFTrzk2pMKwSt1grfif7DCnqKUMiRH+ziL+kQ

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