3.3 Q矩阵理论

Q矩阵理论是描述属性及属性间层级关系、建立属性和题目之间关联，以及确定学生知识结构的理论体系。该理论的先驱Tatsuoka认为，Q矩阵理论旨在确定学生不可直接观察的知识结构，并运用可以直接得到的观察反应模式表示这些知识结构。学生的知识结构是由属性组成的向量表征。Q矩阵理论主要包括：属性层级结构（Attribute Hierarchy Structure，AHS）、邻接矩阵（Adjacency matrix，Q）、可达矩阵（Reachability matrix，Q）、缩减矩阵（Reduced Q-matrix，Qr）、测验Q矩阵（Test Q-matrix，Qt）、知识状态（Knowledge State，KS）等。以图3.1中B结构为例，对Q矩阵理论进行阐述。

图3.1B表示某测验界定的6个属性存在发散型层级关系，根据该结构，可以得到邻接矩阵A阵，它是描述属性间直接关系的K*K维方阵（K为属性个数），即表征了具有先后顺序的属性间的关系，如表3.1左侧所示。由A阵与同阶单位阵I的和A+I，通过Warshall算法可得到可达矩阵R阵，它是描述属性间直接、间接和自身关系的矩阵，如表3.1右侧所示。

在得到 R 阵之后，可通过删除法（Tatsuoka，1995）或扩张算法（杨淑群 等，2008）推出所有可能存在的项目类别，即该结构下的测验能够编制出来的所有题目类型，如表3.2所示。其中，行代表属性，列代表典型题目类，该矩阵即为缩减矩阵Qr。在该属性结构中，最多只能出15种类型的题目。

在实际编制测验时，不要求涉及所有类型的题目，且通常来说，编制一道同时考查较多属性的题目较为困难。因此，就会存在某类型题目出现多次的情况，例如同时存在多道类型 2[110000]的题目，将这种实际测验所表示的 Q 阵记作 Qt 阵。丁树良等人（2012）证明过，若采用0-1评分方式且属性对认知任务所起的作用是非补偿连接的，则期望反应模式集合与知识状态集合建立起双射（bijective）的充分必要条件是可达阵 R 是 Qt 的子矩阵。

知识状态KS是指属性层级结构下，所有可能出现的知识结构类型。KS最简单的获取方式是将 Qr 阵转置并加上一行0向量（代表一个属性都未掌握情况）。图3.1B下所有可能的知识结构共有 16种，如表 3.3所示。例如，第一行表示 6个所考查的属性均没有掌握的个体，记作α =（0,0,0,0,0,0）。当属性层级结构为独立型时，KS的种类最多，等于 2 ^K 。可以看出，有了层级的约束，会使得KS数量以及 Qt 阵里的题目类型数量大大减少。