3.3 常见工程形体的截交线

平面与立体相交，在立体表面产生交线，称为截交线。与立体相交的平面，称为截平面。截平面截切立体所得的由截交线围合成的图形，称为截断面，简称断面，如图 3.11 所示。

截平面有时不只一个，两相邻的截平面也有交线。图 3.12 就是截割体的示意图。

3.3.1 截交线的性质与求截交线的方法

1）截交线的性质

如图 3.11 所示为截平面与三棱锥相交的情况。从图中不难看出，截交线的形状由截平面相对平面立体的位置来决定，任何截交线都具有两个共同性质：

①平面立体各表面均为平面，故截交线是封闭的多边形；多边形的各边是截平面与平面立体各表面的交线；多边形的各个顶点则是截平面与平面立体各条棱线的交点。

②截交线是截平面与平面立体的共有线，截交线上的每个点都是截平面与平面立体的共有点。

2）求截交线的方法

平面与平面立体相交的问题，实质上是平面立体各表面或各棱线与截平面相交产生交线或交点的问题。求截交线的方法，也可归纳为两种：

①交线法：求出截平面与平面立体各表面的交线，即得截交线。

②交点法：求出截平面与平面立体各棱线的交点，按照一定的连点原则将交点两两相连，也可得截交线。

3.3.2 平面立体的截交线

平面立体的截交线是封闭的平面多边形，多边形的顶点要么是棱上的点，如图 3.11（a）所示；要么是底面多边形边上的点，要么就是某个平面上的点。

【例 3.6】 如图 3.13（a）所示，求该形体的H投影。

【解】 （1）分析：根据已知的V、W面的投影，可以得知形体是一个四棱柱被正垂面P截切而得的。截平面P与棱柱的左底面和 3 个棱面相交，故交线为平面四边形，如图 3.13（c）所示。正垂面V投影积聚，截交线重合在p′上，直接在四棱柱的V投影中标出a′b′c′d′，3 个棱面的W投影积聚。利用立体表面求点的方法求出其他两面投影。最后，连线、整理、判断可见性，完成形体H投影。由于P在立体的左上部，故p可见。注意，正垂面的H、W投影有类似性。

（2）作图：如图 3.13（b）所示。

①完成四棱柱的H投影，下方有一条棱线不可见。

②在V投影中标出a′b′c′d′，并在W投影中标出a″b″c″d″。

③在H投影中，作四边形abcd。

④整理四棱柱剩下部分的轮廓线，完成图形。

【例 3.7】 如图 3.14（a）所示，求正三棱锥被切割后的投影。

【解】 （1）分析：由图 3.14（a）可知，正三棱锥被两平面切割，这两个平面的V投影积聚，且与左、后两个棱面投影重合。因此，这两个平面与棱面分别有两条交于左侧棱线的交线，交线的另一个端点在棱面上，两个截平面有一条交线，所以截交线是两个共一边的三角形。在V投影上标出 1′2′3′4′，如图 3.14（b）所示，并求其他两面投影，连线得到截交线。

（2）作图：如图 3.14（b）所示。

①完成正三棱锥的H、W投影。

②在V投影上标出 1′2′3′4′，如图 3.14（b）所示。并在三棱锥表面求这 4 个点得其他两面投影。

③将所求依次连线成△ⅠⅡⅣ与△ⅡⅢⅣ。注意：左侧棱线中间截断，Ⅰ与Ⅲ是左侧棱线上的点，不可以相连。

④整理截交线和三棱锥余下部分的轮廓线。截交线处于三棱锥的左前上方，故三面投影均可见，如图 3.14（c）所示。

3.3.3 曲面立体的截交线

1）圆柱体的截交线

根据圆柱体与平面的相对位置关系，它们的截交线有 3 种情况：两条素线、纬圆和椭圆，如表 3.1 所示。

当截平面与圆柱轴线斜交时，夹角的大小不同，会影响截交线椭圆的长轴的大小。如图3.15 所示，圆柱截交线的W投影因夹角的变化引起形状变化，当夹角为 45°时，截交线的W投影为圆，如图 3.15（b）所示。

【例 3.8】 如图 3.16（a）所示，求圆柱切割后的H、W投影。

【解】 （1）分析：由图 3.16（a）可知，两个截平面与圆柱轴线的相对位置为平行与斜交，得到的截交线一个为一对素线，另一个为椭圆。由于斜交的平面与圆柱面的素线不全相交，得到的是椭圆弧。素线和椭圆弧的V投影积聚，W投影就在圆上；素线H投影为直线，椭圆弧的H投影仍为椭圆弧。素线只需要求端点即可；而椭圆弧需要找到特殊点（长轴点、短轴点）、端点，以及 1~2 个一般位置点。

（2）作图：如图 3.16（b、c）所示。

①求椭圆弧段的特殊点A、B、C、D、E、F的三面投影，A、C、D、F为弧段端点，B、E为最前最后素线上的点。如图 3.16（b）所示。

②求一般点Ⅰ、Ⅱ。

③将上述各点按a1bc及f2ed的顺序分别光滑连接，得到弧段的H投影；弧段的W投影就是圆。

④CD点是两条素线的端点，完成其水平投影。

⑤由于截平面在切割图的上部，H投影截交线可见，其他两面不需判别可见性。

⑥整理完成图形，如图 3.16（d）所示。

2）圆锥体的截交线

根据圆锥体与平面的相对位置关系，它们的截交线有 5 种情况：两条素线、纬圆、椭圆、双曲线和抛物线（如表 3.2 所示），它们统称为圆锥曲线。

【例 3.9】 如图 3.17（a）所示，求圆锥切割后的H、W投影。

【解】 （1）分析：由图 3.17（a）可知，截平面与圆锥的相对位置可知的截交线为一个椭圆。椭圆的V面投影为直线a′d′，在它上面取点。首先取特殊点：最高及最低点A、D（也是椭圆的长轴点），转向素线上的点C、E（决定W投影最前最后素线的端点，也是与椭圆的切点）；然后，取a′d′连线的中点位置，为椭圆短轴点B、F的V投影；最后，求一个一般点。

（2）作图：如图 3.17（b）、（c）所示。

最后整理结果如图 3.17（d）所示。

3）圆求的截交线

圆球的截交线都是圆，但其投影结果与截平面与投影面的位置相关，可能是直线、圆或椭圆。

【例 3.10】 如图 3.18（a）所示，求带槽半球的H、W投影。

【解】 （1）分析：由图 3.18（a）可知，3 个截平面都与投影面平行，3 条交线都是圆。左右两个平面相对于球面对称相对于圆球左右对称，为侧平面，其交线为等大的侧平线；中间平面为水平面，其交线为水平线。

（2）作图：如图 3.18（b）所示。

最后整理结果如图 3.18（c）所示。