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3.2 曲面立体

工程中常见的曲面立体有圆柱体、圆锥体、圆球体等,它们都是旋转体。

3.2.1 圆柱体

1)形成

由矩形(AA 1 O 1 O)绕其边(OO 1 )为轴旋转运动的轨迹称为圆柱体,如图 3.5(a)所示。与轴垂直的两边(OA和O 1 A 1 )的运动轨迹是上、下底圆,与轴平行的一边(A A 1 )运动的轨迹是圆柱面。A A 1 称为母线,母线在圆柱面上的任一位置称为素线。圆柱面是无数多条素线的集合。圆柱体由上、下底圆和圆柱面围成。上、下底圆之间的距离称为圆柱体的高。

图3.5 圆柱体的形成与投影

2)投影

(1)安放位置

为简便作图,一般将圆柱体的轴线垂直于某一投影面。如图 3.5(b),将圆柱体的轴线(OO 1 )垂直于H面,则圆柱面垂直于H面,上、下底圆平行于H面。

(2)投影分析[图 3.5(b)]

H面投影:为一个圆。它是可见的上底圆和不可见的下底圆实形投影的重合,其圆周是圆柱面的积聚投影,圆周上的任一点都是一条素线的积聚投影。

V面投影:为一矩形。它是可见的前半圆柱和不可见的后半圆柱投影的重合,其对应的H面投影是前、后半圆,对应的W面投影是右和左半个矩形。矩形的上、下边线(a′b′和a′ 1 b′ 1 )是上、下底圆的积聚投影;左、右边线(a′a′ 1 和b′b′ 1 )是圆柱最左、最右素线(AA 1 和BB 1 )的投影,也是前半、后半圆柱投影的分界线。

W面投影:为一矩形。它是可见的左半圆柱和不可见的右半圆柱投影的重合,其对应的H面投影是左、右半圆;对应的V面投影是左右半个矩形。矩形的上、下边线(d″c″和d″ 1 c″ 1 )是上、下底圆的积聚投影;左、右边线(d″d″ 1 和c″c″ 1 )是圆柱最后、最前素线(DD 1 和CC 1 )的投影,也是左半、右半圆柱投影的分界线。

(3)作图步骤[图 3.5(c)]

①画轴线的三面投影(O、O′、O″),过O作中心线,轴和中心线都为单点长画线。

②在H面上画上、下底圆的实形投影(以O为圆心,OA为半径);在V、W面上画上、下底圆的积聚投影(其间距为圆柱的高)。

③画出转向轮廓线,即画出最左、最右素线的V面投影(a′a′ 1 和b′b′ 1 );画出最前、最后素线的W面投影(c″c″ 1 和d″d″ 1 )。

3)圆柱体表面上取点

【例 3.3】 如图 3.6(a)所示,已知圆柱体上M点的V面投影m′(可见)及N点的H面投影n(不可见),求M、N点的另二投影。

图3.6 圆柱体表面上取点

【解】 (1)分析:由于m′可见,且在轴O′左侧,可知M点在圆柱面的前、左部分;n不可见,则N点在圆柱的下底圆上。圆柱面的H面投影和下底圆的V面、W面投影有积聚性,可从积聚投影入手求解。

(2)作图:如图 3.6(b)所示。

①由m′向下作垂线,交H面投影中的前半圆周于m,由m′、m及Y 1 可求得m″。

②由n向上引垂线,交下底圆的V面积聚投影于n′,由n、n′及Y 2 可求得n″。

③判别可见性:M点位于左半圆柱,故m″可见;m、n′、n″在圆柱的积聚投影上,不判别其可见性。

3.2.2 圆锥体

1)形成

由直角三角形(SAO)绕其一直角边(SO)为轴旋转运动的轨迹称为圆锥体,如图 3.7(a)所示。另一直角边(AO)旋转运动的轨迹是垂直于轴的底圆;斜边(SA)旋转运动的轨迹是圆锥面。SA称为母线,母线在圆锥面上任一位置称为素线。圆锥面是无数多条素线的集合。圆锥由圆锥面和底圆围成。锥顶(S)与底圆之间的距离称为圆锥的高。

图3.7 圆锥体的形成与投影

2)投影

(1)安放位置

如图 3.7(b)所示,令圆锥体的轴线垂直于H面,则底圆平行于H面。

(2)投影分析[图 3.7(b)]

H面投影:为一个圆。它是可见的圆锥面和不可见的底圆投影的重合。

V面投影:为一等腰三角形。它是可见的前半圆锥和不可见的后半圆锥投影的重合,其对应的H面投影是前、后半圆,对应的W面投影是右、左半个三角形。等腰三角形的底边是圆锥底面的积聚投影;两腰(s′a′和s′b′)是圆锥最左、最右素线(SA和SB)的投影,也是前、后半圆锥的分界线。

W面投影:为一等腰三角形。它是可见的左半圆锥和不可见的右半圆锥投影的重合,其对应的H面投影是左、右半圆;对应的V面投影是左、右半个三角形。等腰三角形的底边是圆锥底圆的积聚投影;两腰(s″c″和s″d″)是圆锥最前、最后素线(SC和SD)的投影,也是左、右半圆锥的分界线。

(3)作图步骤[图 3.7(c)]

①画轴线的三面投影(o,o′,o″),过o作中心线。轴和中心线都为单点长画线。

②在H面上画底圆的实形投影(以O为圆心,以OA为半径);在V、W面上画底圆的积聚投影。

③画锥顶(S)的三面投影(s、s′、s″,由圆锥的高定s′、s″)。

④画出转向轮廓线,即画出最左、最右素线的V面投影(s′a′和s′b′);画出最前、最后素线的W面投影(s″c″和s″d″)。

3)圆锥表面上取点

【例 3.4】 如图 3.8(a)所示,已知圆锥上一点M的V面投影m′(可见),求m及m″。

【解】 (1)分析:由于m′可见,且在轴o′左侧,可知M点在圆锥面的前、左部分。由于圆锥面的 3 个投影都无积聚性,所缺投影不能直接求出,可利用素线法和纬圆法求解。利用素线法,即过锥顶S和已知点M在圆锥面上作一素线S1,交底圆于 1 点,求得S1 的三面投影,则M点的H、W面投影必然在S1 的H、W面投影上。利用纬圆法,即过M点作垂直于圆锥轴线的水平圆(其圆心在轴上),该圆与圆锥的最左、最右素线(SA和SB)相交于Ⅱ、Ⅲ点,以ⅡⅢ为直径在圆锥面上画圆,则M点的H、W面投影必然在该圆H、W面投影上如图 3.8(b)所示。

图3.8 圆锥体表面上取点

(2)作图:如图 3.8(c)所示。

①素线法:连接s′m′并延长交底圆的积聚投影于 1′;由 1′向下作垂线交H面投影中圆周于 1,连接s1;由m′向下作垂线交s1 于m,和利用“高平齐”关系由Y 1 求得m″。

②纬圆法:过m′作平行于OX轴方向的直线,交三角形两腰于 2′、3′,线段 2′3′就是所作纬圆的V面积聚投影,也是纬圆的直径;再以2′3′为直径在H面投影上画纬圆的实形投影;由m′向下作垂线,与纬圆前半部分相交于m,由m′、m及Y 1 得m″。

③判别可见性:由于M点位于圆锥面前、左部分,故m、m″均可见。

3.2.3 圆球体

1)形成

半圆面绕其直径(O轴)为轴旋转运动的轨迹称为圆球体,如图 3.9(a)所示。半圆线旋转运动的轨迹是球面,即圆球的表面。

2)投影

(1)安放位置

由于圆球形状的特殊性(上下、左右、前后均对称),无论怎样放置,其三面投影都是相同大小的圆。

(2)投影分析[图 3.9(b)]

圆球的三面投影均为圆。

H面投影的圆是可见的上半球面和不可见的下半球面投影的重合。圆周a是圆球面上平行于H面的最大圆A(也是上、下半球面的分界线)的投影。

V面投影的圆是可见的前半球面和不可见的后半球面投影的重合。圆周b′是圆球面上平行于V面的最大圆B(也是前、后半球面的分界线)的投影。

W面投影的圆是可见的左半球面和不可见的右半球面投影的重合。圆周c″是圆球面上平行于W面的最大圆C(也是左、右半球面的分界线)的投影。

三个投影面上的三个圆对应的其余投影均积聚成直线段,并重合于相应的中心线上,不必画出。

图3.9 圆球体的形成与投影

(3)作图步骤[图 3.9(c)]

①画球心的三面投影(o、o′、o″),过球心的投影分别作横、竖向中心线(单点长画线)。

②分别以o、o′、o″为圆心,以球的半径(即半球面的半径)在H、V、W面投影上画出等大的三个圆,即为球的三面投影。

3)圆球面上取点

【例 3.5】 如图 3.10(a)所示,已知球面上一点M的V面投影m′(可见),求m及m″。

【解】 (1)分析:球的三面投影都没有积聚性,且球面上也不存在直线,故只有采用纬圆法求解。可设想过M点在圆球面上作水平圆(纬圆),该点的各投影必然在该纬圆的相应投影上。作出纬圆的各投影,即可求出M点的所缺投影。

(2)作图:如图 3.10(b)所示。

①过m′作水平纬圆的V面投影,该投影积聚为一线段 1′2′。

②以 1′2′为直径,在H面上作纬圆的实形投影。

③由m′向下作垂线交纬圆的H面投影于m(因m′可见,M点必然在圆球面的前半部分);由m、m′及Y 1 求得m″。

④判别可见性:因M点位于圆球面的上、右、前半部分,故m可见,m″不可见。

图3.10 圆球体表面上取点 CqaM5mBBpv60xXX1TrNQVa4zpA7MGrau5Mk+k06+5krmMGJ9w/imFcszlmoxwiat

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