3.2 曲面立体

工程中常见的曲面立体有圆柱体、圆锥体、圆球体等，它们都是旋转体。

3.2.1 圆柱体

1）形成

由矩形（AA ₁ O ₁ O）绕其边（OO ₁ ）为轴旋转运动的轨迹称为圆柱体，如图 3.5（a）所示。与轴垂直的两边（OA和O ₁ A ₁ ）的运动轨迹是上、下底圆，与轴平行的一边（A A ₁ ）运动的轨迹是圆柱面。A A ₁ 称为母线，母线在圆柱面上的任一位置称为素线。圆柱面是无数多条素线的集合。圆柱体由上、下底圆和圆柱面围成。上、下底圆之间的距离称为圆柱体的高。

2）投影

（1）安放位置

为简便作图，一般将圆柱体的轴线垂直于某一投影面。如图 3.5（b），将圆柱体的轴线（OO ₁ ）垂直于H面，则圆柱面垂直于H面，上、下底圆平行于H面。

（2）投影分析[图 3.5（b）]

H面投影：为一个圆。它是可见的上底圆和不可见的下底圆实形投影的重合，其圆周是圆柱面的积聚投影，圆周上的任一点都是一条素线的积聚投影。

V面投影：为一矩形。它是可见的前半圆柱和不可见的后半圆柱投影的重合，其对应的H面投影是前、后半圆，对应的W面投影是右和左半个矩形。矩形的上、下边线（a′b′和a′ ₁ b′ ₁ ）是上、下底圆的积聚投影；左、右边线（a′a′ ₁ 和b′b′ ₁ ）是圆柱最左、最右素线（AA ₁ 和BB ₁ ）的投影，也是前半、后半圆柱投影的分界线。

W面投影：为一矩形。它是可见的左半圆柱和不可见的右半圆柱投影的重合，其对应的H面投影是左、右半圆；对应的V面投影是左右半个矩形。矩形的上、下边线（d″c″和d″ ₁ c″ ₁ ）是上、下底圆的积聚投影；左、右边线（d″d″ ₁ 和c″c″ ₁ ）是圆柱最后、最前素线（DD ₁ 和CC ₁ ）的投影，也是左半、右半圆柱投影的分界线。

（3）作图步骤[图 3.5（c）]

①画轴线的三面投影（O、O′、O″），过O作中心线，轴和中心线都为单点长画线。

②在H面上画上、下底圆的实形投影（以O为圆心，OA为半径）；在V、W面上画上、下底圆的积聚投影（其间距为圆柱的高）。

③画出转向轮廓线，即画出最左、最右素线的V面投影（a′a′ ₁ 和b′b′ ₁ ）；画出最前、最后素线的W面投影（c″c″ ₁ 和d″d″ ₁ ）。

3）圆柱体表面上取点

【例 3.3】 如图 3.6（a）所示，已知圆柱体上M点的V面投影m′（可见）及N点的H面投影n（不可见），求M、N点的另二投影。

【解】 （1）分析：由于m′可见，且在轴O′左侧，可知M点在圆柱面的前、左部分；n不可见，则N点在圆柱的下底圆上。圆柱面的H面投影和下底圆的V面、W面投影有积聚性，可从积聚投影入手求解。

（2）作图：如图 3.6（b）所示。

①由m′向下作垂线，交H面投影中的前半圆周于m，由m′、m及Y ₁ 可求得m″。

②由n向上引垂线，交下底圆的V面积聚投影于n′，由n、n′及Y ₂ 可求得n″。

③判别可见性：M点位于左半圆柱，故m″可见；m、n′、n″在圆柱的积聚投影上，不判别其可见性。

3.2.2 圆锥体

1）形成

由直角三角形（SAO）绕其一直角边（SO）为轴旋转运动的轨迹称为圆锥体，如图 3.7（a）所示。另一直角边（AO）旋转运动的轨迹是垂直于轴的底圆；斜边（SA）旋转运动的轨迹是圆锥面。SA称为母线，母线在圆锥面上任一位置称为素线。圆锥面是无数多条素线的集合。圆锥由圆锥面和底圆围成。锥顶（S）与底圆之间的距离称为圆锥的高。

2）投影

（1）安放位置

如图 3.7（b）所示，令圆锥体的轴线垂直于H面，则底圆平行于H面。

（2）投影分析[图 3.7（b）]

H面投影：为一个圆。它是可见的圆锥面和不可见的底圆投影的重合。

V面投影：为一等腰三角形。它是可见的前半圆锥和不可见的后半圆锥投影的重合，其对应的H面投影是前、后半圆，对应的W面投影是右、左半个三角形。等腰三角形的底边是圆锥底面的积聚投影；两腰（s′a′和s′b′）是圆锥最左、最右素线（SA和SB）的投影，也是前、后半圆锥的分界线。

W面投影：为一等腰三角形。它是可见的左半圆锥和不可见的右半圆锥投影的重合，其对应的H面投影是左、右半圆；对应的V面投影是左、右半个三角形。等腰三角形的底边是圆锥底圆的积聚投影；两腰（s″c″和s″d″）是圆锥最前、最后素线（SC和SD）的投影，也是左、右半圆锥的分界线。

（3）作图步骤[图 3.7（c）]

①画轴线的三面投影（o，o′，o″），过o作中心线。轴和中心线都为单点长画线。

②在H面上画底圆的实形投影（以O为圆心，以OA为半径）；在V、W面上画底圆的积聚投影。

③画锥顶（S）的三面投影（s、s′、s″，由圆锥的高定s′、s″）。

④画出转向轮廓线，即画出最左、最右素线的V面投影（s′a′和s′b′）；画出最前、最后素线的W面投影（s″c″和s″d″）。

3）圆锥表面上取点

【例 3.4】 如图 3.8（a）所示，已知圆锥上一点M的V面投影m′（可见），求m及m″。

【解】 （1）分析：由于m′可见，且在轴o′左侧，可知M点在圆锥面的前、左部分。由于圆锥面的 3 个投影都无积聚性，所缺投影不能直接求出，可利用素线法和纬圆法求解。利用素线法，即过锥顶S和已知点M在圆锥面上作一素线S1，交底圆于 1 点，求得S1 的三面投影，则M点的H、W面投影必然在S1 的H、W面投影上。利用纬圆法，即过M点作垂直于圆锥轴线的水平圆（其圆心在轴上），该圆与圆锥的最左、最右素线（SA和SB）相交于Ⅱ、Ⅲ点，以ⅡⅢ为直径在圆锥面上画圆，则M点的H、W面投影必然在该圆H、W面投影上如图 3.8（b）所示。

（2）作图：如图 3.8（c）所示。

①素线法：连接s′m′并延长交底圆的积聚投影于 1′；由 1′向下作垂线交H面投影中圆周于 1，连接s1；由m′向下作垂线交s1 于m，和利用“高平齐”关系由Y ₁ 求得m″。

②纬圆法：过m′作平行于OX轴方向的直线，交三角形两腰于 2′、3′，线段 2′3′就是所作纬圆的V面积聚投影，也是纬圆的直径；再以2′3′为直径在H面投影上画纬圆的实形投影；由m′向下作垂线，与纬圆前半部分相交于m，由m′、m及Y ₁ 得m″。

③判别可见性：由于M点位于圆锥面前、左部分，故m、m″均可见。

3.2.3 圆球体

1）形成

半圆面绕其直径（O轴）为轴旋转运动的轨迹称为圆球体，如图 3.9（a）所示。半圆线旋转运动的轨迹是球面，即圆球的表面。

2）投影

（1）安放位置

由于圆球形状的特殊性（上下、左右、前后均对称），无论怎样放置，其三面投影都是相同大小的圆。

（2）投影分析[图 3.9（b）]

圆球的三面投影均为圆。

H面投影的圆是可见的上半球面和不可见的下半球面投影的重合。圆周a是圆球面上平行于H面的最大圆A（也是上、下半球面的分界线）的投影。

V面投影的圆是可见的前半球面和不可见的后半球面投影的重合。圆周b′是圆球面上平行于V面的最大圆B（也是前、后半球面的分界线）的投影。

W面投影的圆是可见的左半球面和不可见的右半球面投影的重合。圆周c″是圆球面上平行于W面的最大圆C（也是左、右半球面的分界线）的投影。

三个投影面上的三个圆对应的其余投影均积聚成直线段，并重合于相应的中心线上，不必画出。

（3）作图步骤[图 3.9（c）]

①画球心的三面投影（o、o′、o″），过球心的投影分别作横、竖向中心线（单点长画线）。

②分别以o、o′、o″为圆心，以球的半径（即半球面的半径）在H、V、W面投影上画出等大的三个圆，即为球的三面投影。

3）圆球面上取点

【例 3.5】 如图 3.10（a）所示，已知球面上一点M的V面投影m′（可见），求m及m″。

【解】 （1）分析：球的三面投影都没有积聚性，且球面上也不存在直线，故只有采用纬圆法求解。可设想过M点在圆球面上作水平圆（纬圆），该点的各投影必然在该纬圆的相应投影上。作出纬圆的各投影，即可求出M点的所缺投影。

（2）作图：如图 3.10（b）所示。

①过m′作水平纬圆的V面投影，该投影积聚为一线段 1′2′。

②以 1′2′为直径，在H面上作纬圆的实形投影。

③由m′向下作垂线交纬圆的H面投影于m（因m′可见，M点必然在圆球面的前半部分）；由m、m′及Y ₁ 求得m″。

④判别可见性：因M点位于圆球面的上、右、前半部分，故m可见，m″不可见。