2.6 平面的投影

2.6.1 平面的表示方法

直线的运动轨迹构成了平面，平面的空间位置可以用几何元素或迹线来进行表示。

1）用几何元素表示平面

不在同一条直线上的 3 点可以确定一个平面，由此，可以演变出以下几种平面的表示方法：

①不在同一直线上的 3 个点（A、B、C），如图 2.30（a）所示。

②一直线和该直线外一点（AB、C），如图 2.30（b）所示。

③相交的两直线（AC、BC），如图 2.30（c）所示。

④平行的两直线（AC∥BD），如图 2.30（d）所示。

⑤平面图形（△ABC），如图 2.30（e）所示。

对同一平面来说，无论采用哪一种方法表示，它所确定的空间平面位置是不变的。需要强调的是：前 4 种方法只确定平面的位置，第 5 种方法不但能确定平面的位置，而且能表示平面的形状和大小。因此，一般常用平面图形来表示平面。

2）用迹线表示平面

平面的空间位置还可以由平面的迹线来确定，平面与投影面的交线称为该平面的迹线。如图 2.31 所示，P平面与H面的交线称为水平迹线，用P _H 表示；P平面与V平面的交线称为正面迹线，用P _V 表示；P平面与W面的交线称为侧面迹线，用P _W 表示。

一般情况下，相邻两条迹线相交于投影轴上，它们的交点也就是平面与投影轴的交点。在投影图中，这些交点分别用P _X 、P _Y 、P _Z 来表示。如图 2.31（b）所示，3 条迹线中的任意两条就可以确定平面的空间位置。

由于迹线位于投影面上，它的一个投影与自身重合，另外两个投影与投影轴重合，通常只用画出与自身重合的投影并加注标记的办法来表示迹线，凡是与投影轴重合的投影均不标记。

在三面投影体系中，根据平面和投影面的相对位置不同，可将平面分为三类：投影面的垂直面、投影面的平行面和一般位置平面。相对于一般位置平面，前两类统称为特殊位置平面。

①投影面的垂直面：垂直于某一个投影面，倾斜于另外两个投影面。

②投影面的平行面：平行于某一个投影面，垂直于另外两个投影面。

③一般位置平面：与三个投影面都倾斜。

2.6.2 投影面的垂直面

投影面的垂直面根据其所垂直的投影面不同又分为 3 种：

①垂直于H面、倾斜于V面和W面的平面，称为铅垂面（表 2.4 中平面P）；

②垂直于V面、倾斜于H面和W面的平面，称为正面垂直面，简称正垂面（表 2.4 中平面Q）；

③垂直于W面、倾斜于H面和V面的平面，称为侧面垂直面，简称侧垂面（表 2.4 中平面R）。

平面与投影面的夹角称为平面的倾角，平面与H面、V面、W面的倾角分别用α、β、γ标记。表 2.4 分别列出了铅垂面、正垂面和侧垂面的投影图和投影特性。

从表 2.4 中可分析归纳出投影面的垂直面的投影特性为：

①平面在它所垂直的投影面上的投影积聚为一直线，该直线与相应投影轴的夹角分别反映平面对另外两个投影面的倾角。

②平面在另外两个投影面上的投影为原平面图形的类似形，但面积比实形小。

③积聚迹线与投影轴的夹角，反映平面与另外两个投影面的倾角；其余两条迹线分别垂直于相应投影轴。

如不需要表示平面的形状和大小，只需确定其位置，可用迹线来表示，且只用有积聚性的迹线。如表 2.4 中铅垂面P，只需画出P _H 就能确定空间平面P的位置。

2.6.3 投影面的平行面

投影面的平行面根据其所平行的投影面不同又分为 3 种：

①平行于H面的平面称为水平面平行面，简称水平面（表 2.5 中平面P）；

②平行于V面的平面称为正面平行面，简称正平面（表 2.5 中平面Q）；

③平行于W面的平面称为侧面平行面，简称侧平面（表 2.5 中平面R）。

表 2.5 中分别列出了水平面、正平面和侧平面的投影图和投影特性。

从表 2.5 中可分析归纳出投影面的平行面的投影特性为：

①平面在它所平行的投影面上的投影反映实形。

②平面在另外两个投影面上的投影积聚为一直线，且分别平行于相应的投影轴。

③平面在它所平行的投影面上无迹线，另外两条迹线均平行于相应的投影轴且具有积聚性。

2.6.4 一般位置平面

对 3 个投影面都倾斜（既不平行又不垂直）的平面，称为一般位置平面，如图 2.32（a）中△ABC。一般位置平面在H、V、W面上的投影仍然为一个三角形，且三角形的面积均小于实形，如图 2.32（b）所示。

由此可知，一般位置平面的投影特性为：

①三面投影都不反映空间平面图形的实形，是原平面图形的类似形，且面积比空间平面图形的实形小。

②平面图形的三面投影都不反映该平面对投影面的倾角。

2.6.5 属于平面的直线和点

1）属于平面的直线

直线属于平面的几何条件为：

①直线通过属于平面上的两个点，则该直线属于此平面，如图 2.33（a）中的直线MN、BM。

②直线通过属于平面的一点，且平行于平面内的另一条直线，则直线属于此平面。如图2.33（b）中的直线L，其通过平面上的点A，且平行于平面内的直线BC，所以该直线属于△ABC。

【例 2.2】 在已知平面△ABC的投影图中求取属于平面的直线，如图 2.34 所示。

【解】 ①先取属于平面△ABC的两点M（m′、m）、N（n′、n），然后分别连接直线m′n′、mn，则直线MN一定属于平面△ABC。

②过△ABC平面上一点A（可为平面上任意一点），且平行于△ABC的一条边BC（b′c′、bc）作一直线L（l′、l），则直线L一定属于平面△ABC。

2）属于平面的点

如图 2.35 所示，点属于平面的几何条件为：点属于平面的任一直线，则点属于此平面。

取属于平面的点，只有先取属于平面的一条直线，再取属于直线的点，才能保证点属于平面。否则，在投影图中不能保证点一定属于平面。

【例 2.3】 如图 2.36（a）所示，已知K点属于△ABC，还知K点的V面投影k′，求作K点的水平投影k。

【解】 ①在△a′b′c′内过投影k′任作一直线m′n′，然后求出其H投影mn。

②由k′做长对正在mn上求得k，则投影k一定属于投影△abc。即K点一定属于平面△ABC，如图 2.36（b）所示。