2.4 点的投影

2.4.1 点的三面投影

点是构成形体的最基本元素，点只有空间位置而无大小。

1）点的三面投影的形成

把空间点A放置在三面投影体系中，过点A分别作垂直于H面、V面、W面的投射线，投射线与H面的交点a称为A点的水平投影（H投影）；投射线与V面的交点a′称为A点的正面投影（V投影）；投射线与W面的交点a″称为A点的侧面投影（W投影）。

投影的表示方法约定：空间点用大写字母表示（如A），其在H面上的投影用相应的小写字母表示（如a），在V面上的投影用相应的小写字母并在右上角加一撇表示（如a′），在W面上的投影用相应的小写字母并在右上角加两撇表示（如a″）。如图 2.12（a）所示，空间点A的H、V、W面投影分别为a，a′，a″。

按前述规定将 3 个投影面展开，就能得到点A的三面投影图，如图 2.12（b）所示。在点的投影图中一般只画出投影轴，不画投影面的边框，如图 2.12（c）所示。

2）点的投影规律

由图 2.12（a）可以看出，过空间点A的两条投影线Aa和Aa′所构成的矩形平面Aaa _x a′，与V面和H面互相垂直并相交，交线aa _x 和a′a _x 与OX轴必然互相垂直且相交于一点a _x ，OX轴垂直于平面Aaa _x a′。而aa _x 和a′a _x 是互相垂直的两条直线，当V面不动、将H面绕OX轴旋转 90°至与V面成为同一平面时，aa _x 和a′a _x 就成为一条垂直于OX轴的直线，a′、a _x 、a三点共线，即aa′⊥OX，如图 2.12（b）所示。同理可证，a′a″⊥OZ。a _Y 在投影面展平之后，被分为a _Y H和 两个点，所以 ⊥ OY _W 。

通过以上分析，可以得出点的投影规律如下：

①点的投影的连线垂直于相应的投影轴。

a.点的V面投影和H面投影的连线垂直于X轴，即aa′⊥OX。

b.点的V面投影和W面投影的连线垂直于Z轴，即a′a″⊥OZ。

c. aa _YH ⊥OY _H ， 。

这三项正投影规律，就是称之为“长对正、高平齐、宽相等”的三等关系。

②点的投影到各投影轴的距离，分别代表点到相应的投影面的距离。

a. a′a _x = = Aa，即点的V面投影到OX轴的距离等于点的W面投影到OY _W 轴的距离，等于空间点A到H面的距离。

b. = Aa′，即点的H面投影到OX轴的距离等于点的W面投影到OZ轴的距离，等于空间点A到V面的距离。

c. a′a _Z = = Aa″，即点的V面投影到OZ轴的距离等于点的H面投影到OY _H 轴的距离，等于空间点A到W面的距离。

3）求点的第三投影

根据上述投影特性可得出：在点的三面投影图中，任意两个投影都具有一定的联系性。因此，只要给出一点的任意两个投影，就可求出其第三投影，并且确定点的空间位置。

如图 2.13（a）所示，已知点A的水平投影a和正面投影a′，则可求出其侧面投影a″。

①过a′引OZ轴的垂线a′a _Z ，所求a″必在该线延长线上，如图 2.13（b）所示。

②在a′a _Z 的延长线上截取a″a _Z = aa _x ，a″即为所求，如图 2.13（c）所示。

或以原点O为圆心，以aa _x 为半径作弧找到与OY _W 轴的交点，过此点作OY _W 轴垂线交a′a _Z 于一点，此点即为a″，如图 2.13（d）所示。

也可过a引OY _H 轴的垂线 ，再过 作与OY _H 轴夹角 45°的辅助线，过交点作垂线向上交a′a _Z 于一点，此点即为a″，如图 2.13（e）所示。

还可以过原点O作 45°辅助线，过a引OY _H 轴的垂线并延长交辅助线于一点，过此点作OY _W 轴垂线交a′a _Z 于一点，此点即为a″，如图 2.13（f）所示。

4）特殊位置点的投影

（1）投影面上的点

如空间点位于投影面上，则点到该投影面的距离为零（即空间点和该面投影重合），点在另外两个面的投影则位于投影轴上。反之，空间点的 3 个投影中如有两个投影位于投影轴上，则该空间点必定位于某一投影面上。

如图 2.14 所示，A点位于H面上，则A点到H面的距离为零。其H面投影a与A重合，V面投影a′在OX轴上，W面投影a″在OY _W 轴上。同理，可得出位于V面的B点和位于W面的C点的投影。

（2）投影轴上的点

如空间点位于投影轴上，则点到两个投影面的距离都为零（即空间点和两个面投影重合，且位于投影轴上），点的另外一个投影则与原点O重合。反之，空间点的 3 个投影中如有两个投影重合且位于投影轴上，则该空间点必定位于某一投影轴上。

如图 2.15 所示，D点位于X轴上，则D点到H面、V面的距离均为零。其H面投影d、V面投影d′都与D重合，W面投影d″与原点O重合。同理可得出位于Y轴的E点和位于Z轴的F点的投影。

2.4.2 两点的相对位置

1）两点的相对位置

两点的相对位置，是以其中一个点为基准，来判断两点的前后、左右、上下位置关系的。

空间两点的相对位置可以根据它们的同面投影来确定，每个投影图可以反映 4 个方位：H面投影反映它们的左右、前后关系，V面投影反映它们的上下、左右关系，W面投影反映它们的上下、前后关系，如图 2.16（a）所示。

若建立直角坐标系，空间两点的相对位置还可以根据其坐标关系来确定。将三面投影体系中的 3 个投影面看作直角坐标系中的 3 个坐标面，则 3 条投影轴相当于坐标轴，原点相当于坐标原点。因此，一点的空间位置可用其直角坐标表示为（X，Y，Z），其中X坐标反映空间点到W面的距离，Y坐标反映空间点到V面的距离，Z坐标反映空间点到H面的距离。

这样，两点的相对位置就可通过坐标值的大小来进行判断：X坐标大者在左，小者在右；Y坐标大者在前，小者在后；Z坐标大者在上，小者在下。如图 2.16（b）所示：X _A > X _B ，表示A点在B点之左；Y _A > Y _B ，表示A点在B点之前；Z _A > Z _B ，表示A点在B点之上，即A点在B点的左、前、上方。

2）重影点

当空间两点位于某投影面的同一投射线上时，则这两点在该投影面上的投影重合在一起。这种在某一投影面的投影重合的两个空间点，称为对该投影面的重影点，而重合的投影称为重影。

在表 2.1 中，当A点位于B点的正上方时，即它们在同一条垂直于H面的投射线上，其H面投影a和b重合，A、B两点是H面的重影点，它们的X、Y坐标相同，Z坐标不同。由于A点在上、B点在下，向H面投影时，投射线先遇点A、后遇点B，所以点A的投影a可见，点B的投影b不可见。为了区别重影点的可见性，将不可见点的投影用字母加括号表示，如重影点a（b）。

同理，当C点位于D点的正前方时，其V面投影c′和d′重合，C、D两点是V面的重影点，它们的X、Z坐标相同，Y坐标不同。由于C点在前，D点在后，所以点C的投影c′可见，点D的投影d′不可见，重合的投影标记为c′（d′）。

当E点位于F点的正左方时，其W面投影e″和f ″重合，E、F两点是W面的重影点，它们的Y、Z坐标相同，X坐标不同。由于E点在左、F点在右，所以点E的投影e″可见，点F的投影f ″不可见，重合的投影标记为e″（f ″）。