任务2
测量误差基本知识

1.任务

①掌握测量误差的概念、误差来源和分类。

②学会误差分析和误差评定，能够计算中误差、相对误差。

2.使用设备

计算器。

3.基本理论知识

1）测量误差

在任何测量工作中，无论是测角、测高差还是量距，当对同一个量进行多次观测时，不论测量仪器多么精密、观测进行得多么仔细，测量结果总是存在着差异。每次测量所得的观测值与该量客观真值之间存在差值，这种差值称为 测量误差 。即测量误差=观测值-真值，用Δ表示测量误差，X表示真值，L表示观测值。

2）测量误差的来源

产生测量误差的因素是多方面的，概括起来有 3 个因素。

（1）测量仪器误差

测量工作总是需要使用一定的仪器、工具设备，仪器的误差表现在两个方面：一是仪器设备构造本身固有的误差，给观测结果带来的影响，如用普通水准尺进行水准测量时，最小分划为 5 mm，就难以保证毫米数的完全正确性；二是仪器设备在使用前虽经过校正，但残余误差仍然存在，测量结果中就不可避免地包含这种误差，如水准仪视准轴部平行于水准管轴、水准尺的分划误差等。

（2）观测误差

测量工作离不开人的参与，由于观测者感觉器官鉴别能力的局限性，所以无论观测者怎样仔细地工作，都会产生误差。此外，观测者的工作态度和技术水平，也是对观测成果质量有直接影响的重要因素，如对中误差、观测者估读小数误差、瞄准目标误差等。

（3）外界条件影响

观测过程中，外界条件的不定性，如温度、阳光、风等时刻都在变化，必将对观测结果产生影响。例如，温度变化使钢尺产生伸缩，阳光照射会使仪器发生微小变化，阴天会使目标不清楚等。

在各项工程建设过程中，测量误差的精度对工程质量和进度都有十分重要的影响。工程测量时，必须有效控制误差，保证其精度，否则将导致工程建设错误，造成严重损失。测量人员应强化技能，坚守职业道德素养，做到科学严谨、一丝不苟。测量单位应经常培训员工，掌握新技术、新规范，使其更加符合岗位要求，弘扬工匠精神。

3）测量误差的分类

（1）系统误差

在相同的观测条件下，对某一个量进行一系列观测，若出现的误差在数值大小或符号上保持不变或按一定的规律变化，这种误差称为 系统误差 。例如，用名义长度为 30 m，而实际长度为 30.004 m的钢尺量距，每量一尺就有 0.004 m的系统误差，它就是一个常数。又如，水准测量中，视准轴与水准管轴不能严格平行，存在一个微小夹角i，i角一定时在尺上的读数随视线长度成比例变化，但大小和符号总是保持一致。

系统误差的特点如下：

①同一性。误差的绝对值保持恒定或按一定的规律变化。

②单一性。误差符号不变，总朝一个方向偏离。

③累积性。误差的绝对值随着单一观测值的倍数累积。

系统误差具有累积性，对测量结果影响甚大，但它的大小和符号有一定的规律，可通过计算或观测方法加以消除，或者最大限度地减小其影响。例如，尺长误差可以通过尺长改正加以消除；水准测量中的i角误差可以通过前后视线等长，消除其对高差的影响。

（2）偶然误差

在相同的观测条件下，对某一个量进行一系列观测，如出现的误差在数值大小和符号上均不一致，且从表面看没有任何规律性，这种误差称为 偶然误差 。例如，水准标尺上毫米数的估读，有时偏大，有时偏小，这是大气的能见度和人眼的分辨能力等因素使照准目标有时偏左、有时偏右造成的。

偶然误差的特性如下：

①有界性。在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度。

②密集性。绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多。

③对称性。绝对值相等的正负误差出现的机会相等。

④补偿性。偶然误差的算术平均值趋近于零。

（3）粗差

由于观测者的粗心大意，或某种特别大的干扰而产生较大的误差称为“粗差”（俗称错误），应避免和舍弃粗差。

4）评定精度的标准

（1）中误差

设在相同观测条件下，对真值为X的一个未知量L进行n次观测，观测值结果为l ₁ ，l ₂ ，…，l _n ，每个观测值相应的真误差（真值与观测值之差）为Δ ₁ ，Δ ₂ ，…，Δ _n 。以各个真误差平方和的平均数的平方根作为精度评定的标准，用m表示，称为观测值中误差。

式中 n——观测次数；

m——观测值中误差（又称均方误差）。

式（1.10）表明了中误差与真误差的关系，中误差并不等于每个观测值的真误差，中误差仅是一组真误差的代表值。当一组观测值的测量误差越大，中误差也就越大，其精度就越低；测量误差越小，中误差也就越小，其精度就越高。

一般情况下，观测值的真值X是不知道的，真误差Δ _i 也就无法求得。在同样的观测条件下对某一个量进行多次观测，可以取其算术平均值x作为最或是值，算得各个观测值的改正值V _i = x _i -X，并且x在观测次数无限增多时将趋近于真值X。对于有限的观测次数，以x代替X，即相应于以改正值V _i 代替真误差Δ _i 。按观测值的改正值计算观测值的中误差的公式（该式也称为白塞尔公式）如下：

（2）相对误差

相对误差是指绝对误差的绝对值与相应观测值之比，通常以分子为 1，分母为整数形式表示。

绝对误差指中误差、真误差、容许误差、闭合差和较差等，它们具有与观测值相同的单位。

相对误差常用于距离丈量的精度评定，而不能用于角度测量和水准测量的精度评定。

（3）极限误差

常以 3 倍中误差作为偶然误差的极限值，称为极限误差，用Δ _限 表示。

在实际工作中，一般常以 2 倍中误差作为极限值。

如观测值中出现超过 2 倍中误差的误差，可以认为该观测值不可靠，应舍去不用。

5）误差传播定律及其应用

当对某个量进行一系列的观测后，观测值的精度可用中误差来衡量。但在实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的。

（1）误差传播定律

表述观测值函数的中误差与观测值中误差之间关系的定律称为误差传播定律。

观测值中误差与其函数中误差的一般关系式，称中误差传播公式。中误差传播公式在测量中应用十分广泛。利用这个公式不仅可以求得观测值函数的中误差，还可以用来研究容许误差值的确定以及分析观测可能达到的精度等。

①设Z为独立变量x _i 的函数，即Z =f（x ₁ ，x ₂ ，…，x _n ），其中Z为不可直接观测的未知量，真误差为Δ _z ，中误差为m _z ；各独立变量x _i （i = 1，2，…，n）为可直接观测的未知量，相应的观测值为l _i ，真误差为Δ _i ，中误差为m _i 。

②当各观测值带有真误差Δ _i 时，函数也随之带有真误差Δ _z 。

③按泰勒级数展开，取近似值。

④若对各独立变量都测定K次，取其平方和关系式。

①由偶然误差的特性可知，当观测次数K→∞时，各偶然误差Δ的交叉项总和均趋向于零。据此不难导出下列简单函数式的中误差传播公式，如表 1.1 所示。

（2）误差传播定律的应用

举例说明误差传播定律的应用方法。

6）测量常用的度量单位

（1）长度单位

国际单位中，常用的长度单位的名称和符号为基本单位米（m），除此之外，还有千米（km）、分米（dm）、厘米（cm）、毫米（mm）、微米（μm），其关系如下：

我国原有惯用的长度计算单位，称为市制，长度的市制单位主要有里、丈、尺、寸。它们之间的关系为：

（2）面积单位

测量中，面积的国际单位是平方米，符号为m ² 。除此之外，还有平方分米（dm ² ）、平方厘米（cm ² ）、平方毫米（mm ² ），以及公顷（hm ² ）和平方千米（km ² ）。农业上，习惯用市亩、分、厘作面积单位。

（3）角度单位

①度、分、秒。我国采用的角度单位是 360°制的度（°）、分（′）、秒（″），即将一个圆周角分为 360°。

度、分、秒并不是国际单位，但在我国属于法定计量单位，是测量中常用的角度单位。

②弧度。弧度是角度的国际单位，符号是rad。如果圆角上一段弧长L与该圆半径R的长度相等，则此时L所对应的圆心角的大小，就是 1 弧度。

③哥恩（gon）。欧洲一些国家采用百分制单位gon作为角度的度量单位。将圆周分为 400等份，每一等份所对应的圆心角为一哥恩（g），也称为新度，更小的单位有新分（c）、新秒（cc）。

（4）测量数据计算的凑整规则

测量数据在成果计算过程中，往往涉及凑整问题。为避免凑整误差的积累而影响测量成果的精度，通常采用以下凑整规则：

①被舍去数值部分的首位大于 5，则保留数值最末位加 1。

②被舍去数值部分的首位小于 5，则保留数值最末位不变。

③被舍去数值部分的首位等于 5，则保留数值最末位凑成偶数。

综合上述原则，可表述为：大于 5 则进，小于 5 则舍，等于 5 视前一位数而定，奇进偶不进。例如：下列数字凑整后保留 3 位小数时，3.141 5 小数点后保留 3 位有效数字为 3.142（奇进），7.142 5 小数点后保留 3 位有效数字为 7.142（偶不进）。 2h3bTS9C/WqW8KwJ5LbqWRdgE23luBApnTtwdkw2Wy1GOe9r3IMFdjnn50VnAlfv