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知识目标：
（1）了解投影的基本概念。
（2）熟悉工程上常用的投影图。
（3）理解三面正投影图的形成原理。
（4）掌握三面正投影图的规律及其识读方法。
能力目标：
掌握三面正投影图的规律及其识读方法。
任务情境
人们日常所看到的绘图和摄影作品所表现的形体或建筑物，形象逼真，立体感强，和看到的实际物体比较一致，容易看懂。但这种图不能把物体的真实形状、大小准确地反映出来，不能很好地满足工程制作或施工的要求。用于指导施工的图纸是平面的，是按照一定的投影方法和投影规律进行绘制的，读图人员应具有较强的空间想象能力，掌握建筑形体的投影规律，按照一定读图方法才能将图样读懂，进而用于指导施工。
在日常生活中，经常看到空间一个物体在光线照射下在某一平面产生影子的现象，抽象后的“影子”称为投影，如图2.1 所示。
产生投影的光源称为投影中心S，接受投影的面称为投影面，连接投影中心和形体上的点的直线称为投影线。形成投影线的方法称为投影法。
要产生投影必须具备 3 个条件，即投影线、物体、投影面，这 3 个条件称为投影三要素。工程图样就是按照原理和投影作图的基本原则形成的。
图2.1 形体的投影
根据投影中心距离投影面远近的不同，投影法分为中心投影法和平行投影法两类，平行投影法又可分为正投影法和斜投影法。
当投影中心距离投影面为有限远时，所有投影线都交汇于投影中心一点，这种投影法称中心投影法，如图2.2（a）所示。
用中心投影法绘制的投影图的大小与投影中心S距离投影面远近有关系，在投影中心S与投影面距离不变时，物体离投影中心越近，投影图越大，反之越小。
如果投影中心S在无限远，所有的投影线将相互平行，这种投影法称为平行投影法。根据投影线与投影面是否垂直，平行投影法又可分为正投影法和斜投影法。
（1）正投影法
投射线垂直于投影面的投影法称为正投影法，工程图样主要用正投影法，建筑图样通常也采用正投影法绘制。这种投影图图示方法简单，可真实反映物体的形状和大小，如图2.2（b）所示。
（2）斜投影法
图2.2 投影的分类
投射线倾斜于投影面的投影法称为斜投影法，如图2.2（c）所示。
用图样表达建筑形体时，由于被表达对象的特性和表达的目的不同，可采用不同的图示法。工程上常用的图示法有透视投影法、轴测投影法、正投影法及标高投影法。与 4 种图示法相对应，得出 4 种常用的投影图，如下所述。
透视投影图是按照中心投影法绘制的，简称透视图。透视图的优点是形象逼真，直观性很强，常用作建筑设计方案比较、展览。其缺点是作图费时，建筑屋顶确切形状和大小不能在图中度量，如图2.3（a）所示。
轴测投影图是物体在一个投影面上的平行投影，又称为轴测投影，简称轴测图。将物体置于距离投影面较合适的位置，选定适当的投射方向，就可得到轴测投影，如图2.3（b）所示。这种图能同时反映物体的长、宽、高 3 个方向的尺度，立体感较强，但是作图麻烦，不能准确表达物体的形状和大小。在土建工程中常用轴测投影图来绘制给水排水、采暖通风和空气调节等方面的管道系统图。
图2.3 工程上常用的 4 种投影图
正投影图是土建工程中最主要的图样，多面正投影图由物体在互相垂直的两个或两个以上的投影面的正投影所组成。这种图作图方便，能同时反映物体的长、宽、高 3 个方向的尺度，度量好，但是缺乏立体感，如图2.3（c）所示。
标高投影图在土建工程中常用来绘制地形图、建筑总平面图和道路、水利工程等方面的平面布置图样，又称标高投影，它是地面或土工构筑物在一个水平基面上的正投影图，并应标注出与水平基面之间的高度，如图2.3（d）所示。
工程图样是施工的依据，应能反映形体各个部分的形状和大小。由于空间是具有长度、宽度和高度的三维形体，如果一个形体只向一个投影面投射，所得到的投影图不能完整地表示出这个形体各个表面及整体的形状和大小。如图2.4 所示，两个形状不同的物体，它们在某个投影方向上的投影图却完全相同。可见单面正投影不能完全确定物体的空间形状。
一般来说，需要建立一个由相互垂直的 3 个投影面组成的投影面体系。将空间形体放在 3 个相互垂直的面之间，由此可得到形体 3 个不同方向的正投影图，即可以唯一确定形体的形状。如图2.5 所示，这样可以比较完整地反映出形体的顶面、正面及侧面的形状和大小。
图2.4 物体的一个投影不能确定其空间形状
图2.5 形体的三面投影图
采用 3 个相互垂直的平面作为投影面，构成三面投影体系，如图2.6 所示。
互相垂直的 3 个投影面分别为正立投影面（简称正面）V、水平投影面（简称水平面）H、侧立投影面（简称侧面）W；物体在这 3 个投影面上的投影分别为正投影（V投影）、水平投影（H投影）、侧面投影（W投影）。投影面之间的交线称为投影轴，H、V面交线为X轴；H、W面交线为Y轴；V、W面交线为Z轴。三投影轴交于一点O，称为原点。
图2.6 三面投影图的形成与展开
将形体放置在三面投影体系中，放置时尽量让形体的各个表面与投影面平行或垂直，然后用 3 组平行投射线分别从 3 个方向进行投射，作出形体在 3 个投影面上的 3 个正投影图，这 3 个正投影图称为三面正投影图。
形体由前向后投影，得到正面投影（主视图）；由左向右投影，得到侧面投影（左视图）；由上向下投影，得到水平面投影（俯视图）。
建筑施工中将H面投影图称为平面图，V面投影图称为正立面图，W面的投影图称为侧立面图。
为了能把 3 个投影图画在一张图纸上，需要将 3 个投影面展开成一个平面。将三面正投影图展开成一个平面，只需使V面保持不动，把H面经OX轴向下旋转 90°，把W面绕OZ轴向后旋转 90°，此时H面、W面就和V面同在一个平面上。这样，3 个投影图就能画在一张平面的图纸上了，如图2.6 所示。
3 个投影面展开后，3 条投影轴成为两条垂直相交的直线：OX轴、OZ轴保持不变，只有OY轴被分为两条：一条随H面旋转到OZ轴正下方，与OZ轴在一条直线上，用Y H 表示；一条随W面旋转到OX轴正右方，与OX轴在一条直线上，用Y W 表示。
在实际绘图时，H面投影在V面投影的正下方，W面投影在V面投影的正右方。由于投影面大小与投影图无关，所以投影面的大小是随意取的，故在投影图外不必画出投影面的边框，不需注写H、V、W字样，也不必画出投影轴。习惯上将这种不画投影面边框和投影轴的投影图称为“无轴投影”，工程中的图样均是按照“无轴投影”绘制的。
（1）尺度对应关系
V面投影反映物体的长和高，H面投影反映物体的长和宽，W面投影反映物体的宽和高，如图2.7 所示。因为 3 个投影表示的是同一物体，而且物体与各投影面的相对位置保持不变，因此无论是对整个物体，还是物体的每个部分，它们的各个投影之间具有下列关系：
①V面投影与H面投影长度对正。
②V面投影与W面投影高度对齐。
③H面投影与W面投影宽度相等。
上述关系通常简称为“长对正，高平齐，宽相等”的三对等规律。
（2）方位对应关系
物体在三面投影体系中的位置确定后，相对于观察者，它在空间上就存在上、下、左、右、前、后 6 个方位。这 6 个方位关系也反映在形体的三面投影图中，每个投影图都可反映出其中 4 个方位关系。投影时，正面投影反映物体左右、上下关系；水平投影反映物体左右、前后关系；侧面投影反映物体上下、前后关系，如图2.8 所示。
图2.7 三面投影图的尺度关系
图2.8 三面投影图的方位关系
至此可以看出立体 3 个投影的形状、大小、前后均与立体距投影面的位置无关，故立体的投影均不需要再画投影轴、投影面，只要遵守“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律，即可画出图。
绘制三面正投影图时，一般先绘制V面投影图或H面投影图，然后再绘制W面投影图。熟练掌握形体的三面正投影图画法是绘制和识读工程图样的重要基础。绘制三面正投影图的具体方法和步骤如下：
①在图纸上先画出水平和垂直十字相交线，以作为正投影图中的投影轴，如图2.9（a）所示。
②根据形体在三面投影体系中的放置位置，先画出能够反映形体特征的V面投影图或H面投影图，如图2.9（b）所示。
③根据投影关系，由“长对正”的投影规律，画出H面投影图或V面投影图；由“高平齐”的投影规律，将V面投影图中涉及高度的各相应部位用水平线拉向W面投影图；由“宽相等”的投影规律，用以原点O为圆心作圆弧或过原点O作 45°斜线的方法，得到引线在W面投影面上与“等高”水平线的交点，连接各关联点而得到W面投影图，如图2.10（c）、（d）所示。
3 个投影图与投影轴的距离反映物体和 3 个投影面的距离，由于在绘图时只要求各投影图之间的“长、宽、高”关系正确，因此图形与轴线之间的距离可以灵活安排。在实际工程图中，一般不画投影轴，但画在同一张图纸上时，同一个形体的 3 个投影图位置不能乱放。
图2.9 三面正投影图的作图步骤
任何复杂的建筑形体，从形体的角度看，都可以认为是由一些基本形体，如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等按照一定的组合方式组合成而成的，如图2.10 所示的现代风格的高层建筑，是由四棱台、圆柱体、长方体、球体等组合而成。这些由两个或两个以上基本形体组成的物体，称为组合体。
组合体是实际建筑形体的抽象，是形体由抽象几何体向实际建筑形体的过渡。通过学习组合体投影图，进一步培养空间概念，可以为后续工程图的识读打下一个良好的基础。
图2.10 某高层建筑
组合体按其构成的方式，通常可分为叠加型、切割型和混合型 3 种。
由几个基本体按照一定的方式叠加形成的组合体称为叠加型组合体，如图2.11（a）所示。
由一个基本体切去若干个几何体组成的组合体称为切割型组合体，如图2.11（b）所示。
图2.11 组合体的分类
由于建筑形体是非常复杂的，更常见的形成方式是叠加与切割两种方法同时使用的混合型组合体，如图2.11（c）所示。
由于组合体的投影图比较复杂，为避免组合体的投影出现多线或漏线的错误，应正确处理基本体表面的相对位置。组合体各基本体表面之间按位置关系可分为共面、相切、相交和不共面 4 种形式。
当两个基本体叠加时，表面对齐且共面处于同一位置时，是共面关系。在两个图交界处不存在交线，因此在投影图上不画线，如图2.12（a）所示。
图2.12 组合体的表面连接关系
当两个基本体表面相切时，在相切处的特点是由一个表面光滑地过渡到另一个形体的表面，在过渡处无明显的交界线。因为相切时光滑过渡，因此在投影图上不画切线的投影，如图2.12（b）所示。
两个基本体的相邻表面相交时，在相交部分产生交线。画图时应正确画出两表面的交线，如图2.12（c）所示。
当两个基本体叠加时，表面对齐但不共面，在两个图的交界处存在交线，因此在投影图上应画线，如图2.12（d）所示。
在工程图样中，常用三面投影图来表达空间形体。在绘制组合体的三面投影图时，通常按以下步骤进行。
所谓形体分析，就是将组合体看成是若干个基本体构成，在分析时是将其分解成单个基本体，并分析各基本体之间的组成形式和相邻表面间的位置关系，判断相邻表面是否处于共面、不共面、相切和相交的位置。如图2.13 所示为房屋的简化模型。
图2.13 房屋的简化模型
组合体绘图是将三维立体按投影规律投射到投影面上，所得到的投影图是二维平面图形。而组合体的读图，则是根据已画好的投影图，运用投影规律，想象出空间立体的形状。识读形体投影图一般采用形体分析法和线面分析法两种。分析组合体投影图各个部分的投影特点，认清各基本体的形状和线面相互关系，把细节揣摩透，综合分析确定。要通过大量的练习才可使读图能力得到较大提高。识读组合体的三面投影的基本方法如下所述。
一般情况下，形体的形状不能只根据一个投影图来确定、有时两个投影图也不能确定形体的形状。水平投影、平面投影相同而侧面投影不同，形体的形状不同；这时，首先要弄清楚图样上给出的是哪些投影图及各投影图之间的相互关系，找出能反映组合体特征的投影图。其次，抓住特征投影图进行分析。在制图时，一般是将最能反映形体特征的图作为主要投影图，因此在读图时也要从此入手，但形体每部分的形状和相互位置的特征，不可能全部集中在一个投影图中表示出来，所以一定要联系其他投影图一起分析，才能正确地想象出整个形体的形状和结构。
组合体由一些基本形体组合而成，因而其投影图必然呈现出一些线框的组合图形。识读组合体投影图时，在已经明确了各投影图之间的关系、抓住了特征投影图的基础上，就要运用形体分析法和线面分析法来综合识图了。
（1）形体分析法
在投影图中，形状特征比较明显的投影，可将其分成若干基本形体，并按各自之间的投影关系，分别想出各个基本形体的形状最后加以综合，想象出整体形体，这种方法称为形体分析法，如图2.14 所示。
图2.14 形体分析法
（2）线面分析法
当投影图不易分成几个部分，或部分投影比较复杂时，可采用线面分析法读图，就是以线、面的投影特征为基础，根据投影图中线段和线框的投影特点，明确它们的空间形状和位置，综合起来想象出整个形体的空间形状，如图2.15 所示。
在进行线面分析时，平面的投影除成为具有积聚性的直线段外还可能投影为与原来形状相类似的图形，即表示平面图形的封闭线框，其边数不变，直线、曲线的相仿性不变，而且平行线的投影仍平行。因此，根据平面投影的类似性和线、平面的投影规律可以帮助形象构思并判断其正确性。
以上两种方法可单独应用，也可综合起来应用；一般是以形体分析为主，再综合线面分析，最后结合想象得出组合体的全貌。
图2.15 线面分析法
在看懂每部分形体的基础上，根据形体的三面投影图进一步研究它们之间的相对位置和连接关系，在大脑中把各形体逐渐归拢，形成一个整体。
一、单项选择题
1.投影中心S在有限的距离内，形成锥状的投影线，所作出的空间形体的投影称为（ ）。
A.中心投影
B.平行投影
C.正投影
D.斜投影
2.点的两面投影的连线，必垂直于相应的（ ）。
A.投影面
B.投影轴
C.投影
D.连线
3.由曲面或由曲面和平面围合成的立体称为（ ）。
A.棱柱体
B.曲面体
C.圆台体
D.球体
4.根据下列立体图和三面投影图，将其编号填在相应投影图的括号内。
二、填空题
1.同一形体的 3 个投影图之间具有的“三等”关系指的是_____、______、______。
2.为便于分析，按形体组合特点，可将组合体分为________、_______、___________3 种类型。
三、思考题
1.正投影有哪些特性？
2.常见的基本形体分为哪几类？
3.组合体的识图方法有哪些？
四、作图题
根据图2.16 画出其 3 个面的投影图（注：大小直接从图上量取）。
图2.16 作图题图