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根据给定的点的两面投影，采用绘图工具绘制点的第三面投影；根据点的空间坐标，采用绘图工具绘制点的三视投影图。
1.掌握投影原理、分类及正投影的特性。
2.理解工程中常用的投影图类型。
3.熟练掌握三面投影体系的形成及展开。
4.掌握点的三面投影图的规律和位置对应关系。
根据典型工作环节2 的资讯材料，完成引导问题，在此基础上完成以下任务，填写“点的投影绘制记录单”。
1.根据立体轴测图找到对应的三面投影图。
2.根据点的三面投影图，绘制直观图。
3.根据直观图，绘制点的三面投影图。
4.补全点的投影，并判定两点在空间的相对位置。
5.已知点 D （30,0,20），点 E （0,0,20），点 F 在点 D 的正前方 25 mm，求点 D , E , F 的三面投影并判别可见性。
6.对照立体图，在三面投影中注明点 A , B , C 的三面投影。
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1.阅读任务书，基本了解任务量、任务难度和任务内容。
2.小组成员对本次任务进行分解，制订合理的实施计划，并进行人员任务分工。
3.学习资讯材料、准备任务书、记录单，填写学生任务分配表。
学生任务分配表
1. 投影
通过物体的一组投射线，在一个选定的面上形成的图形，称为该物体在该面上的投影，如图 1.1 所示。
图1.1 影子与投影
根据投影线之间的相互关系，可将投影分为中心投影和平行投影。
（1）中心投影
当投影中心 S 在有限的距离内，所有的投影线都交于一点时，这种方法产生的投影，称为中心投影，如图 1.2 所示。
（2）平行投影
把投影中心 S 移到离投影面无限远处，则投影线可视为互相平行，由此产生的投影称为平行投影。平行投影的投影线互相平行，所得投影的大小与物体离投影中心的距离无关。
根据投影线与投影面之间的位置关系，平行投影又分为斜投影和正投影两种。投影线与投影面倾斜时称为斜投影，如图 1.3（a）所示。投影线与投影面垂直时称为正投影，如图 1.3（b）所示。
图1.2 中心投影
图1.3 平行投影
2. 投影图类型
工程上常用的投影图有正投影图、轴测投影图、透视投影图和标高投影图。
（1）正投影图
用正投影法将形体向两个或两个以上互相垂直的投影面进行投影，再按照一定的规律将其展开到一个平面上，所得的投影图称为正投影图，如图 1.4 所示。
这种图的优点是能准确地反映物体的形状和大小，作图方便，度量性好。其缺点是立体感差，不宜看懂。因而工程中常用作主要图样。
（2）轴测投影图
轴测投影图是物体在一个投影面上的平行投影，简称轴测图。将物体安置于投影面体系中合适的位置，选择适当的投射方向，即可得到这种富有立体感的轴测投影图，如图 1.5 所示。这种图的优点是立体感强，容易看懂。其缺点是度量性差，作图较麻烦，并且对复杂形体难以表达清楚，因而工程中常用作辅助图样。
（3）透视投影图
透视投影图是物体在一个投影面上的中心投影，简称透视图。这种图形象逼真，像照片一样，但其度量性差，作图繁杂，如图 1.6 所示。在建筑设计中常用透视投影来表现所设计的建筑物建成后的外貌。
图1.4 正投影图
图1.5 轴测投影图
图1.6 透视投影图
（4）标高投影图
作图时将间隔相等而高程不同的等高线（地形表面与水平面的交线）投影到水平投影面上，并标注出各等高线的高程，即标高投影图。它是一种带有数字标记的单面正投影图，用正投影反映物体的长度和宽度，其高度用数字标注，如图 1.7 所示。这种图常用来表达地面的形状，被广泛用于土木工程中。
图1.7 标高投影图
3. 正投影特性
①显实性：当直线或平面与投影面平行时，它们的投影反映实长或实形。
②积聚性：当直线或平面与投影面垂直时，其投影积聚于一点或一直线。
③类似性：当直线段或平面与投影面倾斜时，其投影小于实形，但直线的投影仍为直线，平面的投影仍为平面。当直线段或平面与投影面垂直时，其投影积聚为一点或一直线。
④平行性：当空间两直线互相平行时，它们在同一投影面上的投影仍互相平行。
⑤定比性：直线上两线段长度之比等于其同面投影的长度之比。
（1）三面投影体系的形成
其形体向水平投影面H投影得到单面投影图，此投影图不能确定空间形体的唯一性。形体向水平投影面H和正立投影面V投影得到两面投影图，对复杂形体仍不能确定空间形体的唯一性，如图 1.8 所示。
图1.8 不同形体的一面投影和两面投影
若使正投影图能够唯一确定物体的形状，就必须采用多面正投影的方法，为此，我们设立了三面投影体系。把 3 个互相垂直的平面作为投影面，组成一个三面投影体系，如图 1.9 所示。水平投影面用H标记，简称水平面或H面；正立投影面用V标记，简称正立面或V面；侧立投影面用W标记，简称侧面或W面。两投影面的交线称为投影轴，H面与V面的交线为 OX 轴，H面与W面的交线为 OY 轴，V面与W面的交线为 OZ 轴，它们互相垂直，并交于原点 O 。
图1.9 三面投影体系
（2）三面投影图的方位关系
形体在三面投影体系中的位置确定后，相对观察者，它在空间上有上、下、左、右、前、后 6个方位，如图 1.10（a）所示。这 6 个方位在每个投影图中都可反映出其中 4 个方位。 V面投影反映形体的上下、左右关系，H面投影反映形体的前后、左右关系，W面投影反映形体的前后、上下关系。
图1.10 三面投影图的方位关系
（3）三面投影图的投影关系
在三面投影体系中，形体的 X 轴方向尺寸称为长度， Y 轴方向尺寸称为宽度， Z 轴方向尺寸称为高度。在三面投影中，水平投影图和正面投影图在 X 轴方向都反映物体的长度，它们的位置左右应对正，即“长对正”。正面投影图和侧面投影图在 Z 轴方向都反映物体的高度，它们的位置上下应对齐，即“高平齐”。水平投影图和侧面投影图在 Y 轴方向都反映物体的宽度，这两个宽度一定相等，即“宽相等”。“长对正、高平齐、宽相等”称为“三等关系”。
（4）三面投影图的基本画法
为了把互相垂直的 3 个投影面上的投影画在一张二维的图纸上，我们必须将其展开。为此，假设V面不动，H面沿 OX 轴向下旋转 90°,W面沿 OZ 轴向后旋转 90°，使 3 个投影面处于同一个平面内，如图 1.11（ a）所示。这时 Y 轴分为两条，一条随H面旋转到 OZ 轴的正下方，用 Y H 表示；一条随W面旋转到 OX 轴的正右方，用 Y W 表示，如图 1.11 所示。
图1.11 形体的三面正投影
实际绘图时，在投影图外不必画出投影面的边框，也不必注写H,V,W字样，还不必画出投影轴，这就是形体的三面正投影图，简称三面投影。
（1）点的投影规律
如图 1.12 所示，空间点 A 放置在三面投影体系中，过点 A 分别作垂直于H面、V面、W面的投影线，其投影线与H面的交点（即垂足点） a 称为点 A 的水平投影（H投影）；投影线与V面的交点 a′ 称为点 A 的正面投影（V投影）；投影线与W面的交点 a″ 称为点 A 的侧面投影（W投影）。
在投影法中，空间点用大写字母表示，其在H面的投影用相应的小写字母表示；在V面的投影用相应的小写字母右上角加一撇表示；在W面的投影用相应的小写字母右上角加两撇表示。在图 1.12（ a）中，空间点 A 的三面投影分别用 a a′ ,, a″ 表示。
图1.12 形体的三面投影
点的水平投影和正面投影的连线垂直于 OX 轴（长对正）。
点的正面投影和侧面投影的连线垂直于 OZ 轴（高平齐）。
水平投影到 OX 轴的距离等于侧面投影到 OZ 轴的距离（宽相等）。
（2）点的投影与直角坐标的关系
各投影到投影轴的距离等于该点到通过该轴的相邻投影面的距离（也等于空间点到投影面的距离）。
= A
到H面的距离
= A
到V面的距离
= A
到W面的距离
根据上述投影特性可知，由点的两面投影就可以确定点的空间位置，故只要已知点的任意两个投影，就可以运用投影规律求出该点的第三个投影。
（3）两点的相对位置
空间两点的相对位置可以根据其坐标关系来确定： x 坐标大者在左，小者在右； y 坐标大者在前，小者在后； z 坐标大者在上，小者在下。也可以根据它们的同面投影来确定：V投影反映它们的上下、左右关系，H投影反映它们的左右、前后关系，W投影反映它们的上下、前后关系。
如图 1.13（a）所示，已知 A , B 两点的三面投影。 x A > x B 表示点 A 在点 B 之左， y A > y B 表示点 A 在点 B 之前， z A > z B 表示点 A 在点 B 之上，即点 A 在点 B 的左、前、上方，如图 1.13（b）所示。若已知 A , B 两点的坐标，就可知点 A 在点 B 左方 x A - x B 处（负数为反方向），点 A 在点 B 前方 y A - y B 处（负数为反方向），点 A 在点 B 上方 z A - z B 处（负数为反方向）；反之，如果已知两点的相对位置，以及其中一点的投影，也可以作出另一点的投影。
图1.13 根据两点的投影判断其相对位置
当两个点处于某一投影面的同一投影线上时，则两个点在这个投影面上的投影便互相重合，这个重合的投影称为重影，空间的两点称为重影点。当点 A 位于点 B 的正上方时， A , B 两点是相对于H面的重影点。为了区别重影点的可见性，将不可见点的投影用字母加括号表示，如重影点 a （ b ）。当点 C 位于点 D 的正前方时，它们是相对于V面的重影点，其V面投影为 c′ （ d ′）。当点 E 位于点 F 的正左方时，它们是相对于W面的重影点，其W面投影为 e″ （ f″ ），如图 1.14 所示。
图1.14 在投影面的重投影
范例 1 已知点 A 的水平投影 a 和正面投影 a′ ，求其侧面投影 a ″，如图 1.15（a）所示。
解 作图步骤如下：
①过 a′ 引 OZ 轴的垂线 a′a z ，所求 a″ 必在这条延长线上，如图 1.15（b）所示。
②在 a′a z 的延长线上截取 a z a″ = aa x , a″ 即为所求，如图 1.15（c）所示。或以原点 O 为圆心，以 aa x 为半径作弧，再向上引线，如图 1.15（d）箭头所示；也可过原点 O 作 45°辅助线，过点 a 作 aa yH ⊥ OY H 并延长交所作辅助线于一点，过此点作 OY W 轴垂线交 a′a z 于一点，此点即为″ a ，如图 1.15（e）箭头所示。
范例 2 已知点 A （14,10,20），作其三面投影图。
图1.15 求点的三面投影
解 作图步骤如下：
（1）方法一：如图 1.16 所示。
①在投影轴 OX , OY H 和 OY W , OZ 上，分别从原点 O 截取 14,10,20 mm，得点 a x , a yH 和 a yW , a z 。
②过点 a x , a yH , a yW , a z 分别做投影轴 OX , OY H , OY W , OZ 的垂线，得点 A 的三面投影 a , a′ , a″ 。
图1.16 点的投影与坐标（方法一）
图1.17 点的投影与坐标（方法二）
（2）方法二：如图 1.17 所示。
①在 OX 轴上，从点 O 截取 14 mm，得点 a x 。
②过点 a x 作 OX 轴的垂线，在此垂线上，从点 a x 向下截取 10 mm，得点 a ，从点 a x 向上截取 20 mm，得点 a ′。
③在 OY H 和 OY W 轴之间作 45°辅助线，从点 a 作 OY H 的垂线与 45°线交得点 a O ；过点 a O 作 OY W 轴垂线，过点 a′ 作 OZ 轴垂线，与过点 a O 作 OY W 的垂线交于点 a″ 。
（1）学习资讯材料
掌握其中投影的概念、分类、常用类型及特性，三面投影体系的建立、三面投影图的画法、点的投影的求解，填写工作任务单。
（2）回答引导问题
引导问题1： Z 投影轴表示物体的（ ）。
A.高度 B.长度 C.宽度 D.角度
引导问题2：水平投影面的表示符号是（ ）。
A. W B. H C. V D. Y
引导问题3：物体的三视图是按照（ ）方法绘制的。
A.正投影 B.斜投影 C.中心投影 D.透视投影
引导问题4：物体在俯视投影面上反映的方向是（ ）。
A.上下、左右 B.前后、左右 C.上下、前后 D.上下、左右
引导问题5：空间点 A 在W面上的投影如何表示？（ ）
A. A B. a C. a ′ D. a ″
引导问题6：若点 A 与点 B 是重影点，点 A 在点 B 的正下方，其水平投影图应如何表示？（ ）
A. a （ b ） B. （ a ） b C. b （ a ） D. （ b ） a
（1）学生自评
学生自评表
（2）学生互评
学生互评表
续表
（3）教师评价
教师评价表
1.已知点 A 到 3 个投影面的距离均为 10 mm，点 B 在H面上，且点 B 在点 A 正前方10 mm，正左方 15 mm，请完成 A , B 两点的投影。
2.已知点 A 的投影，点 B 在点 A 的正左方 15 mm，点 C 在点 A 的正下方 15 mm，点 D 在点 A 的正前方 15 mm，求 B , C , D 的三面投影，并判别可见性。
