画说通信原理最新章节_张卫钢著

第1.8讲
如何理解香农公式

1.8.1　香农公式

在交通理论中有一个重要概念——道路通行能力，它是指一条道路某一断面上单位时间能够通过的最大车辆数，亦称道路容量，单位为“辆/小时”。注意：也可描述通过的行人数。道路交通量示意图如图1-30所示。

图1-30　道路交通量示意图

类比道路容量，可定义一个衡量信道性能的指标——信道容量。

信道容量：单位时间内信道上所传输的最大信息量。 可用信道最大信息传输速率表示。

一个给定连续信道的信道容量与什么因素有关呢？

大家知道，一个频带受限的模拟信号所携带的信息量与其带宽有关。比如，电话系统中话音信号的带宽约为4kHz（类比小汽车），而电视系统中图像信号的带宽为6MHz（类比大汽车）。可见，信号的频带越宽，意味着携带的信息量越大，传输该信号的信道带宽也要随之增大。显然，信道容量与信道通频带有直接关系。另外，在一个实际信道中，除了被传输的有用信号之外，不可避免地还混有各种噪声，而噪声也会直接影响信号传输质量。因此，信道容量受到噪声和带宽的双重制约。

1948年美国数学家香农在论文《通信的数学理论》中提出了著名的香农公式。该公式给出了信道容量与信道带宽和白色高斯噪声或信道输出信噪比之间的关系

式中， C 为信道容量（bit/s）， B 为信道带宽（Hz）， S 是信号功率， N 是噪声功率。

信噪比是通信技术中一个重要的概念，其定义如下。

信噪比：信号功率与噪声功率之比，简记为SNR。

信噪比通常取分贝值（dB），有

1.8.2　对香农公式的解释

式（1-3）可用下面的实例帮助理解。

设有一段公路（类比一个信道），用每秒通过这段公路的汽车数作为交通量（类比信息量 C ），公路的宽度类比信道宽度 B ， S 代表汽车数， N 表示公路上行人的数量（类比干扰信号）。显然，交通量与道路宽度成正比，路越宽，单位时间通过的车辆数越多；交通量还与路上车辆数与行人数之比有关系，行人越多，占据的路面就越宽，可供车辆通行的路面也就越窄， S / N 就小，反之， S / N 变大，交通量就大。

因噪声功率 N 与信道的频带宽度有关，设单边噪声功率谱密度为 n ₀ 且有 n ₀ B = N ，则可得到香农公式的另一种形式

1.8.3　结语

（1）一个给定信道的信道容量受 B 、 S 、 n ₀ 三要素的约束或三要素决定信道容量。

（2）提高信噪比，可提高信道容量。

（3）一个给定信道的信道容量既可以通过增加信道带宽减少信号发射功率也可通过减少信道带宽增加信号发射功率来保证。也就是说，信道容量可通过带宽与信噪比的互换而保持不变。比如，若 S / N =7， B =4kHz，由香农公式可算出 C =12×10 ³ bit/s；同样的 C 值，还可由 S / N =15和 B =3kHz来保证。

（4）虽然 C 与 B 成正比关系，但 B →∞时， C 却不能随之趋于无穷大。

带宽与信噪比互换的概念非常重要，香农公式虽未给出具体的实现方法，但却在理论上阐明了这一概念的极限情况，为后人指出了努力的方向。比如，编码、调制等技术就可在一定程度上实现带宽与信噪比的互换。

在实际应用中，具体以谁换谁要视情况而定。比如，在地面与卫星或宇宙飞船的通信中，因信噪比很低且功率十分宝贵，所以常用加大带宽来保证通信容量；而在有线载波通信中，因信道频带很紧张，这时就要考虑用提高信号功率来减少各路信号的带宽，以增大载波路数，保证信道容量。