2.2 有限元分析原理

2.2.1 索单元的模拟

随着非线性有限元理论的发展，索单元的有限元模拟方法不断丰富，目前常用的主要有两节点直杆单元模型、两节点悬链线索单元模型、三节点等参元模型、五节点等参元模型等。

柔性的钢索在自重作用下会产生一定垂度，但是当索自重较小或索段拉力远大于自重作用时，可以将索理想化为直线。两节点直杆单元模型忽略索单元的柔度和自重垂度引起的非线性，适用于刚度较大、预应力水平较高的索结构；两节点悬链线索单元模型考虑了索自重垂度的影响，缺点是表达式复杂、计算工作量大；三节点等参元模型（三节点抛物线模型）采用等参概念避免了局部坐标系与整体坐标系之间的转化，适用于垂度大的索结构；五节点等参元模型适用于模拟垂度大、非线性强的悬索结构，精确度高，但相应计算量也有所增加。各索单元模型如图 2-13 所示。

对于索承网格结构，由于拉索预应力较大、索自重对垂度的影响很小可忽略不计，上海浦东足球场工程采用两节点直杆索单元模型，并假定如下：①索是理想柔性单元，只能承受拉力，不能承受弯矩和剪力；②索端外联节点为理想铰接节点，忽略节点对杆单元转动的影响；③索在施工及使用阶段受力均符合虎克定律，材料始终处于线弹性阶段；④索段呈直线，忽略索垂度的影响，仅受节点荷载作用。

2.2.2 预应力的模拟

结构在等效预张力和重力作用下达到施工成型态，等效预张力P是模拟拉索张拉、钢构受压的一种分析手段。等效预张力的模拟通常有三种方法：

（1）力模拟法：通过在索段两端施加大小相等、方向相反的力来模拟千斤顶张拉过程。

（2）初应变法：通过在索段上施加初应变来模拟，力学概念清晰、易操作。

（3）等效温差法：利用材料热胀冷缩的性质，根据温度线膨胀系数对拉索施加温度荷载使之收缩模拟张拉过程。

等效预张力P与等效温差∆T ₀ 与等效初应变∆ε ₀ 之间的关系为：

式中，P——等效预张力；α——温度线膨胀系数；E——材料弹性模量；A——构件截面面积；∆T ₀ ——等效温差；∆ε ₀ ——等效初应变。

本工程采用等效温差法模拟结构中拉索预拉力和钢构的预压力。

2.2.3 非线性分析方法

结构非线性包括状态变化、材料非线性和几何非线性，一般而言非线性不是很强的结构完全可以由线性理论进行求解。对于张力结构来说，因结构具有较强几何非线性，必须采用非线性分析。面对复杂的非线性求解问题，目前非线性分析常采用的一个行之有效的方法是利用线性方程逐步逼近非线性解。因此，非线性问题求解的实质是使非线性方程线性化并选择线性近似的策略和算法。

非线性代数方程组的常用求解方法有直接迭代法、全Newton-Raphson方法、修正的Newton-Raphson方法及荷载增量法等，本工程采用常用的全N.R.迭代方法求解。N.R.法将非线性方程组线性化，每进行一次迭代正切刚度矩阵就修改一次，直到达到计算收敛条件。

对非线性问题，将结构单元进行离散化后得到下列非线性方程组：

可将上式表达为：

其中，u为位移向量，刚度矩阵k（u）为关于u的n阶方阵，f为荷载向量。

若得到近似解u ⁿ ，为进一步得到近似解 可将｛Ψ（u）｝在 处进行Taylor级数展开并只保留线性项，即

式中，k＝d（Ψ）/ d（u）表示切线矩阵。

重复上述迭代求解过程至满足迭代收敛条件： 为无穷小量。其中，d（Ψ）/ d（u）的正定性是方程组有解的必要条件。采用N.R.法求解单自由度系统的分析过程可以用图 2-14 表示。