2.2 有限元分析原理

2.2.1 索单元的模拟

随着非线性有限元理论的发展，索单元的有限元模拟方法不断丰富，目前常用的主要有两节点直杆单元模型、两节点悬链线索单元模型、三节点等参元模型、五节点等参元模型等。

柔性的钢索在自重作用下会产生一定垂度，但是当索自重较小或索段拉力远大于自重作用时，可以将索理想化为直线。两节点直杆单元模型忽略索单元的柔度和自重垂度引起的非线性，适用于刚度较大、预应力水平较高的索结构；两节点悬链线索单元模型考虑了索自重垂度的影响，缺点是表达式复杂、计算工作量大；三节点等参元模型（三节点抛物线模型）采用等参概念避免了局部坐标系与整体坐标系之间的转化，适用于垂度大的索结构；五节点等参元模型适用于模拟垂度大、非线性强的悬索结构，精确度高，但相应计算量也有所增加。各索单元模型如图 2-13 所示。

对于索承网格结构，由于拉索预应力较大、索自重对垂度的影响很小可忽略不计，上海浦东足球场工程采用两节点直杆索单元模型，并假定如下：①索是理想柔性单元，只能承受拉力，不能承受弯矩和剪力；②索端外联节点为理想铰接节点，忽略节点对杆单元转动的影响；③索在施工及使用阶段受力均符合虎克定律，材料始终处于线弹性阶段；④索段呈直线，忽略索垂度的影响，仅受节点荷载作用。

2.2.2 预应力的模拟

结构在等效预张力和重力作用下达到施工成型态，等效预张力P是模拟拉索张拉、钢构受压的一种分析手段。等效预张力的模拟通常有三种方法：

（1）力模拟法：通过在索段两端施加大小相等、方向相反的力来模拟千斤顶张拉过程。

（2）初应变法：通过在索段上施加初应变来模拟，力学概念清晰、易操作。

（3）等效温差法：利用材料热胀冷缩的性质，根据温度线膨胀系数对拉索施加温度荷载使之收缩模拟张拉过程。

等效预张力P与等效温差∆T ₀ 与等效初应变∆ε ₀ 之间的关系为：

式中，P——等效预张力；α——温度线膨胀系数；E——材料弹性模量；A——构件截面面积；∆T ₀ ——等效温差；∆ε ₀ ——等效初应变。

本工程采用等效温差法模拟结构中拉索预拉力和钢构的预压力。

2.2.3 非线性分析方法

结构非线性包括状态变化、材料非线性和几何非线性，一般而言非线性不是很强的结构完全可以由线性理论进行求解。对于张力结构来说，因结构具有较强几何非线性，必须采用非线性分析。面对复杂的非线性求解问题，目前非线性分析常采用的一个行之有效的方法是利用线性方程逐步逼近非线性解。因此，非线性问题求解的实质是使非线性方程线性化并选择线性近似的策略和算法。

非线性代数方程组的常用求解方法有直接迭代法、全Newton-Raphson方法、修正的Newton-Raphson方法及荷载增量法等，本工程采用常用的全N.R.迭代方法求解。N.R.法将非线性方程组线性化，每进行一次迭代正切刚度矩阵就修改一次，直到达到计算收敛条件。

对非线性问题，将结构单元进行离散化后得到下列非线性方程组：

可将上式表达为：

其中，u为位移向量，刚度矩阵k（u）为关于u的n阶方阵，f为荷载向量。

若得到近似解u ⁿ ，为进一步得到近似解 可将｛Ψ（u）｝在 处进行Taylor级数展开并只保留线性项，即

式中，k＝d（Ψ）/ d（u）表示切线矩阵。

重复上述迭代求解过程至满足迭代收敛条件： 为无穷小量。其中，d（Ψ）/ d（u）的正定性是方程组有解的必要条件。采用N.R.法求解单自由度系统的分析过程可以用图 2-14 表示。

2.3 有限元模型

作为国际流行的大型通用有限元分析软件，ANSYS软件丰富的单元库可以准确模拟拉索、钢构、胎架等结构和施工临时构件。此外，ANSYS软件具有强大的非线性分析功能，方便用户二次开发，在大型体育场、会展中心等索结构项目分析中得到广泛应用。利用ANSYS的生死单元可以实现施工过程中构件的安装和拆除，跟踪施工过程结构形态和应力的变化：对“杀死”单元的刚度矩阵乘以一个很小的因子，使得最终模型的求解结果中不包含死单元的质量和能量；“激活”单元时则恢复其刚度、质量和荷载值。

上海浦东足球场工程采用ANSYS软件建立屋盖钢结构整体模型，并进行基于施工全过程的整体结构找力分析和施工全过程仿真分析。有限元分析模型包含胎架、立柱、压环梁、环索、径向索、圈梁、V形撑、柱间支撑、屋面支撑和屋面板等，如图 2-15 所示。

2.3.1 单元类型

2.3.1.1 Link180

ANSYS新版本中合并了单维拉压的Link8 和具有双线性刚度矩阵的Link10 单元，取而代之的是Link180。Link180 属于 2 节点空间杆单元，每个节点有 3 个平动自由度，杆端无弯矩。具有塑性、徐变、膨胀、应力强化和大变形的特性，可用于模拟两端铰接立柱。通过设置单元属性，Link180 还可用于模拟拉索、钢拉杆等只受拉单元，当构件受压时，刚度立即消失。Link180 单元在本工程ANSYS模型中的分布如图 2-16 所示。

2.3.1.2 Beam188

Beam188 单元属于 3D梁单元，基于铁摩辛柯梁理论可考虑剪切变形影响，每个节点6 或 7 个自由度（含扭转自由度），可自定义梁截面。适用于线性、大旋转和大应变非线性分析，可通过endrelease命令进行单元自由度的释放。本工程用于模拟上层网格中的径向梁、圈梁、索夹、V形撑等结构构件。由于V形撑与主梁及索夹采用销轴连接，故对释放其平面内旋转自由度。Beam188 单元在本工程ANSYS模型中的分布如图 2-17 所示。此外，对于模拟构件截面偏心的刚臂也可采用Beam188 单元来模拟，如图 2-18 所示，其刚度为无穷大，质量为 0。

2.3.1.3 Mass21

Mass21 单元属于 6 自由度的点元素，可分别定义每个自由度的质量和惯性矩。径向索以及环索的索头均采用高强度铸钢件，体型小而质量较大，不能在结构计算忽略，也不宜通过统一加大结构自重进行考虑，所以在结构计算中采用质量单元的方式来模拟索夹、索头质量。Mass21 单元分布如图 2-19 所示。

2.3.1.4 Surf154

Surf154 为 3D结构表面效应单元，可用于屋面荷载的模拟。通过实常数的输入来模拟屋面自重，图 2-20 中不同颜色分区表示不同的屋面恒载。

2.3.1.5 Combin14

Combin14 为带阻尼弹簧单元，该单元没有质量，可用作轴向或扭转阻尼。当作为轴向阻尼时，仅受单轴拉压，每个节点 3 个平动自由度，不考虑弯曲或扭转；当作为扭转阻尼时，仅受纯扭转，每个节点 3 个转动自由度，不考虑弯曲或轴向变形。如图 2-21 所示，本工程结构柱置于悬挑看台上，可用来模拟下部看台刚度对上部钢屋盖位移的影响。柱底Combin14 单元如图 2-22 所示。

2.3.2 材料力学参数

由于径向索主梁、圈梁和压环梁以受压为主。如图 2-23 所示，其截面尺寸通常由稳定承载力控制，故在箱型截面内部设置相应的加劲肋以增强其稳定性。本模型将设有不同类型加劲肋的梁的质量密度换算成等大箱型截面对应的质量密度，以考虑加劲肋对结构自重的影响。钢构单元和拉索的材料力学参数见表 2-2。

2.3.3 荷载条件

整个屋盖结构在施工阶段荷载主要包括恒载和预应力两部分，其中恒载包括结构自重、屋面灯具及马道荷载等，预应力荷载分为拉索预应力和钢构预应力。拉索预应力分布在径向索和环索上，钢构预应力分布在径向主梁（不含最内/外悬挑梁）、压环梁和V形撑（内、外肢）上。

2.3.3.1 恒载

（1）结构构件自重：由软件自动计算。

（2）索头及索夹重量：以质量单元形式施加在结构上。

（3）屋面灯具马道等荷载：如图 2-24 所示，马道恒载作用在V形撑、V形撑横梁和屋面上，以集中力荷载的形式施加。

2.3.3.2 预应力荷载

预应力荷载的施加通过等效温差来实现，根据力流传递路径，构件的预应力分布如图 2-25、图 2-26 所示。

2.3.4 边界条件

节点连接方式如下：①柱顶与圈梁铰接；②压环梁、圈梁与径向梁的连接为刚接，局部圈梁一端铰接；③拉索两端为铰接；④V形撑与径向梁、索夹为铰接；⑤内、外屋面支撑与径向梁为铰接。

如图 2-27 所示，为考虑摇摆柱底部悬挑看台竖向刚度对上部屋盖结构的影响，本模型在立柱底部设置弹簧单元、铰接约束，实现对足球场的精准模拟。弹簧标号及竖向刚度如图 2-28、表 2-3 所示。