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本节不介绍难以理解的量子力学的相关概念，只是从数学和计算的角度去介绍量子比特。为了方便理解，与经典计算机中的比特相似，科学家们把量子计算机中基本的信息处理和存储单元称为量子比特，但量子比特与经典比特有很多的不同之处。
首先，经典比特是经典计算机中存储信息的最小单位。而量子比特（qubit）不仅可以存储量子计算机在计算过程中所需的数据信息，还可以处理这些数据信息。这使得量子计算机成为存算一体的计算架构，从而解决了经典计算机的“冯·诺依曼瓶颈”问题。
其次，经典比特只能表示两种状态（0或1），且每次只能表示一个状态。而量子比特利用了量子力学的叠加态原理，可以同时表示多个状态，所以量子计算机存储的信息密度远高于经典计算机存储。这意味着，在同等硬件资源的情况下，量子计算机能够存储更多的信息。除此之外，量子计算能够利用量子叠加原理在同一时间处理多个计算任务，从而实现并行计算。相比之下，经典计算的并行能力受到硬件和处理器数量的限制。
再次，两个或多个量子比特可通过量子逻辑门操作演化为一种纠缠状态。处于纠缠状态的量子比特，确定了一个比特的状态，其他比特的状态自然就确定了，这是独立的经典比特系统中不存在的特性。量子计算机利用纠缠关系可以更好地处理那些涉及许多相互关联变量的复杂问题，如量子模拟、组合优化等。这些问题在经典计算机上往往难以高效解决，而量子计算机利用高度关联的计算资源可以显著提高解决这类问题的能力。
最后，从存算一体、量子叠加和量子纠缠三个角度来看，量子比特与经典比特之间的区别使得量子计算具有显著的优势。那么如何利用这些量子比特的特性进行计算呢？在回答这个问题之前，需要先了解一些关于量子比特的数学概念。
在经典计算中，经典比特的状态用0或1表示，而在量子计算中可以用
、
、
、
表示量子比特的状态，“
”是狄拉克（Dirac）括号。为了与经典计算的二进制规则兼容，本书后续章节只使用
、
这两种状态。量子比特是可以处在多种状态的叠加态的，也就是说量子比特可以处在
、
这两种状态的叠加状态，那怎么表示这种叠加状态呢？可以把量子比特表示为二维复向量空间
中的一个单位向量。设
、
为
的一组基，则一个量子比特可以表示为
(1.1)
其中，
、
都是复数，称为振幅，且满足归一化条件
。
接下来，考虑将
表示为一个特定的形式。这种形式通常称为布洛赫（Bloch）球, 如图1.1所示。
布洛赫球的北极表示
，南极表示
。根据布洛赫球表示法，可以将任意单量子比特量子态写为
(1.2)
其中，
和
是实数，
是任意相位。这种表示方式的物理意义是，
和
描述了
在布洛赫球上的位置，
描述了
的全局相位。由于
对观测值没有实质性的影响，所以这里可以忽略。进而，可以表示为
(1.3)
图1.1 布洛赫球
显然，这里
对应球上的点
。
下面证明如果将
表示为式（1.2），则有
和
。首先，将式（1.2）代入式（1.1）：
(1.4)
这样，可以得到：
(1.5)
然后，计算
：
(1.6)
这证明了第一个等式。同时，第二个等式也得到了验证。
因此，
和
是等价的。
假设有两个量子比特，应该如何表示它们的量子态？首先确定的是，两个量子比特可能会有4个状态
、
、
、
，相对应的应该有4个振幅（
、
、
、
），则这两个量子比特对应的
应该是
(1.7)
其中，
、
、
、
为复数，且
。
以此类推，对于一个由多个量子比特组成的系统，它的量子态可以表示为
, 其中
为量子比特数，
为振幅，且
。此外，还可以考虑使用线性代数中的向量表示量子态。在量子理论中，描述量子态的向量称为态矢，态矢分为左矢和右矢。
(1.8)
态矢中的每一个元素都是复数，T表示转置，
表示复共轭。右矢是
的列向量，左矢是
的行向量。相应地，内积与外积定义为：设
，
，有
(1.9)
拥有两个或两个以上的量子比特的量子系统通常被称为复合物理系统。复合物理系统的状态空间由子物理系统状态空间的张量积生成。下面，简要介绍张量积（Tensor Product）。
两个向量空间通过张量积运算可以形成一个更大的向量空间。在量子力学中，量子的状态由希尔伯特空间（Hilbert Space）中的单位向量来描述。设
和
分别是
维和
维的希尔伯特空间，
和
的张量积可形成一个
维的希尔伯特空间
。张量积满足的运算规则如下。
（1）张量积对应的矩阵运算为克罗内克（Kronecker）乘积：设矩阵
和
，有
(1.10)
（2）设矩阵
、
、
、
以及常数
，它们满足以下运算规则：
举例说明，对于2维的希尔伯特空间
和
，均有一组标准正交基
，那么
的标准正交基为
。如果有被
到
标记的系统，第
个系统的状态为
，那么生成的整个系统的联合状态为
。
复合物理系统有单量子系统不具有的另一个奇特现象——纠缠（Entanglement）。在数学上，设量子态
，若不存在
及
，使得
(1.11)
则称
是纠缠的（Entangled）。否则，称
不处于纠缠态。例如，
是纠缠态，而
是非纠缠态。最大叠加态是指系数相等且包含所有基向量的叠加态，又称均衡叠加态。
注 1.1 复合物理系统的状态演变等价于矩阵算符作用在初始状态上（矩阵的乘法运算），与单个系统相比，多了每个子系统的矩阵算符的张量积运算。