1.3　导数的应用

1.3.1　单调性与极值点

首先，大家熟知的是，可以借助导数判断函数 的单调性.

●若 ，则 单调递增；

●若 ，则 单调递减；

●若 ，则 的单调性需要进一步判断.

对于一些比较复杂的函数而言，通过求导数判断单调性，比直接通过定义判断来得容易得多.

例1.6 设函数 ，判断 的单调性.

解答 计算得 ，有 . 当 时 ，当 时 ，故 在 内单调递减，在 内单调递增.

我们知道，函数的最大值和最小值，指的是函数值的最大取值和最小取值.另外，高中教材也给出了函数的极大值和极小值的概念.许多人对函数的极大值的理解是“导函数有变号零点”，即导函数存在某个零点 ，且导函数图像在 轴上穿过零点对应的点 .然而，极值点的严格定义是函数在某个开区间上的最值点，这个是大家很容易忽略的.

定义1.2 （极值点与极值）　函数 在某个开区间 上的最大值点称为 极大值点 ，最小值点称为 极小值点 ，对应的函数值分别称为 极大值 和 极小值 .

通过上面的介绍，我们知道，导数可以用于判断函数的单调性和极值，可以给出如下的极值点的判断方法：

●若 ，且在 附近有 ，即在 附近有

则 为 的极小值点， 为 的极小值；

●若 ，且在 附近有 ，即在 附近有

则 为 的极大值点， 为 的极大值.

事实上，如果 ，则 与 同号，即当 时 ，而当 时 ，这就说明了 是 的极小值点.在做题时，有时候会出现多个式子相乘后与0比较大小的不等式，这个时候也应该用类似的方法.

再进一步，如果函数的二阶导数存在，可以进一步对函数求二阶导数，并有如下的判断方法：

●若 ，则 为 的极小值点；

●若 ，则 为 的极大值点.

以第一种情况为例，如果 ，那么 应该在 附近单调递增，这使得当 时有 ，而当 时有 ，因此 为 的极小值点.

例1.7 设函数 ，求 的极小值点和极小值.

解答 根据上例，知 是 的极小值点，极小值 .

许多高考题只需要对函数的单调性进行分析就可以解决，见下面的真题.

真题1.5 （取自2020年 II 卷文数）　已知函数 .

（1）若 ，求 的取值范围；

（2）设 ，讨论函数 的单调性.

解答 （1）根据 ，令 ，其中 ，计算得

，

因此 在 内单调递增，在 内单调递减. .因此 的取值范围是 .

（2）此时 ，其中 且 ，计算得

.

令 ，计算得

，

因此 在 内单调递增，在 内单调递减， ，从而 ，这说明了 在 和 内单调递减.

下面的题目涉及极值点，但是因为函数较为复杂，难度较大.

真题1.6 （取自2018年 III 卷理数）　已知函数 .

（1）若 ，证明：当 时， ；当 时， ；

（2）若 是 的极大值点，求 .

第一问不难，只需要判断函数 的单调性即可.在后面我们会指出，这一问涉及的是一个非常重要的不等式；第二问有多种做法，一方面可以采取多次求导的方式，另一方面可以令

，

则当 时， 的极大值点也是 的极大值点，从而简化了求解过程.

解答 （1）当 时， ，计算得

，

因此 在 内单调递减，在 内单调递增， ，因此 在 内单调递增.注意到 ，因此当 时 ，而当 时 .

（2）若 ，则由（1）知，当 时，有

，

此与 是 的极大值点矛盾.以下设 ，当 时，有 ，令

，

则 ，当且仅当 是 的极大值点时， 是 的极大值点.计算得

.

考虑函数 ，其中 ，则 ，由此进行讨论.

（ⅰ）若 ，则

，

从而 在 内单调递增，在 内单调递减， 是 的极大值点；

（ii）若 ，则 在0附近单调递增 ^[2] ，此与 是极大值点矛盾；

（iii）若 ，则 在0附近单调递减，此与 是极大值点矛盾.综上， .

1.3.2　凹凸性与拐点

从函数图像来看，有些函数是往上面凸的，而有些函数是往下面凸的（见下页图）.如果某个函数是下凸的，那么其导数应该是单调递增的；如果某个函数是上凸的，那么其导数是单调递减的.在此基础上，可以定义函数的凹凸性.

定义1.3 （凹凸性）　设函数 二阶可导，若 ，则称 为 下凸函数 ；反之，若 ，则称 为 上凸函数 .

例1.8 若 ，判断其凹凸性.

解答 计算得 ，因此 是下凸函数.

另外，所谓的“拐点”是函数图像凹凸性改变的点.等价地说， 的极值点称为 的 拐点 .一个重要的例子是 Logistic 函数（或称逻辑斯谛函数），该函数可以用来刻画某个种群的数量变化，或者某种疾病感染者的数量变化.

例1.9 考虑 Logistic 函数

.

设 ，判断其单调性和凹凸性，并写出其拐点.

解答 此时 ，计算得

.

注意到 ，因此 在 内单调递增；再注意到 在 内单调递增，在 内单调递减.因此 的图像在 下凸，在 上凸，拐点 （见下页图）.

在这个函数表达式的基础上，可以进一步思考：这个函数的参数 和 有什么含义？计算得到 ，因此 代表的是初值；并且当 时， ，因此 代表的是函数的极限；根据图像，还可以看出拐点处的函数值为 .这有助于我们理解 Logistic 模型，并且和生物里的“S”形曲线联系在一起.

真题1.7 （取自2020年 III 卷理数）　Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布的数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 的单位：天）的 Logistic 模型： ，其中 为最大确诊病例数.当 时，标志着已初步遏制疫情，则 约为 .

A．60

B．63

C．66

D．69

解答 令

，

解得 ，因此 B 选项正确.

或许读者会在其他地方看到凸函数的等价定义.有时候，也称满足

的函数为凸函数，前面对应的是下凸的情形，后面对应的是上凸的情形.上述的等式也可以被拓展到 个变量的情况.

定理1.4 （琴生不等式）　设 是下凸函数，则有

；

设 是上凸函数，则有

，

上述不等式当且仅当 或 时取等.

琴生不等式可以用于证明 元均值不等式.考虑函数 ，则有 ， ，因此 是上凸函数.于是，对正数 ，有

，

再结合 的单调性，即可得到

，

感兴趣的读者也可以尝试用琴生不等式得到其他的均值不等式.

1.3.3　证明不等式

通常，结合一个函数的单调性和极值点，即可得到不等式.

例1.10 当 时，证明： .

解答 考虑函数 ，由上文知 在 内单调递减，在 内单调递增，则 是 的最小值点，最小值 ，从而

，

这便证明了该不等式.

例1.11 当 时，证明： .

解答 考虑函数 ，计算得

，

因此 在 内单调递增，从而

.

这便证明了该不等式.

高考题中也会有证明不等式的问题，对于大多数情况，结合函数的单调性就能得到不等式.

真题1.8 （取自2023年新高考 I 卷）　已知函数 .证明：当 时， .

解答 计算得 ，令 ，解得 .当 时 ，当 时 ，因此 在 内单调递减，在 内单调递增，有

.

要证明 ，只需证明关于 的不等式 ，即证明不等式 ，其中 .为此，构造函数

.

当 时 ，当 时 .因此 在 内单调递减，在 内单调递增，因此有

，

这便完成了证明.

许多高考题都和不等式直接或间接相关，因此本书后面专门有一讲介绍函数相关的不等式，例如 和 .

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[2] 这里 g （ x ）是二次函数，若不放心，可以利用求根公式求出其零点，并且结合图像判断正负. 6+UzgRZqZWjwghe9fZ79/BqNGublCKUsODhZBTxZJ6Mil3NkTSqXHKop0knClYPH