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首先，大家熟知的是，可以借助导数判断函数
的单调性.
●若
，则
单调递增；
●若
，则
单调递减；
●若
，则
的单调性需要进一步判断.
对于一些比较复杂的函数而言，通过求导数判断单调性，比直接通过定义判断来得容易得多.
例1.6
设函数
，判断
的单调性.
解答
计算得
，有
. 当
时
，当
时
，故
在
内单调递减，在
内单调递增.
我们知道，函数的最大值和最小值，指的是函数值的最大取值和最小取值.另外，高中教材也给出了函数的极大值和极小值的概念.许多人对函数的极大值的理解是“导函数有变号零点”，即导函数存在某个零点
，且导函数图像在
轴上穿过零点对应的点
.然而，极值点的严格定义是函数在某个开区间上的最值点，这个是大家很容易忽略的.
定义1.2
（极值点与极值） 函数
在某个开区间
上的最大值点称为
极大值点
，最小值点称为
极小值点
，对应的函数值分别称为
极大值
和
极小值
.
通过上面的介绍，我们知道，导数可以用于判断函数的单调性和极值，可以给出如下的极值点的判断方法：
●若
，且在
附近有
，即在
附近有
则
为
的极小值点，
为
的极小值；
●若
，且在
附近有
，即在
附近有
则
为
的极大值点，
为
的极大值.
事实上，如果
，则
与
同号，即当
时
，而当
时
，这就说明了
是
的极小值点.在做题时，有时候会出现多个式子相乘后与0比较大小的不等式，这个时候也应该用类似的方法.
再进一步，如果函数的二阶导数存在，可以进一步对函数求二阶导数，并有如下的判断方法：
●若
，则
为
的极小值点；
●若
，则
为
的极大值点.
以第一种情况为例，如果
，那么
应该在
附近单调递增，这使得当
时有
，而当
时有
，因此
为
的极小值点.
例1.7
设函数
，求
的极小值点和极小值.
解答
根据上例，知
是
的极小值点，极小值
.
许多高考题只需要对函数的单调性进行分析就可以解决，见下面的真题.
真题1.5
（取自2020年 II 卷文数） 已知函数
.
（1）若
，求
的取值范围；
（2）设
，讨论函数
的单调性.
解答
（1）根据
，令
，其中
，计算得
，
因此
在
内单调递增，在
内单调递减.
.因此
的取值范围是
.
（2）此时
，其中
且
，计算得
.
令
，计算得
，
因此
在
内单调递增，在
内单调递减，
，从而
，这说明了
在
和
内单调递减.
下面的题目涉及极值点，但是因为函数较为复杂，难度较大.
真题1.6
（取自2018年 III 卷理数） 已知函数
.
（1）若
，证明：当
时，
；当
时，
；
（2）若
是
的极大值点，求
.
第一问不难，只需要判断函数
的单调性即可.在后面我们会指出，这一问涉及的是一个非常重要的不等式；第二问有多种做法，一方面可以采取多次求导的方式，另一方面可以令
，
则当
时，
的极大值点也是
的极大值点，从而简化了求解过程.
解答
（1）当
时，
，计算得
，
因此
在
内单调递减，在
内单调递增，
，因此
在
内单调递增.注意到
，因此当
时
，而当
时
.
（2）若
，则由（1）知，当
时，有
，
此与
是
的极大值点矛盾.以下设
，当
时，有
，令
，
则
，当且仅当
是
的极大值点时，
是
的极大值点.计算得
.
考虑函数
，其中
，则
，由此进行讨论.
（ⅰ）若
，则
，
从而
在
内单调递增，在
内单调递减，
是
的极大值点；
（ii）若
，则
在0附近单调递增
[2]
，此与
是极大值点矛盾；
（iii）若
，则
在0附近单调递减，此与
是极大值点矛盾.综上，
.
从函数图像来看，有些函数是往上面凸的，而有些函数是往下面凸的（见下页图）.如果某个函数是下凸的，那么其导数应该是单调递增的；如果某个函数是上凸的，那么其导数是单调递减的.在此基础上，可以定义函数的凹凸性.
典型的下凸函数的图像
定义1.3
（凹凸性） 设函数
二阶可导，若
，则称
为
下凸函数
；反之，若
，则称
为
上凸函数
.
例1.8
若
，判断其凹凸性.
解答
计算得
，因此
是下凸函数.
另外，所谓的“拐点”是函数图像凹凸性改变的点.等价地说，
的极值点称为
的
拐点
.一个重要的例子是 Logistic 函数（或称逻辑斯谛函数），该函数可以用来刻画某个种群的数量变化，或者某种疾病感染者的数量变化.
例1.9 考虑 Logistic 函数
.
设
，判断其单调性和凹凸性，并写出其拐点.
解答
此时
，计算得
.
注意到
，因此
在
内单调递增；再注意到
在
内单调递增，在
内单调递减.因此
的图像在
下凸，在
上凸，拐点
（见下页图）.
在这个函数表达式的基础上，可以进一步思考：这个函数的参数
和
有什么含义？计算得到
，因此
代表的是初值；并且当
时，
，因此
代表的是函数的极限；根据图像，还可以看出拐点处的函数值为
.这有助于我们理解 Logistic 模型，并且和生物里的“S”形曲线联系在一起.
函数
的图像
真题1.7
（取自2020年 III 卷理数） Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布的数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数
的单位：天）的 Logistic 模型：
，其中
为最大确诊病例数.当
时，标志着已初步遏制疫情，则
约为
.
A．60
B．63
C．66
D．69
解答 令
，
解得
，因此 B 选项正确.
或许读者会在其他地方看到凸函数的等价定义.有时候，也称满足
的函数为凸函数，前面对应的是下凸的情形，后面对应的是上凸的情形.上述的等式也可以被拓展到
个变量的情况.
定理1.4
（琴生不等式） 设
是下凸函数，则有
；
设
是上凸函数，则有
，
上述不等式当且仅当
或
时取等.
琴生不等式可以用于证明
元均值不等式.考虑函数
，则有
，
，因此
是上凸函数.于是，对正数
，有
，
再结合
的单调性，即可得到
，
感兴趣的读者也可以尝试用琴生不等式得到其他的均值不等式.
通常，结合一个函数的单调性和极值点，即可得到不等式.
例1.10
当
时，证明：
.
解答
考虑函数
，由上文知
在
内单调递减，在
内单调递增，则
是
的最小值点，最小值
，从而
，
这便证明了该不等式.
例1.11
当
时，证明：
.
解答
考虑函数
，计算得
，
因此
在
内单调递增，从而
.
这便证明了该不等式.
高考题中也会有证明不等式的问题，对于大多数情况，结合函数的单调性就能得到不等式.
真题1.8
（取自2023年新高考 I 卷） 已知函数
.证明：当
时，
.
解答
计算得
，令
，解得
.当
时
，当
时
，因此
在
内单调递减，在
内单调递增，有
.
要证明
，只需证明关于
的不等式
，即证明不等式
，其中
.为此，构造函数
.
当
时
，当
时
.因此
在
内单调递减，在
内单调递增，因此有
，
这便完成了证明.
许多高考题都和不等式直接或间接相关，因此本书后面专门有一讲介绍函数相关的不等式，例如
和
.
[2] 这里 g （ x ）是二次函数，若不放心，可以利用求根公式求出其零点，并且结合图像判断正负.