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在上一节中，我们介绍了函数的定义和基本性质.接下来，我们再介绍导数.导数实质上是“微积分”一词中“微分”的部分，在研究函数的性质方面有重要作用.
高中数学绕过“极限”的定义讲解了导数的定义.在这里，简单提一下极限的性质：如果
是连续函数，则
.
例如，当
时，
.这在求导数时有一定的用处.
定义1.1
（导数） 设函数
在
附近有定义，如果极限
存在，则称
在
处
可导
，并称上述极限值为
在
处的
导数
，记作
.函数
称为函数
的
导函数
，简称
导数
.
接下来看一个涉及基本函数求导的简单例子.
例1.1
用定义求函数
的导数.
解答 计算得
.
因此，函数
的导数为
.
做完这题之后，可以再试一下，如何用定义求函数
的导数.事实上，容易通过基本函数的求导公式来得到该函数的导数，但是也千万别忘了定义.当然，如果要用定义来求函数
或者
的导数会较为麻烦.更一般地，有下面的常用函数的导数表.
常用函数的导数表
在了解了导数的定义之后，我们可以来探讨导数的一些基本性质.如果我们有两个可导的函数，对其进行组合，所得的函数是否还是可导的？更进一步，能否求出它们的导数？这是我们首先要提到的导数的性质，即导数也有四则运算公式.
定理1.2
（导数的四则运算公式） 设函数
和
的导数为
和
.
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）若
，则
.
这些公式都是比较基本的，需要熟背下来.前两个公式的证明是容易的；而后两个公式的证明，需要应用一些分析学的技巧.考虑到高中阶段尚未给出极限的定义，导数的四则运算公式是无法严谨证明的.而不少函数的求导都需要应用到四则运算公式.
例1.2
设
，求
.
解答 注意到
，因此
.
接下来，我们介绍复合函数的求导公式.
定理1.3
设函数
和
可导，对于复合函数
，有
.
该定理的证明较为复杂，但是记忆是比较容易的.为了方便理解该公式，我们在此引入大学数学中常用的莱布尼茨记号，即将
对
求导数表示为
，则上述公式即为
.
需要注意的是，上式只是在形式上说明了复合函数求导公式的合理性，并不能用于证明复合函数的求导公式.对复合函数的求导公式的应用需要非常熟悉，下面是一个例子.
例1.3
设函数
，求
.
解答
首先对外层求导，可以得到
；再对内层求导，可以得到
.因此
有了复合函数的运算法则后，可以引出两种常用的特殊求导方法.这两种方法一般来说会在高等数学中介绍，但是高中生完全可以理解，并且有时候非常好用.
首先是
取对数求导法
.考虑到有时候函数的乘法运算较多，或者指数较为复杂，可以考虑通过取对数的方式，将乘法转化为加法，将指数项转化为乘法.所谓的取对数求导法是指，在函数
的等式两边取对数，得
.
若此时等式右边的导数容易求出，记
，根据复合函数的导数的运算法则可得
，
从而计算得到
.需要注意，取对数运算是非常常用的，它可以将指数项转化为乘法，进一步将乘法转化为加法.高考中的一些代数变形问题，都与对数有关.
例1.4
设函数
，求
.
解答
对
取对数，可得
，等式两边对
求导，可得
，
因此
.
有了复合函数的运算法则后，还可以推出 隐函数求导法 .所谓的隐函数，指的是函数并没有显式的表达，而是通过方程或者其他形式确定了函数关系.
例如设椭圆的方程为
，对于其上面的一点
，假设
，则在该点附近可以通过椭圆方程确定隐含的函数关系
，并且是唯一的
.更准确地说，有
或
；至于是前者还是后者，需要结合
的位置来判断.
例1.5
求椭圆
在
处的切线方程.
解答
要求出
处的切线方程，可在等式两边同时对
求导，得
，
代入
，解得
，从而切线方程（有时候在圆雉曲线中也被称为极线方程）为
.
这是一个解析几何中非常常用的结论，形式上也非常像椭圆方程，只是将
换成
，将
换成
而已.类似地，对于双曲线
，可以求出其在（
）处的切线方程为
.对于抛物线
的情形，读者可自行推导.