1.1　函数的定义与性质

讲解导数需要从函数的定义出发.很多学生知道什么是函数，但是常会忘记函数的定义.

1.1.1　定义与常用函数

高中的课本按照如下方式定义函数：设 、 是非空的数集（需要注意，所谓的“函数”实质上是数集到数集的映射，“数集”指实数集合 的子集），如果按照某个确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个 函数 （见下图），记作 .函数的本质是一个映射，因此也可以记为

.

在函数的定义中，有一些需要注意的概念：

● 叫作 自变量 ， 叫作 因变量 或 函数值 ；

● 的取值范围 叫作函数的 定义域 ；

●函数值的集合 叫作函数的 值域 ；

●将点集 绘制在平面直角坐标系 中，所得的图像叫作函数的图像.绘制出函数的 图像 ，并进行“数形结合”，是常用的解题思路.

函数的定义比较抽象，需要理解，但通常在高考中不会直接考查.高考中较为重视的是一些常用函数性质的考查，为此需要介绍基本初等函数，主要包括以下几种.

●初中已经接触过的一次函数 、二次函数 ，进一步还可以考虑三次函数 .高考中的一些题目会涉及三次函数，这通常需要借助导数.一般地，对于正整数 ，函数

称为 多项式函数 ， 叫作多项式函数的 次数 .

●初中已经接触过的反比例函数 、根式函数 .另外，一般地，对于实数 ，函数

称为 幂函数 ， 的取值范围与 有关， 叫作幂函数的 幂 .幂函数的性质也需要非常熟悉.

●初中简单介绍，而在高中给出了严格定义的正弦函数 、余弦函数 、正切函数 ，其中 .另外，还有以下函数：

.

这几个函数在高考中不会出现，但是在将来的数学课和实际应用中较为常见.一般地，对于实数 ，函数

称为 三角函数 ， 叫作三角函数的 振幅 ， 叫作三角函数的 频率 ， 叫作三角函数的 相位 ， 叫作三角函数的 周期 .三角函数在物理学和工程中常用.

●设实数 且 ，函数

称为 指数函数 .对应的反函数

称为 对数函数 .若取 （自然常数 ^[1] ），则对数函数记作 .指数函数 和对数函数 非常重要，有特别的性质，在高考中最常考查.

1.1.2　函数的基本性质

为了更清楚地看出函数的形式，我们常常会绘制函数的图像.绘出图像后会发现，有些函数是对称的，其中包括轴对称和中心对称.特别地，将函数图像的对称轴选为 轴，或者将对称中心选为坐标原点，就可以得到奇函数与偶函数的概念.

●若函数 的图像关于 轴对称，即

，

则称函数 为 偶函数 ，例如函数 .在这里可以思考，偶函数 的导数 是偶函数吗？为什么？

●若函数 的图像关于坐标原点对称，即

，

则称函数 为 奇函数 ，例如函数 .在这里可以思考，奇函数 的导数 是奇函数吗？为什么？

有时候，函数的图像不一定是恰好关于 轴对称，或者恰好关于原点对称的.例如，若函数满足

，

则 是该函数图像的对称轴；若函数满足

，

则 是该函数图像的对称中心.

真题1.1 （取自2021年新高考 I 卷 ）　已知函数 是偶函数，则 .

解答 根据偶函数的定义，令

，

对比系数，解得 .

真题1.2 （取自2021年新高考 II 卷）　写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的函数 ：______.

（1） ；

（2）当 时， ；

（3） 是奇函数.

解答 考虑函数 ，可以验证它满足 .

真题1.3 （取自2023年乙卷理数）　已知函数 .是否存在 ，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求 的值，若不存在，说明理由.

解答 令 ，由 ，解得 .考虑到函数的定义域关于直线 对称，取 .接下来，令 ，即

.

经检验 满足题意.

另外，有些函数有可能会有些函数值“重复出现”，或者用更数学一点的语言来说，会出现“周期性”.

●若存在 ，使得函数 满足

则称函数 为 周期函数 ，并称 为函数 的 周期 .例如函数 或其他的三角函数.事实上，我们知道 是周期函数，而一个非周期函数的例子是 .

高考中，对于一些定义复杂的函数，有时候需要通过对称性和周期性巧妙地解题.

真题1.4 （取自2021年新高考 II 卷）　已知函数 的定义域为 为偶函数， 为奇函数，则 .

A．

B．

C．

D．

解答 根据 为偶函数，知 关于直线 对称；再根据 为奇函数，知 为奇函数，从而 ，并且 关于点 对称.据此，可以画出 的大致图像，如上图所示.

根据图像，可以看出其是周期 的函数，并且 ，因此 B 选项正确.

1.1.3　函数的零点问题

对于函数 ，称使得 成立的 为 的 零点 .一般来说，高中所研究的函数都是初等函数，它们都是连续的，或者在某些区间上是连续的.对于闭区间上的连续函数，有零点定理.

定理1.1 （连续函数的零点定理）　设 在 上连续，且 ，则存在 ，使得 .

从图像上看，这个定理的结果是显然的.然而在高中阶段，暂时未给出该定理的证明.但是在高考中，该定理非常常用，特别是在有关导数的大题中 .

●如果 是严格单调递增的连续函数，且 ，则存在唯一的 ，使得 .反过来，如果 是严格单调递减的连续函数，且 ，则存在唯一的 ，使得 .在判断零点的个数时，需要用到这个结论.这说明了研究函数单调性的重要性，而研究函数单调性的一个重要工具就是导数.

●如果 是连续函数，且 ，当 时， 或 ，则存在 ，使得 .然而，在高考中，我们无法使用所谓的“极限”概念，通常可以找到一个 ，使得 ，再应用我们已知的零点定理，存在 ，使得 ，便得到了零点的存在性.

在第二种情形中，如果读者学习过极限，就会知道这样的 是一定存在的，难点在于如何取出合适的 ，这在高考压轴题的研究中被称为“取点”.为了取出这样的点，往往需要使用函数不等式，如最常用的 ，当然有时候只要用 就够了，这被称为“放缩”.这将在后面简单介绍.

另外，有时候处理的零点问题并不会直接给出函数 的形式，而会给出一个带有函数的方程，比如 ，这时候可以构造函数 ，则 等价于 .高考压轴题中，出现的函数形式会比较复杂，甚至常常带有参数，但是本质上仍然是零点问题.

1.1.4　函数定义的推广*

函数本质上是从数集 到数集 的映射，而所谓的“数集”，指的是实数集合 的子集，可以简单地写成 .是否可以将函数的定义进一步推广？下面举一些例子.

平面向量的模（向量的大小）是不是一个函数？如果 是二元数集，即 ，设向量 ，则向量的模实质上是从 到 的一个映射，可以写成

，

这样的函数叫作 二元函数 .类似地，可以定义 元函数.

在讲复数的时候，老师一般会说复数 和平面向量 是一一对应的.如果 ，那么映射 也是函数，例如

，

这样的函数叫作 复变函数 ， 复分析 研究的就是复变函数的性质.

除了 以外， 是否可以是其他类型的集合？一个例子是，设函数的定义域是集合的集合，为了和集合区分，记作 ，并记里面的元素为 .用 表示二维几何图形， 表示二维几何图形的全体，例如单位圆可以表示为

.

考虑从 到 的映射 ，并令 表示 的面积，例如 .这样的函数称为测度，而为了严格化 和这样的函数，需要做不少工作，这便是 测度论 关心的内容.

如果集合 里面的元素不是数，而是一些抽象的元素，或者说 是一个抽象的空间，记作 ，那么映射 也是函数，并称为泛函.当然，这里的空间 是有一定要求的.泛函分析便是研究这样的空间和函数.

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[1] 自然常数 e （ e =2.71828…）是怎么来的？我将在后文简要介绍. gkx5LYuza/6otLF3qXMoB6+hu5/BFe0AUVn5nJKwnDcR8OtMpxgJM68Zb/3j7anp