第3章
应力与应变
——柯西男爵与弹性模量

生活中要是没了算术，那将是多么恐怖的场景。

——西德尼·史密斯，1835年7月22日致一位年轻女士的信

弹性科学之所以长期停滞不前，除了因为牛顿与18世纪的偏见，还有一个主要原因，那就是少数研究它的科学家在尝试处理力和挠度的问题时将结构视为一个整体，就像胡克曾经做的那样，而非分析材料内任意一点上的力和伸长量。整个18世纪直至19世纪，莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）和托马斯·杨（Thomas Young）等顶级智者，试图应对大多数现代工程师眼中最不可思议的智力挑战，解决我们今天看来一目了然的问题。

在材料内部，某一点的弹性状态指的就是应力和应变。奥古斯丁·柯西（Augustin Cauchy）在1822年提交给法兰西科学院的一篇论文中率先提出了这两个概念。这篇论文或许是自胡克以来弹性研究史上最重要的成果，此后这门学科逐渐成为工程师的实践工具，而不再只是少数古怪哲学家的消遣。根据大致绘于此时的肖像画，柯西看上去就像一个毛头小子，但毋庸置疑，他也是一位能力非凡的应用数学家。

最终，19世纪的英国工程师拨冗阅读了柯西在这个课题上的论述，他们发现，不仅应力和应变的基本概念非常容易理解，而且一旦理解了，关于结构的整个研究也变得非常简洁明了。如今，任何人都能理解这两个概念， 所以提及“应力和应变”时，有些行外人仍会采取困惑甚至愤恨的态度，就让人很难理解了。我带过一个研究生，她当时刚获得动物学学位，但被应力和应变的整套观念弄得心烦意乱，最后逃离了大学。我至今仍搞不懂这是为什么。

如何区分应力与应变

事实上，伽利略差点儿就提出了应力的概念。他晚年在阿切特里创作的《关于两门新科学的对话》把这个问题论述得非常清楚：在其余因素都不变的情况下，拉伸状态下杆的强度与其横截面积成正比。因此，若一根横截面积为2平方厘米的杆在1 000千克配重的拉伸作用下断裂，那么横截面积为4平方厘米的杆则需要2 000千克配重的拉力才能让它断裂，以下类推。大概将近200年后，人们用断裂载荷除以断口面积，得到了我们今天所谓的“断裂应力”（在这个情境中，断裂应力为500千克力 /平方厘米）。它适用于所有由同种材料制成的均质杆，这实在是太棒了。

柯西察觉到，这种应力的概念普遍适用，不仅可用来预测材料何时会断裂，还可以用来描述一般状态下固体内任意点的状态。换句话说，固体中的应力有点儿像液体或气体中的压力，它度量的是构成材料的原子和分子在外力作用下聚集或分离的难度。

因此，“这块钢中某点的应力为500千克力/平方厘米”与“我的汽车轮胎里的气压是2千克力/平方厘米或者28磅力/平方英寸”，这两种表述同样简单易懂。尽管压力和应力的概念紧密相关，但我们仍需要牢记的一点是，流体中的压力作用在全部三个方向上，而固体中的应力通常是单向或一维的。我们下面就来探讨一下。

定量地看，材料中某个点在任一方向上的应力等于沿该方向作用在该点上的力或载荷除以该力的作用面积。 若我们记某点的应力为 s ，则有：

其中， P 为载荷或力，而 A 是 P 的作用面积（见图3–1）。

回到我们上一章中提到的砖头例子。如果砖头重5千克，绳子的横截面积为2平方毫米，那么绳子的应力为：

或者，我们也可以把它写成250千克力/平方厘米（kgf/cm 2 ）。

应力的单位

这就引出了应力的单位这个棘手的问题。应力可以表示为任意单位的力除以任意单位的横截面积，我们通常就是这样做的。为了避免混淆，我们在本书中统一使用以下单位。

兆牛顿/平方米（MN/m 2 ）。这是一个国际单位制的单位。大部分人都知道，国际单位制中力的惯用单位是牛顿。

1.0牛顿=0.102千克力=0.225磅力（差不多相当于一个苹果的重量）。

1兆牛顿=100万牛顿，约等于100吨力。

磅（力）/平方英寸（psi ）。这是一个传统的英制单位，仍被工程师广泛使用，尤其是在美国。它也常见于大量表格和工具书中。

千克（力）/平方厘米（kgf/cm 2 ，有时也写作kg/cm 2 ）。这个单位常见于欧洲大陆国家。

单位间换算：

1 MN/m 2 =10.2 kgf/cm 2 =146 psi

1 psi=0.006 85 MN/m 2 =0.07 kgf/cm 2

1 kgf/cm 2 =0.098 MN/m 2 =14.2 psi

所以，绳子的应力250 kgf/cm 2 约等于24.5 MN/m 2 或3 600 psi。应力的计算通常不是一项精益求精的工作，过于追求换算精度实在没有必要。

值得强调的是，材料中的应力就像流体中的压力，是某一点的状态，而与横截面积无关，不管它是1平方英寸（约为6.45平方厘米）、1平方厘米，还是1平方米。

什么是应变

应力表示的是固体中任意一点的原子被拉开有多难，即要用多大的力；而应变告诉我们能把它们拉开多远，也就是说，原子间化学键被拉伸多大的比例（见图3–2）。

因此，如果一根原长为 L 的木棒在一个力的作用下被拉伸的长度为 l ，那么这根木棒的应变或长度变化比为 e ：

回到绳子的例子，如果绳的原长为2米（或200厘米），砖块的重量使它伸长了1厘米，那么绳子的应变为：

工程中的应变往往很小，所以工程师常用百分数表示应变，以降低数错零和弄错小数点位置的风险。

像应力一样，应变与材料的长度、横截面积或形状都无关，它只是某个点的状态。此外，因为我们计算应变时是用一个长度除以另一个长度——伸长量除以原长，所以应变是一个比值，它没有单位，无论是在国际单位制、英制还是其他任何单位制中。当然，上述种种既适用于拉伸的情况，也适用于压缩的情况。

弹性模量

我们说过，胡克定律的原始形式尽管颇具启发性，却是混淆了材料特性与结构行为的尴尬产物。这种混淆主要是由于未对应力和应变进行准确定义，但我们也不要忘记过去在测试材料方面遇到的困难。

今天，当我们测试一种材料（与测试一个结构不同）时，我们一般会制取一份所谓的“试样”。试样的形状可能各不相同，但它们通常都有一个平直的主体（可在其上做测试），末端更粗一些（可用来与测试仪器连接）。普通的金属试样一般如图3–3所示。

测试仪器的尺寸和设计也各不相同，但本质上它们都是对试样施加载荷的机械装置。

通过读取机器表盘上的载荷数，再除以横截面积，便可得到试样主体上的应力。我们通常会用引伸计这种灵敏的仪器在主体上夹取两点，进而测量在载荷作用下试样主体的伸长量以及材料的应变。

有了这种设备我们可以很容易地测量试样的应力和应变。材料应力和应变间的关系可以由应力–应变曲线呈现，如图3–4所示，它充分反映了给定材料的特征，其形状通常不受试样尺寸的影响。

我们如果为金属等常见固体材料绘制应力–应变曲线，就会很容易地发现，至少在应力适度的条件下，该曲线呈现为一条直线。这就是所谓的“遵循胡克定律”的材料，有时也叫“胡克材料”。

然而，我们还发现，对于不同的材料，直线的斜率差别很大（见图3–5）。显然，应力–应变曲线的斜率度量了该材料在给定应力下的弹性。换言之，它度量了给定固体的弹性刚度或弛度。

对于遵循胡克定律的给定材料，斜率或应力与应变之比为定值。

弹性模量有时也被称为“杨氏模量”，记作 E ，在平常的技术交流中它往往会被说成是“刚度”。顺便说一下，“模量”（modulus）这个词在拉丁文中的意思是“一个小的度量尺寸”。

回想一下绳子的例子，它在由砖头的重量产生的24.5 MN/m 2 或3 600 psi应力的影响下，产生了0.5%或0.005的应变。所以，绳子的弹性模量为：

弹性模量的单位

因为我们是用应力去除以一个无量纲的分数，所以弹性模量与应力具有同样的量纲，即以应力的单位表示。但是，由于弹性模量衡量的是将材料拉伸为原长的两倍时的应力（也就是百分之百应变时的应力，前提是该材料还未断裂），其数值往往很大，让人觉得难以想象。

常见材料的弹性模量

常见生物材料和工程材料的弹性模量值可见表3–1：从怀孕蝗虫的表皮（其值很低，但对生物材料而言，不算特别低；顺便说一下，雄性蝗虫和雌性蝗虫幼虫的表皮都很强劲）起，弹性模量按升序排列，直至钻石。我们将看到，在刚度变化区间内，上限与下限之比大到6 000 000。我们将在第8章中探讨其中的原因。

值得注意的是，许多常见的柔性生物材料都不在上表中。这是因为它们的弹性行为即便近似来讲，也不遵循胡克定律，所以在我们使用的术语体系中，实在没法定义它们的弹性模量。我们稍后再来讨论这类弹性行为。

如今，弹性模量被视为一个基本概念；它已完全渗入工程学与材料科学领域，并开始向生物学领域进军。然而，最初这个概念用了整个19世纪上半叶的时间，才在工程师的脑海中留下了些许印象。部分原因在于纯粹的保守主义，还有部分原因是应力和应变的概念来得太迟了。

有了这两个概念，弹性模量就变得更简单，也更直观了；离开了它们，有些东西理解起来将非常困难。托马斯·杨在对埃及象形文字的解读方面扮演了重要角色，他拥有同时代人中最聪慧的头脑，但也身陷一场最严酷的智力斗争之中。

1800年前后，他用了一种与我们刚才介绍的截然不同的方法来应对这一难题，他依靠了“比模量”的概念，即一段柱状材料在其自身重量的作用下会缩短多少。托马斯·杨于1807年给该模量下了定义：“任意材料的弹性模量是指同一材料的一段柱体对其底部产生的压力与造成某一压缩量的重量之比等于该材料长度与长度缩短量之比。”

相较而言，埃及象形文字也显得简单多了。

一位同时代的人这样评价托马斯·杨：“他总是使用人们不常用的措辞，也常常词不达意。因此，在知识交流方面，他比我认识的任何人都逊色。”尽管如此，我们务必要意识到，托马斯·杨是在缺少应变和应力的定义的前提下表述了一个极其复杂的概念，而那两个概念直到15~20年后才开始使用。法国工程师纳维（Navier）在1826年给出了弹性模量的现代定义（ E =应力/应变），三年后托马斯·杨就去世了。作为应力和应变概念的提出者，柯西最终被法国政府授予男爵封号，他当之无愧。

结构强度与材料强度

切记不要把结构强度和材料强度混为一谈。结构强度是指破坏结构所需的载荷，以磅力、牛顿或千克力为单位。这个量度被称作“断裂载荷”，它仅适用于一些特殊的结构。

材料强度是指破坏材料本身所需的应力，以psi、MN/m 2 或kgf/cm 2 为单位。对于某种固体，无论其样品形态如何，其材料强度一般都是相同的。我们最常关注的是材料的抗拉强度，有时也叫作“极限拉应力”，通常使用测试仪器拉断小型试样来确定。所以，我们往往会根据已知的材料强度来测算结构强度。

表3–2给出了很多材料的抗拉强度。与刚度一样，生物意义和工程意义上的固体，其强度的变化范围很广。例如，肌肉之弱和肌腱之强对比显著，这也可以解释为何肌肉及其等效肌腱的截面不同。当我们小腿肚上粗壮且时而凸起的肌肉将其紧张状态传递给脚后跟的骨头时，我们便能行走和跳跃，靠的就是跟腱，它尽管非常纤细，但足以胜任这项功能。此外，我们也将看到，为什么工程师向未被强钢筋加固的混凝土贸然施加拉力，是一种不明智之举。

总的来说，强劲的金属比强劲的非金属的强度更大。但是，几乎所有金属又都比大多数生物材料致密得多（钢的比重为7.8，而大部分的动物组织约为1.1）。因此，考虑到重量因素，金属的强度相较于植物和动物，并不太突出。

现在我们可以总结一下这一章的内容：

它表示固体内某一点的原子因受载荷作用而被拉开或挤压的难度（即要施加多大的力）。

它表示固体内某一点的原子被拉开或挤压的程度。

应力和应变不是一回事。

我们常常用材料的强度指代破坏它所需的应力。

它表示材料有多强劲或松软。

强度和刚度也不是一回事。

引用《强材料的新科学》中的一段文字：“饼干硬而弱，钢材硬而强，尼龙柔（低 E ）而强，树莓果冻柔（低 E ）而弱。这两种属性共同定义了固体，你也能用它们合理地评估新材料。”

对于上述种种，你也许会感到些许怀疑或困惑，但下面这件事可能会让你稍感安慰。不久前，我在剑桥大学花了整整一晚的时间，试图向两位举世闻名的科学巨擘解释应力、应变、强度和刚度之间的根本区别，因为他们准备向英国政府提议一个耗资巨大的项目。但是，我仍不清楚他们听明白了多少。 2cTFeAFzVg7IVjGEAfjkD5A47t5hbSU5P+W/1OLMldOFRaDgD7CxxEUN0R0ZppCw